Theorem dfac10 10152

Description: Axiom of Choice equivalent: the cardinality function measures every set. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac10	⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)

Proof of Theorem dfac10

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ween 10049	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
2	1	albii 1819	. 2 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ dom card ↔ ∀𝑥∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
3		eqv 3469	. 2 ⊢ (dom card = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ dom card)
4		dfac8 10150	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
5	2, 3, 4	3bitr4ri 304	1 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   We wwe 5605  dom cdm 5654  cardccrd 9949  CHOICEwac 10129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-en 8960  df-card 9953  df-ac 10130

This theorem is referenced by:  dfac10c  10153  acacni  10155  dfac12a  10163  dfacfin7  10413  cardeqv  10483  gch2  10689  gchac  10695  lbsexg  21125  acufl  23855  fineqvacALT  35129  ttac  43060  dfac21  43090  dfacbasgrp  43132