Theorem cntrnsg 19314

Description: The center of a group is a normal subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrnsg.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntrnsg	⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))

Proof of Theorem cntrnsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntrnsg.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
2		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
4	2, 3	cntrval 19289	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
5	1, 4	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀))
6		ssid 3939	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
7	2, 3	cntzsubg 19309	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
8	6, 7	mpan2 698	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
9	5, 8	eqeltrid 2845	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
10		ssid 3939	. 2 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑍
11	1	cntrsubgnsg 19313	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
12	9, 10, 11	sylancl 593	1 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  Basecbs 17174  Grpcgrp 18904  SubGrpcsubg 19091  NrmSGrpcnsg 19092  Cntzccntz 19285  Cntrccntr 19286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-nsg 19095  df-cntz 19287  df-cntr 19288

This theorem is referenced by:  simpcntrab  47327