Theorem eliccelico 33122

Description: Relate elementhood to a closed interval with elementhood to the same closed-below, open-above interval or to its upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eliccelico	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Proof of Theorem eliccelico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		elicc1 13411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
5	4	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
6	5	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	1, 2, 3, 6	syl21anc 850	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8	5	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
9	1, 2, 3, 8	syl21anc 850	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐵)
10	1, 2	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
11		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
12	5	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
13	10, 3, 12	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14		elico1 13410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
15	14	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
16	15	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
17		df-3an 1105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 < 𝐵))
18	17	notbii 323	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 < 𝐵))
19		imnan 404	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 < 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 < 𝐵))
20	18, 19	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 < 𝐵))
21	16, 20	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 < 𝐵))
22	21	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → ¬ 𝐶 < 𝐵)
23	10, 11, 7, 13, 22	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → ¬ 𝐶 < 𝐵)
24		xeqlelt 33121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 = 𝐵 ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
25	24	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 = 𝐵)
26	7, 2, 9, 23, 25	syl22anc 851	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 = 𝐵)
27	26	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐵))
28		pm5.6 1017	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
29	27, 28	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
30		icossicc 13458	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
31		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
32	30, 31	sselid 3935	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
33		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
34		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	33, 34	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
36		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
37	36, 33	breqtrrd 5139	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶)
38	34	xrleidd 13172	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
39	33, 38	eqbrtrd 5133	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
40		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41	40, 34, 4	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
42	35, 37, 39, 41	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
43	32, 42	jaodan 972	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	43	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
45	29, 44	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  [,)cico 13369  [,]cicc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-ico 13373  df-icc 13374

This theorem is referenced by:  xrge0adddir  33338  esumcvg  34476