Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem18 38173
Description: Lemma for dath 38228. Show that a dummy atom 𝑐 exists outside of the π‘Œ and 𝑍 planes (when those planes are equal). This requires that the projective space be 3-dimensional. (Desargues's theorem does not always hold in 2 dimensions.) (Contributed by NM, 29-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem18.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalem18 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   ∨ ,𝑐   ≀ ,𝑐   𝑃,𝑐   𝑄,𝑐   𝑅,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑐)   𝐢(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝑇(𝑐)   π‘ˆ(𝑐)   𝐾(𝑐)   𝑂(𝑐)   π‘Œ(𝑐)   𝑍(𝑐)

Proof of Theorem dalem18
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemkehl 38115 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
31dalempea 38118 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
41dalemqea 38119 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
51dalemrea 38120 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
6 dalemc.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 dalemc.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 83dim3 37961 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1373 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
11 dalem18.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
1211breq2i 5118 . . . 4 (𝑐 ≀ π‘Œ ↔ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1312notbii 320 . . 3 (Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ↔ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1413rexbii 3098 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1510, 14sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  Atomscatm 37754  HLchlt 37841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842
This theorem is referenced by:  dalem20  38185
  Copyright terms: Public domain W3C validator