Theorem 1stccnp 23440

Description: A mapping is continuous at 𝑃 in a first-countable space 𝑋 iff it is sequentially continuous at 𝑃, meaning that the image under 𝐹 of every sequence converging at 𝑃 converges to 𝐹(𝑃). This proof uses ax-cc 10351, but only via 1stcelcls 23439, so it could be refactored into a proof that continuity and sequential continuity are the same in sequential spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stccnp.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
1stccnp.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccnp.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
1stccnp	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝐾   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑃,𝑓

Proof of Theorem 1stccnp

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stccnp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		1stccnp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)))
4		cnpf2 23228	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
5	4	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
6	3, 5	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
7		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
8		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
9	7, 8	lmcnp 23282	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))
10	9	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
11	10	alrimiv 1929	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
12	6, 11	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
13		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
14		fal 1556	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ⊥
15		19.29 1875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ∃𝑓(((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
16		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)))
17		difss 4077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ 𝑋
18		fss 6679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ 𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
19	16, 17, 18	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
20		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
21	19, 20	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))
22		nnuz 12821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)
24		1zzd 12552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 1 ∈ ℤ)
25		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))
26		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 𝑢 ∈ 𝐾)
27	22, 23, 24, 25, 26	lmcvg 23240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢)
28	22	r19.2uz 15308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢)
29		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)))
30	29	ffnd 6664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 𝑓 Fn ℕ)
31		fvco2 6932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) = (𝐹‘(𝑓‘𝑘)))
32	30, 31	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) = (𝐹‘(𝑓‘𝑘)))
33	32	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢))
34	29	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)))
35	34	eldifad 3902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋)
36		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
37	36	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
38		ffn 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝐹 Fn 𝑋)
39		elpreima 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → ((𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ ((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢)))
40	37, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ ((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢)))
41	34	eldifbd 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
42	41	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) → ⊥))
43	40, 42	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢) → ⊥))
44	35, 43	mpand 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢 → ⊥))
45	33, 44	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
46	45	rexlimdva 3139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
47	28, 46	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
48	27, 47	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → ⊥)
49	48	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ((𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃) → ⊥))
50	21, 49	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → ⊥))
51	50	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → ⊥)))
52	51	impcomd 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ⊥))
53	52	exlimdv 1935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑓(((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ⊥))
54	15, 53	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ⊥))
55	54	exp4b 430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → ((𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥))))
56	55	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → ((𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥))))
57	56	impr 454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → ((𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥)))
58	57	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥))
59	14, 58	mtoi 199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))
60		1stccnp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
61	60	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ 1stω)
62	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63		toponuni 22892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
65	17, 64	sseqtrid 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ ∪ 𝐽)
66		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
67	66	1stcelcls 23439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ 1stω ∧ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
68	61, 65, 67	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
69	59, 68	mtbird 325	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))))
70		topontop 22891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
71	62, 70	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ Top)
72		1stccnp.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
73	72	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
74	73, 64	eleqtrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
75	66	elcls 23051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
76	71, 65, 74, 75	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
77	69, 76	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅))
78	13	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
79	78	ffund 6667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → Fun 𝐹)
80		toponss 22905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
81	62, 80	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
82	78	fdmd 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → dom 𝐹 = 𝑋)
83	81, 82	sseqtrrd 3960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝑣 ⊆ dom 𝐹)
84		funimass3 7001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑣 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ 𝑣 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
85	79, 83, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ 𝑣 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
86		dfss2 3908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) = 𝑣)
87	81, 86	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑣 ∩ 𝑋) = 𝑣)
88	87	sseq1d 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ 𝑣 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
89	85, 88	bitr4d 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
90		nne 2937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) = ∅)
91		inssdif0 4315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) = ∅)
92	90, 91	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢))
93	89, 92	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅))
94	93	anbi2d 631	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
95	94	rexbidva 3160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
96		rexanali 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅))
97	95, 96	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
98	77, 97	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
99	98	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
100	99	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
101		iscnp 23215	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
102	1, 2, 72, 101	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
103	102	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
104	13, 100, 103	mpbir2and 714	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
105	12, 104	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ⊥wfal 1554  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   “ cima 5628   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1c1 11033  ℕcn 12168  ℤ_≥cuz 12782  Topctop 22871  TopOnctopon 22888  clsccl 22996   CnP ccnp 23203  ⇝_𝑡clm 23204  1^stωc1stc 23415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cc 10351  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-top 22872  df-topon 22889  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-cnp 23206  df-lm 23207  df-1stc 23417

This theorem is referenced by:  1stccn  23441  metcnp4  25290