Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem18 38355
Description: Lemma for dath 38410. Show that a dummy atom 𝑐 exists outside of the 𝑌 and 𝑍 planes (when those planes are equal). This requires that the projective space be 3-dimensional. (Desargues's theorem does not always hold in 2 dimensions.) (Contributed by NM, 29-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalemc.l = (le‘𝐾)
dalemc.j = (join‘𝐾)
dalemc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem18.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalem18 (𝜑 → ∃𝑐𝐴 ¬ 𝑐 𝑌)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   ,𝑐   ,𝑐   𝑃,𝑐   𝑄,𝑐   𝑅,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝑇(𝑐)   𝑈(𝑐)   𝐾(𝑐)   𝑂(𝑐)   𝑌(𝑐)   𝑍(𝑐)

Proof of Theorem dalem18
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
21dalemkehl 38297 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ HL)
31dalempea 38300 . . 3 (𝜑𝑃𝐴)
41dalemqea 38301 . . 3 (𝜑𝑄𝐴)
51dalemrea 38302 . . 3 (𝜑𝑅𝐴)
6 dalemc.j . . . 4 = (join‘𝐾)
7 dalemc.l . . . 4 = (le‘𝐾)
8 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 83dim3 38143 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑐𝐴 ¬ 𝑐 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1372 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝐴 ¬ 𝑐 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
11 dalem18.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
1211breq2i 5149 . . . 4 (𝑐 𝑌𝑐 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
1312notbii 319 . . 3 𝑐 𝑌 ↔ ¬ 𝑐 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
1413rexbii 3093 . 2 (∃𝑐𝐴 ¬ 𝑐 𝑌 ↔ ∃𝑐𝐴 ¬ 𝑐 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
1510, 14sylibr 233 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐴 ¬ 𝑐 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3069   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  lecple 17186  joincjn 18246  Atomscatm 37936  HLchlt 38023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37849  df-ol 37851  df-oml 37852  df-covers 37939  df-ats 37940  df-atl 37971  df-cvlat 37995  df-hlat 38024
This theorem is referenced by:  dalem20  38367
  Copyright terms: Public domain W3C validator