Theorem djhcvat42 41710

Description: A covering property. (cvrat42 39739 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhcvat42.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhcvat42.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhcvat42.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
djhcvat42.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
djhcvat42.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djhcvat42.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djhcvat42.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
djhcvat42.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
djhcvat42.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
djhcvat42	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑁   𝜑,𝑧   𝑧,𝑊   𝑧,𝑆   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝐻(𝑧)   ∨ (𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem djhcvat42

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhcvat42.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3		djhcvat42.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		djhcvat42.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		djhcvat42.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7	4, 5, 6	dihcnvcl 41566	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
8	1, 3, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
9		djhcvat42.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		eldifsni 4745	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
14		djhcvat42.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		djhcvat42.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		djhcvat42.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
17		djhcvat42.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 41628	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
19	1, 10, 12, 18	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
20		djhcvat42.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		eldifsni 4745	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
23	20, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
24	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 41628	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
25	1, 21, 23, 24	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
26		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
27		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
28		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
29	4, 26, 27, 28, 13	cvrat42 39739	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((◡𝐼‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))) → (((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) → ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
30	2, 8, 19, 25, 29	syl13anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → (((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) → ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
31	5, 28, 6, 14, 15, 16, 17, 1, 3	dih0sb 41580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } ↔ (◡𝐼‘𝑆) = (0.‘𝐾)))
32	31	necon3bid 2975	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ { 0 } ↔ (◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾)))
33	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 41626	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
34	1, 10, 33	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
35	5, 14, 6, 15	dihrnss 41573	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
36	1, 3, 35	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑉)
37	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 41626	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
38	1, 21, 37	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
39	5, 14, 6, 15	dihrnss 41573	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
40	1, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
41		djhcvat42.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
42	5, 6, 14, 15, 41	djhcl 41695	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)) → (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
43	1, 36, 40, 42	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
44	26, 5, 6, 1, 34, 43	dihcnvord 41569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
45	27, 5, 6, 41, 1, 3, 38	djhj 41699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
46	45	breq2d 5109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
47	44, 46	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
48	32, 47	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((◡𝐼‘𝑆) ≠ (0.‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘𝑆)(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
49	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
50		eldifi 4082	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	50	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ∈ 𝑉)
52		eldifsni 4745	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑧 ≠ 0 )
53	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ≠ 0 )
54	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6	dihlspsnat 41628	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) ∈ (Atoms‘𝐾))
55	49, 51, 53, 54	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) ∈ (Atoms‘𝐾))
56	13, 5, 14, 15, 16, 17, 6, 1	dihatexv2 41634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))))
57		breq1 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → (𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆)))
58		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → (𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
59	58	breq2d 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
60	57, 59	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧})) → ((𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
61	60	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))) → ((𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
62	55, 56, 61	rexxfr2d 5355	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
63	5, 14, 15, 17, 6	dihlsprn 41626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
64	49, 51, 63	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼)
65	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
66	26, 5, 6, 49, 64, 65	dihcnvord 41569	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆))
67	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
68	27, 5, 6, 41, 49, 64, 67	djhj 41699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) = ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))
69	68	breq2d 5109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
70	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝑉)
71	49, 70, 33	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
72	5, 14, 6, 15	dihrnss 41573	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉)
73	49, 64, 72	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉)
74	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
75	5, 6, 14, 15, 41	djhcl 41695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)) → ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
76	49, 73, 74, 75	syl12anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)
77	26, 5, 6, 49, 71, 76	dihcnvord 41569	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
78	69, 77	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))))
79	66, 78	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))
80	79	rexbidva 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑧}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))
81	62, 80	bitr2d 280	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ ∃𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑟(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑆) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))))))
82	30, 48, 81	3imtr4d 294	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑆 ∨ (𝑁‘{𝑌}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑧}) ∨ (𝑁‘{𝑌})))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3897   ⊆ wss 3900  {csn 4579   class class class wbr 5097  ^◡ccnv 5622  ran crn 5624  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  lecple 17186  0_gc0g 17361  joincjn 18236  0.cp0 18346  LSpanclspn 20924  Atomscatm 39558  HLchlt 39645  LHypclh 40279  DVecHcdvh 41373  DIsoHcdih 41523  joinHcdjh 41689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 39248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17363  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19248  df-lsm 19567  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-lvec 21057  df-lsatoms 39271  df-oposet 39471  df-ol 39473  df-oml 39474  df-covers 39561  df-ats 39562  df-atl 39593  df-cvlat 39617  df-hlat 39646  df-llines 39793  df-lplanes 39794  df-lvols 39795  df-lines 39796  df-psubsp 39798  df-pmap 39799  df-padd 40091  df-lhyp 40283  df-laut 40284  df-ldil 40399  df-ltrn 40400  df-trl 40454  df-tendo 41050  df-edring 41052  df-disoa 41324  df-dvech 41374  df-dib 41434  df-dic 41468  df-dih 41524  df-doch 41643  df-djh 41690

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  41723