Theorem dftrpred3g 33074

Description: The transitive predecessors of 𝑋 are equal to the predecessors of 𝑋 together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftrpred3g	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dftrpred3g

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
2		predel 6167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝐴)
3		setlikespec 6171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
4		trpredpred 33069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
6	5	expcom 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
7	6	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
8	2, 7	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
9	8	ancld 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))
10		trpredeq3 33063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
11	10	sseq2d 4001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ↔ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
12	11	rspcev 3625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
13		ssiun 4972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
15	9, 14	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
16		eliun 4925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
17		predel 6167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18		setlikespec 6171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
19	18	ancoms 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
20	19	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
21		trpredss 33070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐴)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐴)
23	22	sseld 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
24	3	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
25	24	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
26	23, 25	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
27	26	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
28	27, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
29		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
30		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
31		trpredelss 33073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
32	29, 30, 31	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
33	32	imp 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
34	28, 33	sstrd 3979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
35	34	exp31 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
36	17, 35	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
37	36	reximdvai 3274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
38	37, 13	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
39	16, 38	syl5bi 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
40	15, 39	jaod 855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
41		ssun4 4153	. . . . . . 7 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
42	40, 41	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
43	1, 42	syl5bi 244	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
44	43	ralrimiv 3183	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
45		ssun1 4150	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
46	44, 45	jctir 523	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
47		trpredmintr 33072	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
48	46, 47	mpdan 685	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
49		setlikespec 6171	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
50		trpredpred 33069	. . . 4 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
51	49, 50	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
52	51	sseld 3968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
53		trpredelss 33073	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
54	52, 53	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
55	54	ralrimiv 3183	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
56		iunss 4971	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
57	55, 56	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
58	51, 57	unssd 4164	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
59	48, 58	eqssd 3986	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  ∪ ciun 4921   Se wse 5514  Predcpred 6149  TrPredctrpred 33058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-trpred 33059

This theorem is referenced by:  dftrpred4g  33075