MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltle 12534
Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem xrltle
StepHypRef Expression
1 orc 863 . 2 (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
2 xrleloe 12529 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
31, 2syl5ibr 248 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wo 843   = wceq 1531  wcel 2108   class class class wbr 5057  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673
This theorem is referenced by:  xrltled  12535  xrletri  12538  xrletr  12543  qextltlem  12587  xmulge0  12669  supxrunb1  12704  ico0  12776  ioc0  12777  ioossicc  12814  icossicc  12816  iocssicc  12817  ioossico  12818  snunioo  12856  snunico  12857  ioopnfsup  13224  icopnfsup  13225  hashnnn0genn0  13695  leordtval2  21812  lecldbas  21819  blcls  23108  stdbdxmet  23117  stdbdmopn  23120  metcnpi3  23148  xrsmopn  23412  metnrmlem1a  23458  bndth  23554  ovolgelb  24073  icombl  24157  ioorf  24166  ioorinv2  24168  itg2seq  24335  tanord1  25113  dvloglem  25223  iocinif  30496  esumpinfsum  31329  omssubadd  31551  elicc3  33658  tan2h  34876  heicant  34919  itg2addnclem  34935  radcnvrat  40636  ioossioc  41755  ioossioobi  41782  fouriersw  42506  iccpartnel  43588
  Copyright terms: Public domain W3C validator