Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrat42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrat42 38949
Description: Commuted version of cvrat4 38948. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrat4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrat4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrat4.z 0 = (0.β€˜πΎ)
cvrat4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrat42 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑋 β‰  0 ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑄))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐡,π‘Ÿ   ∨ ,π‘Ÿ   𝐾,π‘Ÿ   ≀ ,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑄,π‘Ÿ   𝑋,π‘Ÿ
Allowed substitution hint:   0 (π‘Ÿ)

Proof of Theorem cvrat42
StepHypRef Expression
1 cvrat4.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cvrat4.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cvrat4.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cvrat4.z . . 3 0 = (0.β€˜πΎ)
5 cvrat4.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5cvrat4 38948 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑋 β‰  0 ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ))))
7 hllat 38867 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
87ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
9 simplr3 1214 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
101, 5atbase 38793 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
121, 5atbase 38793 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
1312adantl 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
141, 3latjcom 18446 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) = (π‘Ÿ ∨ 𝑄))
158, 11, 13, 14syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) = (π‘Ÿ ∨ 𝑄))
1615breq2d 5164 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑄)))
1716anbi2d 628 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ↔ (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑄))))
1817rexbidva 3174 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑄))))
196, 18sylibd 238 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑋 β‰  0 ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  0.cp0 18422  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855
This theorem is referenced by:  pmapjat1  39358  djhcvat42  40920
  Copyright terms: Public domain W3C validator