Theorem djhcvat42 41417

Description: A covering property. (cvrat42 39446 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhcvat42.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhcvat42.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhcvat42.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
djhcvat42.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
djhcvat42.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djhcvat42.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
djhcvat42.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
djhcvat42.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
djhcvat42	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑁   𝜑,𝑧   𝑧,𝑊   𝑧,𝑆   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝐻(𝑧)   ∨ (𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem djhcvat42

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhcvat42.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3		djhcvat42.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		djhcvat42.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		djhcvat42.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7	4, 5, 6	dihcnvcl 41273	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
8	1, 3, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
9		djhcvat42.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		eldifsni 4790	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
14		djhcvat42.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		djhcvat42.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		djhcvat42.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
17		djhcvat42.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 41335	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
19	1, 10, 12, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
20		djhcvat42.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		eldifsni 4790	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
23	20, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
24	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 41335	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
25	1, 21, 23, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
26		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
27		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
28		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
29	4, 26, 27, 28, 13	cvrat42 39446	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))) → (((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) → ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
30	2, 8, 19, 25, 29	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) → ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
31	5, 28, 6, 14, 15, 16, 17, 1, 3	dih0sb 41287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } ↔ (◡𝐼‘𝑆) = (0.‘𝐾)))
32	31	necon3bid 2985	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ { 0 } ↔ (◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾)))
33	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 41333	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
34	1, 10, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
35	5, 14, 6, 15	dihrnss 41280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
36	1, 3, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑉)
37	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 41333	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
38	1, 21, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
39	5, 14, 6, 15	dihrnss 41280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
40	1, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
41		djhcvat42.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
42	5, 6, 14, 15, 41	djhcl 41402	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)) → (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
43	1, 36, 40, 42	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
44	26, 5, 6, 1, 34, 43	dihcnvord 41276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
45	27, 5, 6, 41, 1, 3, 38	djhj 41406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
46	45	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
47	44, 46	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
48	32, 47	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
49	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
50		eldifi 4131	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	50	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ∈ 𝑉)
52		eldifsni 4790	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑧 ≠ 0 )
53	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ≠ 0 )
54	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 41335	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) ∈ (Atoms‘𝐾))
55	49, 51, 53, 54	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) ∈ (Atoms‘𝐾))
56	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6, 1	dihatexv2 41341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))))
57		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → (𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆)))
58		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → (𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
59	58	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
60	57, 59	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → ((𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
61	60	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))) → ((𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
62	55, 56, 61	rexxfr2d 5411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
63	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 41333	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
64	49, 51, 63	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
65	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
66	26, 5, 6, 49, 64, 65	dihcnvord 41276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆))
67	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
68	27, 5, 6, 41, 49, 64, 67	djhj 41406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
69	68	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
70	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝑉)
71	49, 70, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
72	5, 14, 6, 15	dihrnss 41280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉)
73	49, 64, 72	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉)
74	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
75	5, 6, 14, 15, 41	djhcl 41402	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)) → ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
76	49, 73, 74, 75	syl12anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
77	26, 5, 6, 49, 71, 76	dihcnvord 41276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
78	69, 77	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
79	66, 78	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))
80	79	rexbidva 3177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))
81	62, 80	bitr2d 280	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
82	30, 48, 81	3imtr4d 294	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  0_gc0g 17484  joincjn 18357  0.cp0 18468  LSpanclspn 20969  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  DIsoHcdih 41230  joinHcdjh 41396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  41430