Theorem cvlsupr3 39345

Description: Two equivalent ways of expressing that 𝑅 is a superposition of 𝑃 and 𝑄, which can replace the superposition part of ishlat1 39353, (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴(𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) ), with the simpler ∃𝑧 ∈ 𝐴(𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) as shown in ishlat3N 39355. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlsupr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cvlsupr2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvlsupr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlsupr3	⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))

Proof of Theorem cvlsupr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2941	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ 𝑃 = 𝑄)
2	1	imbi1i 349	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
3		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
4	3	biantrur 530	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ ((𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))))
5		pm4.83 1027	. . 3 ⊢ (((𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
6	2, 4, 5	3bitrri 298	. 2 ⊢ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
7		cvlsupr2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		cvlsupr2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cvlsupr2.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10	7, 8, 9	cvlsupr2 39344	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))))
11	10	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
12	11	pm5.74d 273	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
13	6, 12	bitrid 283	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Atomscatm 39264  CvLatclc 39266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323

This theorem is referenced by:  ishlat3N  39355  hlsupr2  39389