Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2llnmj 39033
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2llnmj.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2llnmj.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2llnmj.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2llnmj.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 2llnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
42, 3llnbase 38982 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
543ad2ant2 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62, 3llnbase 38982 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
763ad2ant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 2llnmj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 2llnmj.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 eqid 2728 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
112, 8, 9, 10cvrexch 38893 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
13 simpl1 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
15 simpl3 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
16 hllat 38835 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2728 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
182, 17, 9latmle2 18457 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
1916, 4, 6, 18syl3an 1158 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
2019adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
21 2llnmj.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 38992 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
24 simpl3 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
252, 9latmcl 18432 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2616, 4, 6, 25syl3an 1158 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
271, 26, 73jca 1126 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
282, 10, 21, 3atcvrlln 38993 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
2927, 28sylan 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
3024, 29mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
3123, 30impbida 800 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ))
32 simpl1 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
34 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃)
352, 17, 8latlej1 18440 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
3616, 4, 6, 35syl3an 1158 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
3736adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
38 2llnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 39030 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
41 simpl2 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
422, 8latjcl 18431 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4316, 4, 6, 42syl3an 1158 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
441, 5, 433jca 1126 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
452, 10, 3, 38llncvrlpln 39031 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
4644, 45sylan 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
4741, 46mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃)
4840, 47impbida 800 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃 ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
4912, 31, 483bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  joincjn 18303  meetcmee 18304  Latclat 18423   β‹– ccvr 38734  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  LLinesclln 38964  LPlanesclpl 38965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972
This theorem is referenced by:  2atmat  39034  dalem2  39134  dalemdea  39135  dalem22  39168  dalem23  39169  arglem1N  39663  cdleme16d  39754  cdleme20l2  39794
  Copyright terms: Public domain W3C validator