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Theorem 1stccnp 21479
Description: A mapping is continuous at 𝑃 in a first-countable space 𝑋 iff it is sequentially continuous at 𝑃, meaning that the image under 𝐹 of every sequence converging at 𝑃 converges to 𝐹(𝑃). This proof uses ax-cc 9457, but only via 1stcelcls 21478, so it could be refactored into a proof that continuity and sequential continuity are the same in sequential spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1 (𝜑𝐽 ∈ 1st𝜔)
1stccnp.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccnp.4 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
1stccnp (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝐾   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑃,𝑓

Proof of Theorem 1stccnp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 1stccnp.3 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
31, 2jca 501 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)))
4 cnpf2 21268 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋𝑌)
543expa 1111 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋𝑌)
63, 5sylan 569 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋𝑌)
7 simprr 756 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)
8 simplr 752 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
97, 8lmcnp 21322 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))
109ex 397 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))
1110alrimiv 2007 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))
126, 11jca 501 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))))
13 simprl 754 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) → 𝐹:𝑋𝑌)
14 fal 1638 . . . . . . . . 9 ¬ ⊥
15 19.29 1953 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) ∧ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → ∃𝑓(((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)))
16 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → 𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)))
17 difss 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ⊆ 𝑋
18 fss 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ⊆ 𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
1916, 17, 18sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
20 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)
2119, 20jca 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃))
22 nnuz 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ = (ℤ‘1)
23 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)
24 1zzd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → 1 ∈ ℤ)
25 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))
26 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → 𝑢𝐾)
2722, 23, 24, 25, 26lmcvg 21280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢)
2822r19.2uz 14292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢)
29 simprll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → 𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)))
30 ffn 6183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) → 𝑓 Fn ℕ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → 𝑓 Fn ℕ)
32 fvco2 6413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 Fn ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑘) = (𝐹‘(𝑓𝑘)))
3331, 32sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑘) = (𝐹‘(𝑓𝑘)))
3433eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ∈ 𝑢))
3529ffvelrnda 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)))
3635eldifad 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ 𝑋)
37 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐹:𝑋𝑌)
3837ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋𝑌)
39 ffn 6183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹:𝑋𝑌𝐹 Fn 𝑋)
40 elpreima 6478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹 Fn 𝑋 → ((𝑓𝑘) ∈ (𝐹𝑢) ↔ ((𝑓𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ∈ 𝑢)))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓𝑘) ∈ (𝐹𝑢) ↔ ((𝑓𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ∈ 𝑢)))
4235eldifbd 3736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝐹𝑢))
4342pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓𝑘) ∈ (𝐹𝑢) → ⊥))
4441, 43sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ∈ 𝑢) → ⊥))
4536, 44mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑓𝑘)) ∈ 𝑢 → ⊥))
4634, 45sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
4746rexlimdva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
4828, 47syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
4927, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → ⊥)
5049expr 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → ((𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃) → ⊥))
5121, 50embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) → ⊥))
5251ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) → ⊥)))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) → ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → ⊥)))
5453impd 396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ((((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → ⊥))
5554exlimdv 2013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑓(((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → ⊥))
5615, 55syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) ∧ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → ⊥))
5756exp4b 417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → ((𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → ⊥))))
5857com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) → ((𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → ⊥))))
5958impr 442 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) → ((𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → ⊥)))
6059imp 393 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → ⊥))
6114, 60mtoi 190 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃))
62 1stccnp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ 1st𝜔)
6362ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
641ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
65 toponuni 20932 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑋 = 𝐽)
6717, 66syl5sseq 3802 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ⊆ 𝐽)
68 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
69681stcelcls 21478 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ⊆ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)))
7063, 67, 69syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)))
7161, 70mtbird 314 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝐹𝑢))))
72 topontop 20931 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7364, 72syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ Top)
74 1stccnp.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑋)
7574ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑃𝑋)
7675, 66eleqtrd 2852 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑃 𝐽)
7768elcls 21091 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ⊆ 𝐽𝑃 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅)))
7873, 67, 76, 77syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅)))
7971, 78mtbid 313 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅))
8013ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐹:𝑋𝑌)
81 ffun 6186 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋𝑌 → Fun 𝐹)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → Fun 𝐹)
83 toponss 20945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑣𝐽) → 𝑣𝑋)
8464, 83sylan 569 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝑣𝑋)
85 fdm 6189 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
8680, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → dom 𝐹 = 𝑋)
8784, 86sseqtr4d 3791 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝑣 ⊆ dom 𝐹)
88 funimass3 6474 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑣 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑣) ⊆ 𝑢𝑣 ⊆ (𝐹𝑢)))
8982, 87, 88syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝐹𝑣) ⊆ 𝑢𝑣 ⊆ (𝐹𝑢)))
90 df-ss 3737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣𝑋 ↔ (𝑣𝑋) = 𝑣)
9184, 90sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑣𝑋) = 𝑣)
9291sseq1d 3781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝑣𝑋) ⊆ (𝐹𝑢) ↔ 𝑣 ⊆ (𝐹𝑢)))
9389, 92bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝐹𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑣𝑋) ⊆ (𝐹𝑢)))
94 nne 2947 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) = ∅)
95 inssdif0 4094 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝑋) ⊆ (𝐹𝑢) ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) = ∅)
9694, 95bitr4i 267 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅ ↔ (𝑣𝑋) ⊆ (𝐹𝑢))
9793, 96syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝐹𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅))
9897anbi2d 614 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑃𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅)))
9998rexbidva 3197 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅)))
100 rexanali 3146 . . . . . . 7 (∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅) ↔ ¬ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅))
10199, 100syl6bb 276 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ¬ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅)))
10279, 101mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢))
103102expr 444 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ 𝑢𝐾) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))
104103ralrimiva 3115 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) → ∀𝑢𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))
105 iscnp 21255 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))))
1061, 2, 74, 105syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))))
107106adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))))
10813, 104, 107mpbir2and 692 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
10912, 108impbida 802 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wal 1629   = wceq 1631  wfal 1636  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  c0 4063   cuni 4574   class class class wbr 4786  ccnv 5248  dom cdm 5249  cima 5252  ccom 5253  Fun wfun 6023   Fn wfn 6024  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  1c1 10137  cn 11220  cuz 11886  Topctop 20911  TopOnctopon 20928  clsccl 21036   CnP ccnp 21243  𝑡clm 21244  1st𝜔c1stc 21454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cc 9457  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-top 20912  df-topon 20929  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-cnp 21246  df-lm 21247  df-1stc 21456
This theorem is referenced by:  1stccn  21480  metcnp4  23320
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