Theorem cvlsupr3 39641

Description: Two equivalent ways of expressing that 𝑅 is a superposition of 𝑃 and 𝑄, which can replace the superposition part of ishlat1 39649, (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴(𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) ), with the simpler ∃𝑧 ∈ 𝐴(𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) as shown in ishlat3N 39651. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlsupr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cvlsupr2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvlsupr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlsupr3	⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))

Proof of Theorem cvlsupr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2934	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ 𝑃 = 𝑄)
2	1	imbi1i 349	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
3		oveq1 7367	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
4	3	biantrur 530	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ ((𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))))
5		pm4.83 1027	. . 3 ⊢ (((𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
6	2, 4, 5	3bitrri 298	. 2 ⊢ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
7		cvlsupr2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		cvlsupr2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cvlsupr2.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10	7, 8, 9	cvlsupr2 39640	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))))
11	10	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
12	11	pm5.74d 273	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
13	6, 12	bitrid 283	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  lecple 17188  joincjn 18238  Atomscatm 39560  CvLatclc 39562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-lat 18359  df-covers 39563  df-ats 39564  df-atl 39595  df-cvlat 39619

This theorem is referenced by:  ishlat3N  39651  hlsupr2  39684