Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hllat 37871 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
2 | 1 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
3 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
4 | | 2atjm.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | 2atjm.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
8 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
9 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
11 | | 2atjm.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
12 | | 2atjm.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
13 | 4, 11, 12 | latlej1 18342 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π β€ (π β¨ π)) |
14 | 2, 7, 10, 13 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
15 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ π) |
16 | | simp1 1137 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
17 | 4, 12, 5 | hlatjcl 37875 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β π΅) |
18 | 16, 3, 8, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) β π΅) |
19 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
20 | | 2atjm.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
21 | 4, 11, 20 | latlem12 18360 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ π) β π β€ ((π β¨ π) β§ π))) |
22 | 2, 7, 18, 19, 21 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ π) β π β€ ((π β¨ π) β§ π))) |
23 | 14, 15, 22 | mpbi2and 711 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ ((π β¨ π) β§ π)) |
24 | | hlatl 37868 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
25 | 24 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β AtLat) |
26 | 4, 20 | latmcom 18357 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((π β¨ π) β§ π) = (π β§ (π β¨ π))) |
27 | 2, 18, 19, 26 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) = (π β§ (π β¨ π))) |
28 | 19, 3, 8 | 3jca 1129 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
29 | | nbrne2 5126 |
. . . . . . 7
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π β π) |
30 | 29 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π) |
31 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β Β¬ π β€ π) |
32 | 4, 12 | latjcl 18333 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
33 | 2, 19, 10, 32 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) β π΅) |
34 | 4, 11, 12 | latlej1 18342 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π β€ (π β¨ π)) |
35 | 2, 19, 10, 34 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
36 | 4, 11, 2, 7, 19, 33, 15, 35 | lattrd 18340 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
37 | 4, 11, 12, 20, 5 | cvrat3 37951 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β§ (π β¨ π)) β π΄)) |
38 | 37 | imp 408 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β§ (π β¨ π)) β π΄) |
39 | 16, 28, 30, 31, 36, 38 | syl23anc 1378 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ (π β¨ π)) β π΄) |
40 | 27, 39 | eqeltrd 2834 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
41 | 11, 5 | atcmp 37819 |
. . . 4
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ ((π β¨ π) β§ π) β π΄) β (π β€ ((π β¨ π) β§ π) β π = ((π β¨ π) β§ π))) |
42 | 25, 3, 40, 41 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β (π β€ ((π β¨ π) β§ π) β π = ((π β¨ π) β§ π))) |
43 | 23, 42 | mpbid 231 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π = ((π β¨ π) β§ π)) |
44 | 43 | eqcomd 2739 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) = π) |