Theorem djhcvat42 42217

Description: A covering property. (cvrat42 40246 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhcvat42.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhcvat42.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhcvat42.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
djhcvat42.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
djhcvat42.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djhcvat42.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
djhcvat42.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
djhcvat42.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
djhcvat42	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑁   𝜑,𝑧   𝑧,𝑊   𝑧,𝑆   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝐻(𝑧)   ∨ (𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem djhcvat42

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhcvat42.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3		djhcvat42.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		djhcvat42.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		djhcvat42.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7	4, 5, 6	dihcnvcl 42073	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
8	1, 3, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
9		djhcvat42.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		eldifsni 4757	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
13		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
14		djhcvat42.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		djhcvat42.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		djhcvat42.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
17		djhcvat42.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 42135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
19	1, 10, 12, 18	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
20		djhcvat42.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		eldifsni 4757	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
23	20, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
24	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 42135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
25	1, 21, 23, 24	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
26		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
27		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
28		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
29	4, 26, 27, 28, 13	cvrat42 40246	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))) → (((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) → ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
30	2, 8, 19, 25, 29	syl13anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) → ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
31	5, 28, 6, 14, 15, 16, 17, 1, 3	dih0sb 42087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } ↔ (◡𝐼‘𝑆) = (0.‘𝐾)))
32	31	necon3bid 3001	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ { 0 } ↔ (◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾)))
33	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 42133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
34	1, 10, 33	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
35	5, 14, 6, 15	dihrnss 42080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
36	1, 3, 35	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑉)
37	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 42133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
38	1, 21, 37	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
39	5, 14, 6, 15	dihrnss 42080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
40	1, 38, 39	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
41		djhcvat42.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
42	5, 6, 14, 15, 41	djhcl 42202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)) → (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
43	1, 36, 40, 42	syl12anc 849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
44	26, 5, 6, 1, 34, 43	dihcnvord 42076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
45	27, 5, 6, 41, 1, 3, 38	djhj 42206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
46	45	breq2d 5120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
47	44, 46	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
48	32, 47	anbi12d 643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
49	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
50		eldifi 4084	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	50	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ∈ 𝑉)
52		eldifsni 4757	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑧 ≠ 0 )
53	52	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ≠ 0 )
54	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 42135	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) ∈ (Atoms‘𝐾))
55	49, 51, 53, 54	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) ∈ (Atoms‘𝐾))
56	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6, 1	dihatexv2 42141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))))
57		breq1 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → (𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆)))
58		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → (𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
59	58	breq2d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
60	57, 59	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → ((𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
61	60	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))) → ((𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
62	55, 56, 61	rexxfr2d 5381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
63	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 42133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
64	49, 51, 63	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
65	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
66	26, 5, 6, 49, 64, 65	dihcnvord 42076	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆))
67	38	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
68	27, 5, 6, 41, 49, 64, 67	djhj 42206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
69	68	breq2d 5120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
70	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝑉)
71	49, 70, 33	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
72	5, 14, 6, 15	dihrnss 42080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉)
73	49, 64, 72	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉)
74	40	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
75	5, 6, 14, 15, 41	djhcl 42202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)) → ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
76	49, 73, 74, 75	syl12anc 849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
77	26, 5, 6, 49, 71, 76	dihcnvord 42076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
78	69, 77	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
79	66, 78	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))
80	79	rexbidva 3186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))
81	62, 80	bitr2d 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
82	30, 48, 81	3imtr4d 297	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5659  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  lecple 17323  0_gc0g 17498  joincjn 18373  0.cp0 18483  LSpanclspn 21103  Atomscatm 40065  HLchlt 40152  LHypclh 40786  DVecHcdvh 41880  DIsoHcdih 42030  joinHcdjh 42196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-undef 8267  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-0g 17500  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-p1 18486  df-lat 18494  df-clat 18561  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-lsm 19712  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-drng 20840  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lvec 21235  df-lsatoms 39778  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961  df-tendo 41557  df-edring 41559  df-disoa 41831  df-dvech 41881  df-dib 41941  df-dic 41975  df-dih 42031  df-doch 42150  df-djh 42197

This theorem is used by:  dihjat1lem  42230