Theorem ftc1lem3 25993

Description: Lemma for ftc1 25997. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾t ℝ)
ftc1.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
ftc1.l	⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
2		ftc1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 24719	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		ftc1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
5		ax-resscn 11203	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstrdi 3994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
7		resttopon 23085	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐿 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
8	3, 6, 7	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
9	1, 8	eqeltrid 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐷))
10	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘ℂ))
11		ftc1.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
12		cnpf2 23174	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  ℝcr 11145   ≤ cle 11287  (,)cioo 13364  [,]cicc 13367   ↾_t crest 17409  TopOpenctopn 17410  ℂ_fldccnfld 21286  TopOnctopon 22832   CnP ccnp 23149  𝐿¹cibl 25566  ∫citg 25567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cnp 23152  df-xms 24246  df-ms 24247

This theorem is referenced by:  ftc1lem4  25994  ftc1lem5  25995  ftc1lem6  25996  ftc1  25997