Theorem dfac10 10223

Description: Axiom of Choice equivalent: the cardinality function measures every set. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac10	⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)

Proof of Theorem dfac10

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ween 10121	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
2	1	albii 1851	. 2 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ dom card ↔ ∀𝑥∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
3		eqv 3460	. 2 ⊢ (dom card = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ dom card)
4		dfac8 10221	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
5	2, 3, 4	3bitr4ri 307	1 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   We wwe 5603  dom cdm 5651  cardccrd 10023  CHOICEwac 10201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-en 8981  df-card 10027  df-ac 10202

This theorem is used by:  dfac10c  10224  acacni  10226  dfac12a  10234  dfacfin7  10484  cardeqv  10554  gch2  10767  gchac  10773  lbsexg  21451  acufl  24245  acnum  35815  rncardr1prc  35818  acwer1prc  35820  fineqvacALT  35845  ttac  44152  dfac21  44177  dfacbasgrp  44219