Theorem ftc1lem3 26248

Description: Lemma for ftc1 26252. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾t ℝ)
ftc1.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
ftc1.l	⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥, 𝑡)   𝐽(𝑥, 𝑡)   𝐾(𝑥, 𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
2		ftc1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 24990	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		ftc1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
5		ax-resscn 11172	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstrdi 3950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
7		resttopon 23368	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐿 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
8	3, 6, 7	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
9	1, 8	eqeltrid 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐷))
10	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘ℂ))
11		ftc1.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
12		cnpf2 23457	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114   ≤ cle 11259  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391   ↾_t crest 17495  TopOpenctopn 17496  ℂ_fldccnfld 21572  TopOnctopon 23117   CnP ccnp 23432  𝐿¹cibl 25827  ∫citg 25828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-rest 17497  df-topn 17498  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cnp 23435  df-xms 24528  df-ms 24529

This theorem is used by:  ftc1lem4  26249  ftc1lem5  26250  ftc1lem6  26251  ftc1  26252