MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac10 9555
Description: Axiom of Choice equivalent: the cardinality function measures every set. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac10 (CHOICE ↔ dom card = V)

Proof of Theorem dfac10
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ween 9453 . . 3 (𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
21albii 1813 . 2 (∀𝑥 𝑥 ∈ dom card ↔ ∀𝑥𝑦 𝑦 We 𝑥)
3 eqv 3507 . 2 (dom card = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ dom card)
4 dfac8 9553 . 2 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑦 𝑦 We 𝑥)
52, 3, 43bitr4ri 305 1 (CHOICE ↔ dom card = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wal 1528   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  Vcvv 3499   We wwe 5511  dom cdm 5553  cardccrd 9356  CHOICEwac 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-en 8502  df-card 9360  df-ac 9534
This theorem is referenced by:  dfac10c  9556  acacni  9558  dfac12a  9566  dfacfin7  9813  cardeqv  9883  gch2  10089  gchac  10095  lbsexg  19859  acufl  22444  ttac  39501  dfac21  39534  dfacbasgrp  39576
  Copyright terms: Public domain W3C validator