Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem18 38547
Description: Lemma for dath 38602. Show that a dummy atom 𝑐 exists outside of the π‘Œ and 𝑍 planes (when those planes are equal). This requires that the projective space be 3-dimensional. (Desargues's theorem does not always hold in 2 dimensions.) (Contributed by NM, 29-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem18.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalem18 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   ∨ ,𝑐   ≀ ,𝑐   𝑃,𝑐   𝑄,𝑐   𝑅,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑐)   𝐢(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝑇(𝑐)   π‘ˆ(𝑐)   𝐾(𝑐)   𝑂(𝑐)   π‘Œ(𝑐)   𝑍(𝑐)

Proof of Theorem dalem18
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemkehl 38489 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
31dalempea 38492 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
41dalemqea 38493 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
51dalemrea 38494 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
6 dalemc.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 dalemc.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 83dim3 38335 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
11 dalem18.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
1211breq2i 5156 . . . 4 (𝑐 ≀ π‘Œ ↔ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1312notbii 319 . . 3 (Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ↔ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1413rexbii 3094 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1510, 14sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  Atomscatm 38128  HLchlt 38215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216
This theorem is referenced by:  dalem20  38559
  Copyright terms: Public domain W3C validator