Theorem 2llnmj 37561

Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnmj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2llnmj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2llnmj.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmj.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnmj.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnmj	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃))

Proof of Theorem 2llnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		2llnmj.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4	2, 3	llnbase 37510	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 3	llnbase 37510	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
7	6	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8		2llnmj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		2llnmj.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 37421	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
13		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
14		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
15		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑁)
16		hllat 37364	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
18	2, 17, 9	latmle2 18172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
20	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21		2llnmj.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
22	17, 10, 21, 3	atcvrlln2 37520	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑁)
25	2, 9	latmcl 18147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 26, 7	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
28	2, 10, 21, 3	atcvrlln 37521	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))
29	27, 28	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))
30	24, 29	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
31	23, 30	impbida 798	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
33		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑁)
34		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃)
35	2, 17, 8	latlej1 18155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
37	36	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
38		2llnmj.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
39	17, 10, 3, 38	llncvrlpln2 37558	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
41		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑁)
42	2, 8	latjcl 18146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
44	1, 5, 43	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
45	2, 10, 3, 38	llncvrlpln 37559	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃))
46	44, 45	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃))
47	41, 46	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃)
48	40, 47	impbida 798	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
49	12, 31, 48	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5075  ‘cfv 6428  (class class class)co 7269  Basecbs 16901  lecple 16958  joincjn 18018  meetcmee 18019  Latclat 18138   ⋖ ccvr 37263  Atomscatm 37264  HLchlt 37351  LLinesclln 37492  LPlanesclpl 37493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5486  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-proset 18002  df-poset 18020  df-plt 18037  df-lub 18053  df-glb 18054  df-join 18055  df-meet 18056  df-p0 18132  df-lat 18139  df-clat 18206  df-oposet 37177  df-ol 37179  df-oml 37180  df-covers 37267  df-ats 37268  df-atl 37299  df-cvlat 37323  df-hlat 37352  df-llines 37499  df-lplanes 37500

This theorem is referenced by:  2atmat  37562  dalem2  37662  dalemdea  37663  dalem22  37696  dalem23  37697  arglem1N  38191  cdleme16d  38282  cdleme20l2  38322