Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrpred4g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dftrpred4g 33256
 Description: Another recursive expression for the transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 27-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftrpred4g ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)({𝑦} ∪ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dftrpred4g
StepHypRef Expression
1 dftrpred3g 33255 . 2 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
2 iunun 4982 . . 3 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)({𝑦} ∪ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = ( 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋){𝑦} ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
3 iunid 4951 . . . 4 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋){𝑦} = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)
43uneq1i 4089 . . 3 ( 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋){𝑦} ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
52, 4eqtri 2821 . 2 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)({𝑦} ∪ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
61, 5eqtr4di 2851 1 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)({𝑦} ∪ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3881  {csn 4528  ∪ ciun 4885   Se wse 5480  Predcpred 6122  TrPredctrpred 33239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pr 5299  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-trpred 33240 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator