Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2llnmj 38431
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2llnmj.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2llnmj.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2llnmj.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2llnmj.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 2llnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
42, 3llnbase 38380 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
543ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62, 3llnbase 38380 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
763ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 2llnmj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 2llnmj.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 eqid 2733 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
112, 8, 9, 10cvrexch 38291 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
13 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
15 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
16 hllat 38233 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2733 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
182, 17, 9latmle2 18418 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
1916, 4, 6, 18syl3an 1161 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
2019adantr 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
21 2llnmj.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 38390 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
24 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
252, 9latmcl 18393 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2616, 4, 6, 25syl3an 1161 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
271, 26, 73jca 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
282, 10, 21, 3atcvrlln 38391 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
2927, 28sylan 581 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
3024, 29mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
3123, 30impbida 800 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ))
32 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
34 simpr 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃)
352, 17, 8latlej1 18401 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
3616, 4, 6, 35syl3an 1161 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
3736adantr 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
38 2llnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 38428 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
41 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
422, 8latjcl 18392 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4316, 4, 6, 42syl3an 1161 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
441, 5, 433jca 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
452, 10, 3, 38llncvrlpln 38429 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
4644, 45sylan 581 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
4741, 46mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃)
4840, 47impbida 800 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃 ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
4912, 31, 483bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384   β‹– ccvr 38132  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LLinesclln 38362  LPlanesclpl 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370
This theorem is referenced by:  2atmat  38432  dalem2  38532  dalemdea  38533  dalem22  38566  dalem23  38567  arglem1N  39061  cdleme16d  39152  cdleme20l2  39192
  Copyright terms: Public domain W3C validator