Theorem djhcvat42 42139

Description: A covering property. (cvrat42 40168 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhcvat42.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhcvat42.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhcvat42.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
djhcvat42.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
djhcvat42.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djhcvat42.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
djhcvat42.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
djhcvat42.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
djhcvat42	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑁   𝜑,𝑧   𝑧,𝑊   𝑧,𝑆   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝐻(𝑧)   ∨ (𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem djhcvat42

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhcvat42.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3		djhcvat42.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
4		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		djhcvat42.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		djhcvat42.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7	4, 5, 6	dihcnvcl 41995	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
8	1, 3, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
9		djhcvat42.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		eldifsni 4763	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
13		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
14		djhcvat42.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		djhcvat42.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		djhcvat42.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
17		djhcvat42.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 42057	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
19	1, 10, 12, 18	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
20		djhcvat42.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		eldifsni 4763	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
23	20, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
24	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 42057	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
25	1, 21, 23, 24	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
26		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
27		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
28		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
29	4, 26, 27, 28, 13	cvrat42 40168	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))) → (((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) → ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
30	2, 8, 19, 25, 29	syl13anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → (((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) → ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
31	5, 28, 6, 14, 15, 16, 17, 1, 3	dih0sb 42009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } ↔ (◡𝐼‘𝑆) = (0.‘𝐾)))
32	31	necon3bid 3009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ { 0 } ↔ (◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾)))
33	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 42055	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
34	1, 10, 33	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
35	5, 14, 6, 15	dihrnss 42002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
36	1, 3, 35	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑉)
37	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 42055	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
38	1, 21, 37	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
39	5, 14, 6, 15	dihrnss 42002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
40	1, 38, 39	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
41		djhcvat42.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
42	5, 6, 14, 15, 41	djhcl 42124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)) → (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
43	1, 36, 40, 42	syl12anc 849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
44	26, 5, 6, 1, 34, 43	dihcnvord 41998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
45	27, 5, 6, 41, 1, 3, 38	djhj 42128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
46	45	breq2d 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
47	44, 46	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
48	32, 47	anbi12d 643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
49	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
50		eldifi 4093	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	50	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ∈ 𝑉)
52		eldifsni 4763	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑧 ≠ 0 )
53	52	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ≠ 0 )
54	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 42057	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) ∈ (Atoms‘𝐾))
55	49, 51, 53, 54	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) ∈ (Atoms‘𝐾))
56	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6, 1	dihatexv2 42063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))))
57		breq1 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → (𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆)))
58		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → (𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
59	58	breq2d 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
60	57, 59	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → ((𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
61	60	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))) → ((𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
62	55, 56, 61	rexxfr2d 5386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
63	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 42055	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
64	49, 51, 63	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
65	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
66	26, 5, 6, 49, 64, 65	dihcnvord 41998	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆))
67	38	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
68	27, 5, 6, 41, 49, 64, 67	djhj 42128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
69	68	breq2d 5126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
70	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝑉)
71	49, 70, 33	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
72	5, 14, 6, 15	dihrnss 42002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉)
73	49, 64, 72	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉)
74	40	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
75	5, 6, 14, 15, 41	djhcl 42124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)) → ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
76	49, 73, 74, 75	syl12anc 849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
77	26, 5, 6, 49, 71, 76	dihcnvord 41998	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
78	69, 77	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
79	66, 78	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))
80	79	rexbidva 3194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))
81	62, 80	bitr2d 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
82	30, 48, 81	3imtr4d 297	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ∃wrex 3096   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5114  ^◡ccnv 5664  ran crn 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  lecple 17320  0_gc0g 17495  joincjn 18370  0.cp0 18480  LSpanclspn 21075  Atomscatm 39987  HLchlt 40074  LHypclh 40708  DVecHcdvh 41802  DIsoHcdih 41952  joinHcdjh 42118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-riotaBAD 39677

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-0g 17497  df-proset 18353  df-poset 18372  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18491  df-clat 18558  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-subg 19192  df-cntz 19390  df-lsm 19709  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-oppr 20422  df-dvdsr 20442  df-unit 20443  df-invr 20473  df-dvr 20486  df-drng 20818  df-lmod 20966  df-lss 21036  df-lsp 21076  df-lvec 21207  df-lsatoms 39700  df-oposet 39900  df-ol 39902  df-oml 39903  df-covers 39990  df-ats 39991  df-atl 40022  df-cvlat 40046  df-hlat 40075  df-llines 40222  df-lplanes 40223  df-lvols 40224  df-lines 40225  df-psubsp 40227  df-pmap 40228  df-padd 40520  df-lhyp 40712  df-laut 40713  df-ldil 40828  df-ltrn 40829  df-trl 40883  df-tendo 41479  df-edring 41481  df-disoa 41753  df-dvech 41803  df-dib 41863  df-dic 41897  df-dih 41953  df-doch 42072  df-djh 42119

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  42152