Theorem xrltle 13075

Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem xrltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 868	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		xrleloe 13070	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	imbitrrid 246	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  xrltled  13076  xrletri  13079  xrletr  13084  qextltlem  13129  xmulge0  13211  supxrunb1  13246  ico0  13319  ioc0  13320  ioossicc  13361  icossicc  13364  iocssicc  13365  ioossico  13366  snunioo  13406  snunico  13407  ioopnfsup  13796  icopnfsup  13797  hashnnn0genn0  14278  leordtval2  23168  lecldbas  23175  blcls  24462  stdbdxmet  24471  stdbdmopn  24474  metcnpi3  24502  xrsmopn  24769  metnrmlem1a  24815  bndth  24925  ovolgelb  25449  icombl  25533  ioorf  25542  ioorinv2  25544  itg2seq  25711  tanord1  26514  dvloglem  26625  iocinif  32871  esumpinfsum  34254  omssubadd  34477  elicc3  36530  tan2h  37857  heicant  37900  itg2addnclem  37916  radcnvrat  44664  ioossioc  45846  ioossioobi  45871  fouriersw  46583  iccpartnel  47792  i0oii  49273  io1ii  49274