Theorem djhcvat42 39356

Description: A covering property. (cvrat42 37385 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhcvat42.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhcvat42.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhcvat42.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
djhcvat42.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
djhcvat42.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djhcvat42.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
djhcvat42.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
djhcvat42.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
djhcvat42	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑁   𝜑,𝑧   𝑧,𝑊   𝑧,𝑆   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝐻(𝑧)   ∨ (𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem djhcvat42

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhcvat42.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3		djhcvat42.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		djhcvat42.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		djhcvat42.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7	4, 5, 6	dihcnvcl 39212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
8	1, 3, 7	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
9		djhcvat42.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		eldifsni 4720	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
14		djhcvat42.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		djhcvat42.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		djhcvat42.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
17		djhcvat42.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 39274	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
19	1, 10, 12, 18	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
20		djhcvat42.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		eldifsni 4720	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
23	20, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
24	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 39274	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
25	1, 21, 23, 24	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
26		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
27		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
28		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
29	4, 26, 27, 28, 13	cvrat42 37385	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))) → (((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) → ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
30	2, 8, 19, 25, 29	syl13anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) → ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
31	5, 28, 6, 14, 15, 16, 17, 1, 3	dih0sb 39226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } ↔ (◡𝐼‘𝑆) = (0.‘𝐾)))
32	31	necon3bid 2987	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ { 0 } ↔ (◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾)))
33	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 39272	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
34	1, 10, 33	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
35	5, 14, 6, 15	dihrnss 39219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
36	1, 3, 35	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑉)
37	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 39272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
38	1, 21, 37	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
39	5, 14, 6, 15	dihrnss 39219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
40	1, 38, 39	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
41		djhcvat42.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
42	5, 6, 14, 15, 41	djhcl 39341	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)) → (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
43	1, 36, 40, 42	syl12anc 833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
44	26, 5, 6, 1, 34, 43	dihcnvord 39215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
45	27, 5, 6, 41, 1, 3, 38	djhj 39345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
46	45	breq2d 5082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
47	44, 46	bitr3d 280	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
48	32, 47	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
49	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
50		eldifi 4057	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	50	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ∈ 𝑉)
52		eldifsni 4720	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑧 ≠ 0 )
53	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ≠ 0 )
54	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 39274	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) ∈ (Atoms‘𝐾))
55	49, 51, 53, 54	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) ∈ (Atoms‘𝐾))
56	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6, 1	dihatexv2 39280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))))
57		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → (𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆)))
58		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → (𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
59	58	breq2d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
60	57, 59	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → ((𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
61	60	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))) → ((𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
62	55, 56, 61	rexxfr2d 5329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
63	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 39272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
64	49, 51, 63	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
65	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
66	26, 5, 6, 49, 64, 65	dihcnvord 39215	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆))
67	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
68	27, 5, 6, 41, 49, 64, 67	djhj 39345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
69	68	breq2d 5082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
70	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝑉)
71	49, 70, 33	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
72	5, 14, 6, 15	dihrnss 39219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉)
73	49, 64, 72	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉)
74	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
75	5, 6, 14, 15, 41	djhcl 39341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)) → ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
76	49, 73, 74, 75	syl12anc 833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
77	26, 5, 6, 49, 71, 76	dihcnvord 39215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
78	69, 77	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
79	66, 78	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))
80	79	rexbidva 3224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))
81	62, 80	bitr2d 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
82	30, 48, 81	3imtr4d 293	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  0_gc0g 17067  joincjn 17944  0.cp0 18056  LSpanclspn 20148  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  DIsoHcdih 39169  joinHcdjh 39335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  39369