Theorem dfac10 10020

Description: Axiom of Choice equivalent: the cardinality function measures every set. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac10	⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)

Proof of Theorem dfac10

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ween 9917	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
2	1	albii 1819	. 2 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ dom card ↔ ∀𝑥∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
3		eqv 3443	. 2 ⊢ (dom card = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ dom card)
4		dfac8 10018	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
5	2, 3, 4	3bitr4ri 304	1 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3433   We wwe 5565  dom cdm 5613  cardccrd 9819  CHOICEwac 9997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-en 8864  df-card 9823  df-ac 9998

This theorem is referenced by:  dfac10c  10021  acacni  10023  dfac12a  10031  dfacfin7  10281  cardeqv  10351  gch2  10557  gchac  10563  lbsexg  21055  acufl  23786  fineqvacALT  35086  ttac  43026  dfac21  43056  dfacbasgrp  43098