Theorem xrltle 13116

Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem xrltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 867	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		xrleloe 13111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	imbitrrid 246	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221

This theorem is referenced by:  xrltled  13117  xrletri  13120  xrletr  13125  qextltlem  13169  xmulge0  13251  supxrunb1  13286  ico0  13359  ioc0  13360  ioossicc  13401  icossicc  13404  iocssicc  13405  ioossico  13406  snunioo  13446  snunico  13447  ioopnfsup  13833  icopnfsup  13834  hashnnn0genn0  14315  leordtval2  23106  lecldbas  23113  blcls  24401  stdbdxmet  24410  stdbdmopn  24413  metcnpi3  24441  xrsmopn  24708  metnrmlem1a  24754  bndth  24864  ovolgelb  25388  icombl  25472  ioorf  25481  ioorinv2  25483  itg2seq  25650  tanord1  26453  dvloglem  26564  iocinif  32711  esumpinfsum  34074  omssubadd  34298  elicc3  36312  tan2h  37613  heicant  37656  itg2addnclem  37672  radcnvrat  44310  ioossioc  45497  ioossioobi  45522  fouriersw  46236  iccpartnel  47443  i0oii  48912  io1ii  48913