Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmj 38925
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j = (join‘𝐾)
2llnmj.m = (meet‘𝐾)
2llnmj.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmj.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnmj.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))

Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2llnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
42, 3llnbase 38874 . . . 4 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
543ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
62, 3llnbase 38874 . . . 4 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
763ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8 2llnmj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 2llnmj.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 eqid 2724 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
112, 8, 9, 10cvrexch 38785 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
13 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
15 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌𝑁)
16 hllat 38727 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2724 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
182, 17, 9latmle2 18422 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
1916, 4, 6, 18syl3an 1157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
2019adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21 2llnmj.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 38884 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌𝑁)
252, 9latmcl 18397 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2616, 4, 6, 25syl3an 1157 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
271, 26, 73jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
282, 10, 21, 3atcvrlln 38885 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
2927, 28sylan 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
3024, 29mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
3123, 30impbida 798 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋𝑁)
34 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃)
352, 17, 8latlej1 18405 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3616, 4, 6, 35syl3an 1157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3736adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
38 2llnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 38922 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
41 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑁)
422, 8latjcl 18396 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
4316, 4, 6, 42syl3an 1157 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
441, 5, 433jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
452, 10, 3, 38llncvrlpln 38923 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
4644, 45sylan 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
4741, 46mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃)
4840, 47impbida 798 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑃𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
4912, 31, 483bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  lecple 17205  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  ccvr 38626  Atomscatm 38627  HLchlt 38714  LLinesclln 38856  LPlanesclpl 38857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864
This theorem is referenced by:  2atmat  38926  dalem2  39026  dalemdea  39027  dalem22  39060  dalem23  39061  arglem1N  39555  cdleme16d  39646  cdleme20l2  39686
  Copyright terms: Public domain W3C validator