Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredpo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trpredpo 33321
 Description: If 𝑅 partially orders 𝐴, then the transitive predecessors are the same as the immediate predecessors . (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredpo ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))

Proof of Theorem trpredpo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . 3 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑋𝐴)
2 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
3 predpo 6144 . . . . 5 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
43ralrimiv 3112 . . . 4 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
543adant3 1129 . . 3 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
6 ssidd 3915 . . 3 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
7 trpredmintr 33317 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
81, 2, 5, 6, 7syl22anc 837 . 2 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
9 setlikespec 6147 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
10 trpredpred 33314 . . . 4 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
12113adant1 1127 . 2 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
138, 12eqssd 3909 1 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858   Po wpo 5441   Se wse 5481  Predcpred 6125  TrPredctrpred 33303 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-trpred 33304 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator