Theorem trpredpo 32685

Description: If 𝑅 partially orders 𝐴, then the transitive predecessors are the same as the immediate predecessors . (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trpredpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))

Proof of Theorem trpredpo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
2		simp3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
3		predpo 6048	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
4	3	ralrimiv 3150	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5	4	3adant3 1125	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
6		ssidd 3917	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
7		trpredmintr 32681	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl22anc 835	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
9		setlikespec 6051	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
10		trpredpred 32678	. . . 4 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
12	11	3adant1 1123	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
13	8, 12	eqssd 3912	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865   Po wpo 5367   Se wse 5407  Predcpred 6029  TrPredctrpred 32667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-trpred 32668

This theorem is referenced by: (None)