Theorem dalem20 38867

Description: Lemma for dath 38910. Show that a second dummy atom 𝑑 exists outside of the 𝑌 and 𝑍 planes (when those planes are equal). (Contributed by NM, 14-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalem.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem20.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem20.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem20.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dalem20	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑐∃𝑑𝜓)

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝐴   𝐶,𝑑   𝐾,𝑑   ≤ ,𝑐,𝑑   𝑌,𝑐,𝑑   ∨ ,𝑐   𝑃,𝑐   𝑄,𝑐   𝑅,𝑐   𝑍,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝜓(𝑐,𝑑)   𝐶(𝑐)   𝑃(𝑑)   𝑄(𝑑)   𝑅(𝑑)   𝑆(𝑐,𝑑)   𝑇(𝑐,𝑑)   𝑈(𝑐,𝑑)   ∨ (𝑑)   𝐾(𝑐)   𝑂(𝑐,𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dalem20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem.ph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2		dalem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dalem.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		dalem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		dalem20.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	dalem18 38855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 ≤ 𝑌)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 ≤ 𝑌)
8		dalem20.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
9		dalem20.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
10	1, 2, 3, 4, 8, 5, 9	dalem19 38856	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌) → ∃𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑)))
11	10	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
12	11	ancld 551	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 → (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑)))))
13	12	reximdva 3168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑)))))
14	7, 13	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
15		dalem.ps	. . . . 5 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
16		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))) ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑)))))
17	15, 16	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑)))))
18	17	2exbii 1851	. . 3 ⊢ (∃𝑐∃𝑑𝜓 ↔ ∃𝑐∃𝑑((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑)))))
19		r2ex 3195	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑑 ∈ 𝐴 (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))) ↔ ∃𝑐∃𝑑((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑)))))
20		r19.42v 3190	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝐴 (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))) ↔ (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
21	20	rexbii 3094	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑑 ∈ 𝐴 (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
22	18, 19, 21	3bitr2ri 299	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐴 (¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))) ↔ ∃𝑐∃𝑑𝜓)
23	14, 22	sylib 217	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑐∃𝑑𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LPlanesclpl 38666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673

This theorem is referenced by:  dalem62  38908