Theorem 1stccnp 23619

Description: A mapping is continuous at 𝑃 in a first-countable space 𝑋 iff it is sequentially continuous at 𝑃, meaning that the image under 𝐹 of every sequence converging at 𝑃 converges to 𝐹(𝑃). This proof uses ax-cc 10414, but only via 1stcelcls 23618, so it could be refactored into a proof that continuity and sequential continuity are the same in sequential spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stccnp.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
1stccnp.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccnp.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
1stccnp	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝐾   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑃,𝑓

Proof of Theorem 1stccnp

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stccnp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		1stccnp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3	1, 2	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)))
4		cnpf2 23407	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
5	4	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
6	3, 5	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
7		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
8		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
9	7, 8	lmcnp 23461	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))
10	9	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
11	10	alrimiv 1957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
12	6, 11	jca 520	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
13		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
14		fal 1584	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ⊥
15		19.29 1903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ∃𝑓(((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
16		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)))
17		difss 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ 𝑋
18		fss 6722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ 𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
19	16, 17, 18	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
20		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
21	19, 20	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))
22		nnuz 12896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)
24		1zzd 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 1 ∈ ℤ)
25		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))
26		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 𝑢 ∈ 𝐾)
27	22, 23, 24, 25, 26	lmcvg 23419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢)
28	22	r19.2uz 15399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢)
29		simprll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)))
30	29	ffnd 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 𝑓 Fn ℕ)
31		fvco2 6978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) = (𝐹‘(𝑓‘𝑘)))
32	30, 31	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) = (𝐹‘(𝑓‘𝑘)))
33	32	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢))
34	29	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)))
35	34	eldifad 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋)
36		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
37	36	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
38		ffn 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝐹 Fn 𝑋)
39		elpreima 7053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → ((𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ ((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢)))
40	37, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ ((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢)))
41	34	eldifbd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
42	41	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) → ⊥))
43	40, 42	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢) → ⊥))
44	35, 43	mpand 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢 → ⊥))
45	33, 44	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
46	45	rexlimdva 3166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
47	28, 46	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
48	27, 47	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → ⊥)
49	48	expr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ((𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃) → ⊥))
50	21, 49	embantd 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → ⊥))
51	50	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → ⊥)))
52	51	impcomd 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ⊥))
53	52	exlimdv 1963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑓(((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ⊥))
54	15, 53	syl5 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ⊥))
55	54	exp4b 435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → ((𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥))))
56	55	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → ((𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥))))
57	56	impr 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → ((𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥)))
58	57	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥))
59	14, 58	mtoi 202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))
60		1stccnp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
61	60	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ 1stω)
62	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63		toponuni 23071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
64	62, 63	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
65	17, 64	sseqtrid 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ ∪ 𝐽)
66		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
67	66	1stcelcls 23618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ 1stω ∧ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
68	61, 65, 67	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
69	59, 68	mtbird 328	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))))
70		topontop 23070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
71	62, 70	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ Top)
72		1stccnp.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
73	72	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
74	73, 64	eleqtrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
75	66	elcls 23230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
76	71, 65, 74, 75	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
77	69, 76	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅))
78	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
79	78	ffund 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → Fun 𝐹)
80		toponss 23084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
81	62, 80	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
82	78	fdmd 6716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → dom 𝐹 = 𝑋)
83	81, 82	sseqtrrd 3974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝑣 ⊆ dom 𝐹)
84		funimass3 7049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑣 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ 𝑣 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
85	79, 83, 84	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ 𝑣 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
86		dfss2 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) = 𝑣)
87	81, 86	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑣 ∩ 𝑋) = 𝑣)
88	87	sseq1d 3968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ 𝑣 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
89	85, 88	bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
90		nne 2962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) = ∅)
91		inssdif0 4329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) = ∅)
92	90, 91	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢))
93	89, 92	bitr4di 292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅))
94	93	anbi2d 641	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
95	94	rexbidva 3187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
96		rexanali 3119	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅))
97	95, 96	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
98	77, 97	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
99	98	expr 461	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
100	99	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
101		iscnp 23394	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
102	1, 2, 72, 101	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
103	102	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
104	13, 100, 103	mpbir2and 725	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
105	12, 104	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570  ⊥wfal 1582  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   “ cima 5664   ∘ ccom 5665  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11096  ℕcn 12228  ℤ_≥cuz 12857  Topctop 23050  TopOnctopon 23067  clsccl 23175   CnP ccnp 23382  ⇝_𝑡clm 23383  1^stωc1stc 23594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-top 23051  df-topon 23068  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-cnp 23385  df-lm 23386  df-1stc 23596

This theorem is referenced by:  1stccn  23620  metcnp4  25469