Theorem cvlsupr3 40369

Description: Two equivalent ways of expressing that 𝑅 is a superposition of 𝑃 and 𝑄, which can replace the superposition part of ishlat1 40377, (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴(𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) ), with the simpler ∃𝑧 ∈ 𝐴(𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) as shown in ishlat3N 40379. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlsupr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cvlsupr2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvlsupr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlsupr3	⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))

Proof of Theorem cvlsupr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2957	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ 𝑃 = 𝑄)
2	1	imbi1i 352	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
3		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
4	3	biantrur 540	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ ((𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))))
5		pm4.83 1042	. . 3 ⊢ (((𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
6	2, 4, 5	3bitrri 301	. 2 ⊢ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
7		cvlsupr2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		cvlsupr2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cvlsupr2.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10	7, 8, 9	cvlsupr2 40368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))))
11	10	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
12	11	pm5.74d 276	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
13	6, 12	bitrid 286	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  lecple 17415  joincjn 18465  Atomscatm 40288  CvLatclc 40290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-lat 18586  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347

This theorem is used by:  ishlat3N  40379  hlsupr2  40412