Theorem dfac10c 10052

Description: Axiom of Choice equivalent: every set is equinumerous to an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac10c	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfac10c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac10 10051	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
2		eqv 3440	. 2 ⊢ (dom card = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ dom card)
3		isnum2 9860	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥)
4	3	albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ dom card ↔ ∀𝑥∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	3bitri 297	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  Oncon0 6317   ≈ cen 8883  cardccrd 9850  CHOICEwac 10028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-en 8887  df-card 9854  df-ac 10029

This theorem is referenced by:  dfac10b  10053