Theorem restt1 22218

Description: A subspace of a T₁ topology is T₁. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restt1	⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Fre)

Proof of Theorem restt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1top 22181	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
2		cnt1 22201	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ ( I ↾ (𝐴 ∩ ∪ 𝐽)):(𝐴 ∩ ∪ 𝐽)–1-1→(𝐴 ∩ ∪ 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝐴 ∩ ∪ 𝐽)) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Fre)
3	1, 2	resthauslem 22214	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Fre)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3852  ∪ cuni 4805   I cid 5439   ↾ cres 5538  (class class class)co 7191   ↾_t crest 16879  Frect1 22158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-map 8488  df-en 8605  df-fin 8608  df-fi 9005  df-rest 16881  df-topgen 16902  df-top 21745  df-topon 21762  df-bases 21797  df-cld 21870  df-cn 22078  df-t1 22165

This theorem is referenced by:  poimirlem30  35493