Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrat42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrat42 37761
Description: Commuted version of cvrat4 37760. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat4.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat4.l = (le‘𝐾)
cvrat4.j = (join‘𝐾)
cvrat4.z 0 = (0.‘𝐾)
cvrat4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrat42 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑃 (𝑋 𝑄)) → ∃𝑟𝐴 (𝑟 𝑋𝑃 (𝑟 𝑄))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   ,𝑟   𝐾,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hint:   0 (𝑟)

Proof of Theorem cvrat42
StepHypRef Expression
1 cvrat4.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrat4.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 cvrat4.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 cvrat4.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
5 cvrat4.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5cvrat4 37760 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑃 (𝑋 𝑄)) → ∃𝑟𝐴 (𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟))))
7 hllat 37679 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
87ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9 simplr3 1217 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐴)
101, 5atbase 37605 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐵)
121, 5atbase 37605 . . . . . . 7 (𝑟𝐴𝑟𝐵)
1312adantl 483 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐵)
141, 3latjcom 18263 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐵𝑟𝐵) → (𝑄 𝑟) = (𝑟 𝑄))
158, 11, 13, 14syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑄 𝑟) = (𝑟 𝑄))
1615breq2d 5109 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 (𝑄 𝑟) ↔ 𝑃 (𝑟 𝑄)))
1716anbi2d 630 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟)) ↔ (𝑟 𝑋𝑃 (𝑟 𝑄))))
1817rexbidva 3170 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (∃𝑟𝐴 (𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟)) ↔ ∃𝑟𝐴 (𝑟 𝑋𝑃 (𝑟 𝑄))))
196, 18sylibd 238 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑃 (𝑋 𝑄)) → ∃𝑟𝐴 (𝑟 𝑋𝑃 (𝑟 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071   class class class wbr 5097  cfv 6484  (class class class)co 7342  Basecbs 17010  lecple 17067  joincjn 18127  0.cp0 18239  Latclat 18247  Atomscatm 37579  HLchlt 37666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-id 5523  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-proset 18111  df-poset 18129  df-plt 18146  df-lub 18162  df-glb 18163  df-join 18164  df-meet 18165  df-p0 18241  df-lat 18248  df-clat 18315  df-oposet 37492  df-ol 37494  df-oml 37495  df-covers 37582  df-ats 37583  df-atl 37614  df-cvlat 37638  df-hlat 37667
This theorem is referenced by:  pmapjat1  38170  djhcvat42  39732
  Copyright terms: Public domain W3C validator