Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem18 39186
Description: Lemma for dath 39241. Show that a dummy atom 𝑐 exists outside of the π‘Œ and 𝑍 planes (when those planes are equal). This requires that the projective space be 3-dimensional. (Desargues's theorem does not always hold in 2 dimensions.) (Contributed by NM, 29-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem18.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalem18 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   ∨ ,𝑐   ≀ ,𝑐   𝑃,𝑐   𝑄,𝑐   𝑅,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑐)   𝐢(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝑇(𝑐)   π‘ˆ(𝑐)   𝐾(𝑐)   𝑂(𝑐)   π‘Œ(𝑐)   𝑍(𝑐)

Proof of Theorem dalem18
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemkehl 39128 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
31dalempea 39131 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
41dalemqea 39132 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
51dalemrea 39133 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
6 dalemc.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 dalemc.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 83dim3 38974 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
11 dalem18.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
1211breq2i 5160 . . . 4 (𝑐 ≀ π‘Œ ↔ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1312notbii 319 . . 3 (Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ↔ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1413rexbii 3091 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1510, 14sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  Atomscatm 38767  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855
This theorem is referenced by:  dalem20  39198
  Copyright terms: Public domain W3C validator