Theorem cvlsupr3 37358

Description: Two equivalent ways of expressing that 𝑅 is a superposition of 𝑃 and 𝑄, which can replace the superposition part of ishlat1 37366, (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴(𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) ), with the simpler ∃𝑧 ∈ 𝐴(𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) as shown in ishlat3N 37368. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlsupr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cvlsupr2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvlsupr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlsupr3	⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))

Proof of Theorem cvlsupr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2944	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ 𝑃 = 𝑄)
2	1	imbi1i 350	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
3		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
4	3	biantrur 531	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ ((𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))))
5		pm4.83 1022	. . 3 ⊢ (((𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (¬ 𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
6	2, 4, 5	3bitrri 298	. 2 ⊢ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
7		cvlsupr2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		cvlsupr2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cvlsupr2.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10	7, 8, 9	cvlsupr2 37357	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))))
11	10	3expia 1120	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
12	11	pm5.74d 272	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))
13	6, 12	syl5bb 283	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  lecple 16969  joincjn 18029  Atomscatm 37277  CvLatclc 37279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-lat 18150  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336

This theorem is referenced by:  ishlat3N  37368  hlsupr2  37401