Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlsupr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlsupr3 38727
Description: Two equivalent ways of expressing that 𝑅 is a superposition of 𝑃 and 𝑄, which can replace the superposition part of ishlat1 38735, (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴(𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) ), with the simpler βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴(π‘₯ ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) as shown in ishlat3N 38737. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlsupr2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cvlsupr2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvlsupr2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlsupr3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))))

Proof of Theorem cvlsupr3
StepHypRef Expression
1 df-ne 2935 . . . 4 (𝑃 β‰  𝑄 ↔ Β¬ 𝑃 = 𝑄)
21imbi1i 349 . . 3 ((𝑃 β‰  𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (Β¬ 𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
3 oveq1 7412 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
43biantrur 530 . . 3 ((Β¬ 𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ ((𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (Β¬ 𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))))
5 pm4.83 1021 . . 3 (((𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (Β¬ 𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
62, 4, 53bitrri 298 . 2 ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
7 cvlsupr2.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 cvlsupr2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 cvlsupr2.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
107, 8, 9cvlsupr2 38726 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))))
11103expia 1118 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
1211pm5.74d 273 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 β‰  𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
136, 12bitrid 283 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  Atomscatm 38646  CvLatclc 38648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705
This theorem is referenced by:  ishlat3N  38737  hlsupr2  38771
  Copyright terms: Public domain W3C validator