Theorem dfac10 10067

Description: Axiom of Choice equivalent: the cardinality function measures every set. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac10	⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)

Proof of Theorem dfac10

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ween 9964	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
2	1	albii 1819	. 2 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ dom card ↔ ∀𝑥∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
3		eqv 3454	. 2 ⊢ (dom card = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ dom card)
4		dfac8 10065	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑦 𝑦 We 𝑥)
5	2, 3, 4	3bitr4ri 304	1 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   We wwe 5583  dom cdm 5631  cardccrd 9864  CHOICEwac 10044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-en 8896  df-card 9868  df-ac 10045

This theorem is referenced by:  dfac10c  10068  acacni  10070  dfac12a  10078  dfacfin7  10328  cardeqv  10398  gch2  10604  gchac  10610  lbsexg  21050  acufl  23780  fineqvacALT  35061  ttac  42998  dfac21  43028  dfacbasgrp  43070