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Theorem djhcvat42 40372
Description: A covering property. (cvrat42 38401 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhcvat42.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
djhcvat42.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djhcvat42.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
djhcvat42.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
djhcvat42.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
djhcvat42.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djhcvat42.j ∨ = ((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djhcvat42.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
djhcvat42.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐼)
djhcvat42.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
djhcvat42.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
djhcvat42 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β‰  { 0 } ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (𝑆 ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((π‘β€˜{𝑧}) βŠ† 𝑆 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ})))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑁   πœ‘,𝑧   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑆   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑧)   𝐻(𝑧)   ∨ (𝑧)   0 (𝑧)
Proof of Theorem djhcvat42
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djhcvat42.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
21simpld 495 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 djhcvat42.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐼)
4 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 djhcvat42.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 djhcvat42.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
74, 5, 6dihcnvcl 40228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
81, 3, 7syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 djhcvat42.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3960 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
11 eldifsni 4793 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
129, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
13 eqid 2732 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
14 djhcvat42.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 djhcvat42.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
16 djhcvat42.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
17 djhcvat42.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
1813, 5, 14, 15, 16, 17, 6dihlspsnat 40290 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
191, 10, 12, 18syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
20 djhcvat42.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2120eldifad 3960 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
22 eldifsni 4793 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ π‘Œ β‰  0 )
2320, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
2413, 5, 14, 15, 16, 17, 6dihlspsnat 40290 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
251, 21, 23, 24syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
26 eqid 2732 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
27 eqid 2732 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
28 eqid 2732 . . . 4 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
294, 26, 27, 28, 13cvrat42 38401 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((β—‘πΌβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ (((β—‘πΌβ€˜π‘†) β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))))
302, 8, 19, 25, 29syl13anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (((β—‘πΌβ€˜π‘†) β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))))
315, 28, 6, 14, 15, 16, 17, 1, 3dih0sb 40242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 = { 0 } ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘†) = (0.β€˜πΎ)))
3231necon3bid 2985 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 β‰  { 0 } ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘†) β‰  (0.β€˜πΎ)))
335, 14, 15, 17, 6dihlsprn 40288 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
341, 10, 33syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
355, 14, 6, 15dihrnss 40235 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
361, 3, 35syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
375, 14, 15, 17, 6dihlsprn 40288 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ ran 𝐼)
381, 21, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ ran 𝐼)
395, 14, 6, 15dihrnss 40235 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
401, 38, 39syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
41 djhcvat42.j . . . . . . 7 ∨ = ((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
425, 6, 14, 15, 41djhcl 40357 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)) β†’ (𝑆 ∨ (π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ ran 𝐼)
431, 36, 40, 42syl12anc 835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∨ (π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ ran 𝐼)
4426, 5, 6, 1, 34, 43dihcnvord 40231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(𝑆 ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (𝑆 ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
4527, 5, 6, 41, 1, 3, 38djhj 40361 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(𝑆 ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))) = ((β—‘πΌβ€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
4645breq2d 5160 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(𝑆 ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))))
4744, 46bitr3d 280 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (𝑆 ∨ (π‘β€˜{π‘Œ})) ↔ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))))
4832, 47anbi12d 631 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β‰  { 0 } ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (𝑆 ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ ((β—‘πΌβ€˜π‘†) β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))))
491adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
50 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
5150adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
52 eldifsni 4793 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑧 β‰  0 )
5352adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑧 β‰  0 )
5413, 5, 14, 15, 16, 17, 6dihlspsnat 40290 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 β‰  0 ) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧})) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
5549, 51, 53, 54syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧})) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
5613, 5, 14, 15, 16, 17, 6, 1dihatexv2 40296 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })π‘Ÿ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))))
57 breq1 5151 . . . . . 6 (π‘Ÿ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧})) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ↔ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†)))
58 oveq1 7418 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧})) β†’ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) = ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
5958breq2d 5160 . . . . . 6 (π‘Ÿ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧})) β†’ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))))
6057, 59anbi12d 631 . . . . 5 (π‘Ÿ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧})) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))) ↔ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))))
6160adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))) ↔ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))))
6255, 56, 61rexxfr2d 5409 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))))
635, 14, 15, 17, 6dihlsprn 40288 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
6449, 51, 63syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
653adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐼)
6626, 5, 6, 49, 64, 65dihcnvord 40231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ↔ (π‘β€˜{𝑧}) βŠ† 𝑆))
6738adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ ran 𝐼)
6827, 5, 6, 41, 49, 64, 67djhj 40361 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (β—‘πΌβ€˜((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))) = ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
6968breq2d 5160 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))))
7010adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7149, 70, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
725, 14, 6, 15dihrnss 40235 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) βŠ† 𝑉)
7349, 64, 72syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) βŠ† 𝑉)
7440adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
755, 6, 14, 15, 41djhcl 40357 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)) β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ ran 𝐼)
7649, 73, 74, 75syl12anc 835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ ran 𝐼)
7726, 5, 6, 49, 71, 76dihcnvord 40231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
7869, 77bitr3d 280 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
7966, 78anbi12d 631 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))) ↔ ((π‘β€˜{𝑧}) βŠ† 𝑆 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ})))))
8079rexbidva 3176 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑧}))(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((π‘β€˜{𝑧}) βŠ† 𝑆 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ})))))
8162, 80bitr2d 279 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((π‘β€˜{𝑧}) βŠ† 𝑆 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘†) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))))
8230, 48, 813imtr4d 293 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β‰  { 0 } ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (𝑆 ∨ (π‘β€˜{π‘Œ}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((π‘β€˜{𝑧}) βŠ† 𝑆 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑧}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206  0gc0g 17387  joincjn 18266  0.cp0 18378  LSpanclspn 20587  Atomscatm 38219  HLchlt 38306  LHypclh 38941  DVecHcdvh 40035  DIsoHcdih 40185  joinHcdjh 40351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-0g 17389  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-lvec 20719  df-lsatoms 37932  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116  df-tendo 39712  df-edring 39714  df-disoa 39986  df-dvech 40036  df-dib 40096  df-dic 40130  df-dih 40186  df-doch 40305  df-djh 40352
This theorem is referenced by:  dihjat1lem  40385
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