Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem22 37695
Description: Lemma for dath 37736. Show that lines 𝑐𝑑 and 𝑃𝑆 determine a plane. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalem22.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem22.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem22.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
Assertion
Ref Expression
dalem22 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂)

Proof of Theorem dalem22
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . 3 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
2 dalem.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 dalem.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 dalem.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dalem.ps . . 3 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
6 eqid 2738 . . 3 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
7 dalem22.o . . 3 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
8 dalem22.y . . 3 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
9 dalem22.z . . 3 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dalem21 37694 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑)(meet‘𝐾)(𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴)
111dalemkehl 37623 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ HL)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
131, 2, 3, 4, 5dalemcjden 37692 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾))
141, 2, 3, 4, 7, 8dalempjsen 37653 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑃 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
16 eqid 2738 . . . . 5 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
173, 6, 4, 16, 72llnmj 37560 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑐 𝑑)(meet‘𝐾)(𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂))
1812, 13, 15, 17syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝑐 𝑑)(meet‘𝐾)(𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂))
19183adant2 1130 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (((𝑐 𝑑)(meet‘𝐾)(𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂))
2010, 19mpbid 231 1 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5074  cfv 6427  (class class class)co 7268  Basecbs 16900  lecple 16957  joincjn 18017  meetcmee 18018  Atomscatm 37263  HLchlt 37350  LLinesclln 37491  LPlanesclpl 37492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-proset 18001  df-poset 18019  df-plt 18036  df-lub 18052  df-glb 18053  df-join 18054  df-meet 18055  df-p0 18131  df-lat 18138  df-clat 18205  df-oposet 37176  df-ol 37178  df-oml 37179  df-covers 37266  df-ats 37267  df-atl 37298  df-cvlat 37322  df-hlat 37351  df-llines 37498  df-lplanes 37499
This theorem is referenced by:  dalem23  37696
  Copyright terms: Public domain W3C validator