Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2llnmj 38942
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2llnmj.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2llnmj.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2llnmj.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2llnmj.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 2llnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
42, 3llnbase 38891 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
543ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62, 3llnbase 38891 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
763ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 2llnmj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 2llnmj.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 eqid 2726 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
112, 8, 9, 10cvrexch 38802 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
13 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
15 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
16 hllat 38744 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
182, 17, 9latmle2 18428 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
1916, 4, 6, 18syl3an 1157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
2019adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
21 2llnmj.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 38901 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
24 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
252, 9latmcl 18403 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2616, 4, 6, 25syl3an 1157 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
271, 26, 73jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
282, 10, 21, 3atcvrlln 38902 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
2927, 28sylan 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
3024, 29mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
3123, 30impbida 798 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ))
32 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
34 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃)
352, 17, 8latlej1 18411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
3616, 4, 6, 35syl3an 1157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
3736adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
38 2llnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 38939 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
41 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
422, 8latjcl 18402 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4316, 4, 6, 42syl3an 1157 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
441, 5, 433jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
452, 10, 3, 38llncvrlpln 38940 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
4644, 45sylan 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
4741, 46mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃)
4840, 47impbida 798 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃 ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
4912, 31, 483bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  meetcmee 18275  Latclat 18394   β‹– ccvr 38643  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  LLinesclln 38873  LPlanesclpl 38874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881
This theorem is referenced by:  2atmat  38943  dalem2  39043  dalemdea  39044  dalem22  39077  dalem23  39078  arglem1N  39572  cdleme16d  39663  cdleme20l2  39703
  Copyright terms: Public domain W3C validator