Theorem 1stccnp 23670

Description: A mapping is continuous at 𝑃 in a first-countable space 𝑋 iff it is sequentially continuous at 𝑃, meaning that the image under 𝐹 of every sequence converging at 𝑃 converges to 𝐹(𝑃). This proof uses ax-cc 10434, but only via 1stcelcls 23669, so it could be refactored into a proof that continuity and sequential continuity are the same in sequential spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stccnp.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
1stccnp.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccnp.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
1stccnp	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝐾   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑃,𝑓

Proof of Theorem 1stccnp

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stccnp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		1stccnp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3	1, 2	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)))
4		cnpf2 23457	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
5	4	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
6	3, 5	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
7		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
8		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
9	7, 8	lmcnp 23511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))
10	9	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
11	10	alrimiv 1960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))
12	6, 11	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))))
13		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
14		fal 1584	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ⊥
15		19.29 1906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ∃𝑓(((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
16		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)))
17		difss 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ 𝑋
18		fss 6726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ 𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
19	16, 17, 18	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
20		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
21	19, 20	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))
22		nnuz 12917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)
24		1zzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 1 ∈ ℤ)
25		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))
26		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 𝑢 ∈ 𝐾)
27	22, 23, 24, 25, 26	lmcvg 23469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢)
28	22	r19.2uz 15427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢)
29		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)))
30	29	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → 𝑓 Fn ℕ)
31		fvco2 6982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) = (𝐹‘(𝑓‘𝑘)))
32	30, 31	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) = (𝐹‘(𝑓‘𝑘)))
33	32	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢))
34	29	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)))
35	34	eldifad 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋)
36		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
38		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝐹 Fn 𝑋)
39		elpreima 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → ((𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ ((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢)))
40	37, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ ((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢)))
41	34	eldifbd 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢))
42	41	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑘) ∈ (◡𝐹 “ 𝑢) → ⊥))
43	40, 42	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢) → ⊥))
44	35, 43	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∈ 𝑢 → ⊥))
45	33, 44	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
46	45	rexlimdva 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
47	28, 46	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
48	27, 47	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃))) → ⊥)
49	48	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ((𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃) → ⊥))
50	21, 49	embantd 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → ⊥))
51	50	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → ⊥)))
52	51	impcomd 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ⊥))
53	52	exlimdv 1966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑓(((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ⊥))
54	15, 53	syl5 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) ∧ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)) → ⊥))
55	54	exp4b 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → ((𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥))))
56	55	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)) → ((𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥))))
57	56	impr 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → ((𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥)))
58	57	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → ⊥))
59	14, 58	mtoi 202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))
60		1stccnp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
61	60	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ 1stω)
62	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63		toponuni 23121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
64	62, 63	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
65	17, 64	sseqtrid 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ ∪ 𝐽)
66		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
67	66	1stcelcls 23669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ 1stω ∧ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
68	61, 65, 67	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
69	59, 68	mtbird 328	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))))
70		topontop 23120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
71	62, 70	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ Top)
72		1stccnp.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
73	72	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
74	73, 64	eleqtrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
75	66	elcls 23280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢)) ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
76	71, 65, 74, 75	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
77	69, 76	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅))
78	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
79	78	ffund 6714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → Fun 𝐹)
80		toponss 23134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
81	62, 80	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
82	78	fdmd 6720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → dom 𝐹 = 𝑋)
83	81, 82	sseqtrrd 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝑣 ⊆ dom 𝐹)
84		funimass3 7053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑣 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ 𝑣 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
85	79, 83, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ 𝑣 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
86		dfss2 3924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) = 𝑣)
87	81, 86	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑣 ∩ 𝑋) = 𝑣)
88	87	sseq1d 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ 𝑣 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
89	85, 88	bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢)))
90		nne 2964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) = ∅)
91		inssdif0 4329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢) ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) = ∅)
92	90, 91	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑢))
93	89, 92	bitr4di 292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅))
94	93	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
95	94	rexbidva 3189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
96		rexanali 3121	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅))
97	95, 96	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (◡𝐹 “ 𝑢))) ≠ ∅)))
98	77, 97	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
99	98	expr 462	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
100	99	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
101		iscnp 23444	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
102	1, 2, 72, 101	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
103	102	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))))
104	13, 100, 103	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
105	12, 104	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ⊥wfal 1582  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1c1 11116  ℕcn 12248  ℤ_≥cuz 12878  Topctop 23100  TopOnctopon 23117  clsccl 23225   CnP ccnp 23432  ⇝_𝑡clm 23433  1^stωc1stc 23644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-top 23101  df-topon 23118  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-cnp 23435  df-lm 23436  df-1stc 23646

This theorem is used by:  1stccn  23671  metcnp4  25520