Theorem dfac10b 10170

Description: Axiom of Choice equivalent: every set is equinumerous to an ordinal (quantifier-free short cryptic version alluded to in df-ac 10147). (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac10b	⊢ (CHOICE ↔ ( ≈ “ On) = V)

Proof of Theorem dfac10b

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3477	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elima 6073	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ( ≈ “ On) ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥)
3	2	bicomi 223	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ ( ≈ “ On))
4	3	albii 1813	. 2 ⊢ (∀𝑥∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥 ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ ( ≈ “ On))
5		dfac10c 10169	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥)
6		eqv 3482	. 2 ⊢ (( ≈ “ On) = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ ( ≈ “ On))
7	4, 5, 6	3bitr4i 302	1 ⊢ (CHOICE ↔ ( ≈ “ On) = V)

Syntax hints:   ↔ wb 205  ∀wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   “ cima 5685  Oncon0 6374   ≈ cen 8967  CHOICEwac 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-en 8971  df-card 9970  df-ac 10147

This theorem is referenced by:  axac10  42485