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Theorem 1stccnp 22829
Description: A mapping is continuous at 𝑃 in a first-countable space 𝑋 iff it is sequentially continuous at 𝑃, meaning that the image under 𝐹 of every sequence converging at 𝑃 converges to 𝐹(𝑃). This proof uses ax-cc 10376, but only via 1stcelcls 22828, so it could be refactored into a proof that continuity and sequential continuity are the same in sequential spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
1stccnp.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1stccnp.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1stccnp.4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
1stccnp (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   πœ‘,𝑓   𝑓,𝐾   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ   𝑃,𝑓

Proof of Theorem 1stccnp
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 1stccnp.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
31, 2jca 513 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)))
4 cnpf2 22617 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
543expa 1119 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
63, 5sylan 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
7 simprr 772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
8 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ))
97, 8lmcnp 22671 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))
109ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))
1110alrimiv 1931 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))
126, 11jca 513 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))))
13 simprl 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
14 fal 1556 . . . . . . . . 9 Β¬ βŠ₯
15 19.29 1877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ βˆƒπ‘“(((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)))
16 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)))
17 difss 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) βŠ† 𝑋
18 fss 6686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) βŠ† 𝑋) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹)
1916, 17, 18sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹)
20 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
2119, 20jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃))
22 nnuz 12811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
23 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)
24 1zzd 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 1 ∈ β„€)
25 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))
26 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐾)
2722, 23, 24, 25, 26lmcvg 22629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
2822r19.2uz 15242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
29 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)))
3029ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑓 Fn β„•)
31 fvco2 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
3230, 31sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
3332eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ 𝑒))
3429ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)))
3534eldifad 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
36 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
38 ffn 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
39 elpreima 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ↔ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ 𝑒)))
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ↔ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ 𝑒)))
4134eldifbd 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ Β¬ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑒))
4241pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑒) β†’ βŠ₯))
4340, 42sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ 𝑒) β†’ βŠ₯))
4435, 43mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ 𝑒 β†’ βŠ₯))
4533, 44sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒 β†’ βŠ₯))
4645rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒 β†’ βŠ₯))
4728, 46syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒 β†’ βŠ₯))
4827, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) ∧ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ βŠ₯)
4948expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ) β†’ βŠ₯))
5021, 49embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ βŠ₯))
5150ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ ((𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ βŠ₯)))
5251impcomd 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ ((((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ βŠ₯))
5352exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘“(((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ βŠ₯))
5415, 53syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ ((βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)) β†’ βŠ₯))
5554exp4b 432 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ βŠ₯))))
5655com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ βŠ₯))))
5756impr 456 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ ((𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ βŠ₯)))
5857imp 408 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ βŠ₯))
5914, 58mtoi 198 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃))
60 1stccnp.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
63 toponuni 22279 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6517, 64sseqtrid 3997 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) βŠ† βˆͺ 𝐽)
66 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
67661stcelcls 22828 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)))
6861, 65, 67syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆ(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)))
6959, 68mtbird 325 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))))
70 topontop 22278 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7162, 70syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
72 1stccnp.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
7473, 64eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
7566elcls 22440 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒)) βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ…)))
7671, 65, 74, 75syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ…)))
7769, 76mtbid 324 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ Β¬ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ…))
7813ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
7978ffund 6673 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ Fun 𝐹)
80 toponss 22292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋)
8162, 80sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋)
8278fdmd 6680 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
8381, 82sseqtrrd 3986 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ 𝑣 βŠ† dom 𝐹)
84 funimass3 7005 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑣 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ 𝑣 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑒)))
8579, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ 𝑣 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑒)))
86 df-ss 3928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) = 𝑣)
8781, 86sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ (𝑣 ∩ 𝑋) = 𝑣)
8887sseq1d 3976 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑣 ∩ 𝑋) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑒) ↔ 𝑣 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑒)))
8985, 88bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑒)))
90 nne 2944 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ… ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) = βˆ…)
91 inssdif0 4330 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∩ 𝑋) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑒) ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) = βˆ…)
9290, 91bitr4i 278 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ… ↔ (𝑣 ∩ 𝑋) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑒))
9389, 92bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ Β¬ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ…))
9493anbi2d 630 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ Β¬ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ…)))
9594rexbidva 3170 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ Β¬ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ…)))
96 rexanali 3102 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ Β¬ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ…) ↔ Β¬ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ…))
9795, 96bitrdi 287 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ Β¬ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ (𝑣 ∩ (𝑋 βˆ– (◑𝐹 β€œ 𝑒))) β‰  βˆ…)))
9877, 97mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
9998expr 458 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
10099ralrimiva 3140 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
101 iscnp 22604 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
1021, 2, 72, 101syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
103102adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
10413, 100, 103mpbir2and 712 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ))
10512, 104impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘ƒ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βŠ₯wfal 1554  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057  β„•cn 12158  β„€β‰₯cuz 12768  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  clsccl 22385   CnP ccnp 22592  β‡π‘‘clm 22593  1stΟ‰c1stc 22804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-top 22259  df-topon 22276  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-1stc 22806
This theorem is referenced by:  1stccn  22830  metcnp4  24690
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