Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrat42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrat42 37907
Description: Commuted version of cvrat4 37906. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat4.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat4.l = (le‘𝐾)
cvrat4.j = (join‘𝐾)
cvrat4.z 0 = (0.‘𝐾)
cvrat4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrat42 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑃 (𝑋 𝑄)) → ∃𝑟𝐴 (𝑟 𝑋𝑃 (𝑟 𝑄))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   ,𝑟   𝐾,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hint:   0 (𝑟)

Proof of Theorem cvrat42
StepHypRef Expression
1 cvrat4.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrat4.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 cvrat4.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 cvrat4.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
5 cvrat4.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5cvrat4 37906 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑃 (𝑋 𝑄)) → ∃𝑟𝐴 (𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟))))
7 hllat 37825 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
87ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9 simplr3 1217 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐴)
101, 5atbase 37751 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐵)
121, 5atbase 37751 . . . . . . 7 (𝑟𝐴𝑟𝐵)
1312adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐵)
141, 3latjcom 18336 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐵𝑟𝐵) → (𝑄 𝑟) = (𝑟 𝑄))
158, 11, 13, 14syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑄 𝑟) = (𝑟 𝑄))
1615breq2d 5117 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 (𝑄 𝑟) ↔ 𝑃 (𝑟 𝑄)))
1716anbi2d 629 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟)) ↔ (𝑟 𝑋𝑃 (𝑟 𝑄))))
1817rexbidva 3173 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (∃𝑟𝐴 (𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟)) ↔ ∃𝑟𝐴 (𝑟 𝑋𝑃 (𝑟 𝑄))))
196, 18sylibd 238 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑃 (𝑋 𝑄)) → ∃𝑟𝐴 (𝑟 𝑋𝑃 (𝑟 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  0.cp0 18312  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813
This theorem is referenced by:  pmapjat1  38316  djhcvat42  39878
  Copyright terms: Public domain W3C validator