MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restt1 23215
Description: A subspace of a T1 topology is T1. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restt1 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Fre)

Proof of Theorem restt1
StepHypRef Expression
1 t1top 23178 . 2 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
2 cnt1 23198 . 2 ((𝐽 ∈ Fre ∧ ( I ↾ (𝐴 𝐽)):(𝐴 𝐽)–1-1→(𝐴 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝐴 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝐴) ∈ Fre)
31, 2resthauslem 23211 1 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  cin 3940   cuni 4900   I cid 5564  cres 5669  (class class class)co 7402  t crest 17371  Frect1 23155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-map 8819  df-en 8937  df-fin 8940  df-fi 9403  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-cld 22867  df-cn 23075  df-t1 23162
This theorem is referenced by:  poimirlem30  37022
  Copyright terms: Public domain W3C validator