Theorem cntrnsg 19259

Description: The center of a group is a normal subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrnsg.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntrnsg	⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))

Proof of Theorem cntrnsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntrnsg.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
4	2, 3	cntrval 19234	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
5	1, 4	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀))
6		ssid 3966	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
7	2, 3	cntzsubg 19254	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
8	6, 7	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
9	5, 8	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
10		ssid 3966	. 2 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑍
11	1	cntrsubgnsg 19258	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
12	9, 10, 11	sylancl 586	1 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  Basecbs 17156  Grpcgrp 18848  SubGrpcsubg 19035  NrmSGrpcnsg 19036  Cntzccntz 19230  Cntrccntr 19231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-0g 17381  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-nsg 19039  df-cntz 19232  df-cntr 19233

This theorem is referenced by:  simpcntrab  46862