Theorem 2llnmj 40052

Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnmj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2llnmj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2llnmj.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmj.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnmj.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnmj	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃))

Proof of Theorem 2llnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		2llnmj.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4	2, 3	llnbase 40001	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 3	llnbase 40001	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
7	6	3ad2ant3 1141	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8		2llnmj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		2llnmj.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 39912	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
13		simpl1 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
14		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
15		simpl3 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑁)
16		hllat 39855	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
18	2, 17, 9	latmle2 18422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
20	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21		2llnmj.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
22	17, 10, 21, 3	atcvrlln2 40011	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1381	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24		simpl3 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑁)
25	2, 9	latmcl 18397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 26, 7	3jca 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
28	2, 10, 21, 3	atcvrlln 40012	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))
29	27, 28	sylan 586	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))
30	24, 29	mpbird 258	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
31	23, 30	impbida 806	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32		simpl1 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
33		simpl2 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑁)
34		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃)
35	2, 17, 8	latlej1 18405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
37	36	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
38		2llnmj.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
39	17, 10, 3, 38	llncvrlpln2 40049	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1381	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
41		simpl2 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑁)
42	2, 8	latjcl 18396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
44	1, 5, 43	3jca 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
45	2, 10, 3, 38	llncvrlpln 40050	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃))
46	44, 45	sylan 586	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃))
47	41, 46	mpbid 233	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃)
48	40, 47	impbida 806	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
49	12, 31, 48	3bitr4d 312	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  lecple 17218  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388   ⋖ ccvr 39754  Atomscatm 39755  HLchlt 39842  LLinesclln 39983  LPlanesclpl 39984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843  df-llines 39990  df-lplanes 39991

This theorem is referenced by:  2atmat  40053  dalem2  40153  dalemdea  40154  dalem22  40187  dalem23  40188  arglem1N  40682  cdleme16d  40773  cdleme20l2  40813