Theorem xrltle 13115

Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem xrltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 866	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		xrleloe 13110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	imbitrrid 245	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5144  ℝ^*cxr 11234   < clt 11235   ≤ cle 11236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241

This theorem is referenced by:  xrltled  13116  xrletri  13119  xrletr  13124  qextltlem  13168  xmulge0  13250  supxrunb1  13285  ico0  13357  ioc0  13358  ioossicc  13397  icossicc  13400  iocssicc  13401  ioossico  13402  snunioo  13442  snunico  13443  ioopnfsup  13816  icopnfsup  13817  hashnnn0genn0  14290  leordtval2  22685  lecldbas  22692  blcls  23984  stdbdxmet  23993  stdbdmopn  23996  metcnpi3  24024  xrsmopn  24297  metnrmlem1a  24343  bndth  24443  ovolgelb  24966  icombl  25050  ioorf  25059  ioorinv2  25061  itg2seq  25229  tanord1  26015  dvloglem  26125  iocinif  31963  esumpinfsum  33006  omssubadd  33230  elicc3  35107  tan2h  36385  heicant  36428  itg2addnclem  36444  radcnvrat  42944  ioossioc  44078  ioossioobi  44103  fouriersw  44820  iccpartnel  45979  i0oii  47392  io1ii  47393