Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrat42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrat42 37953
Description: Commuted version of cvrat4 37952. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrat4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrat4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrat4.z 0 = (0.β€˜πΎ)
cvrat4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrat42 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑋 β‰  0 ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑄))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐡,π‘Ÿ   ∨ ,π‘Ÿ   𝐾,π‘Ÿ   ≀ ,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑄,π‘Ÿ   𝑋,π‘Ÿ
Allowed substitution hint:   0 (π‘Ÿ)

Proof of Theorem cvrat42
StepHypRef Expression
1 cvrat4.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cvrat4.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cvrat4.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cvrat4.z . . 3 0 = (0.β€˜πΎ)
5 cvrat4.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5cvrat4 37952 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑋 β‰  0 ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ))))
7 hllat 37871 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
87ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
9 simplr3 1218 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
101, 5atbase 37797 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
121, 5atbase 37797 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
1312adantl 483 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
141, 3latjcom 18341 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) = (π‘Ÿ ∨ 𝑄))
158, 11, 13, 14syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) = (π‘Ÿ ∨ 𝑄))
1615breq2d 5118 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑄)))
1716anbi2d 630 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ↔ (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑄))))
1817rexbidva 3170 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑄))))
196, 18sylibd 238 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑋 β‰  0 ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  0.cp0 18317  Latclat 18325  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  pmapjat1  38362  djhcvat42  39924
  Copyright terms: Public domain W3C validator