Theorem eliccelico 32979

Description: Relate elementhood to a closed interval with elementhood to the same closed-below, open-above interval or to its upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eliccelico	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Proof of Theorem eliccelico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpl2 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simprl 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		elicc1 13393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
5	4	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
6	5	simp1d 1155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	1, 2, 3, 6	syl21anc 848	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8	5	simp3d 1157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
9	1, 2, 3, 8	syl21anc 848	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐵)
10	1, 2	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
11		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
12	5	simp2d 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
13	10, 3, 12	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14		elico1 13392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
15	14	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
16	15	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
17		df-3an 1100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 < 𝐵))
18	17	notbii 322	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 < 𝐵))
19		imnan 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 < 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 < 𝐵))
20	18, 19	bitr4i 280	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 < 𝐵))
21	16, 20	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 < 𝐵))
22	21	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → ¬ 𝐶 < 𝐵)
23	10, 11, 7, 13, 22	syl22anc 849	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → ¬ 𝐶 < 𝐵)
24		xeqlelt 32978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 = 𝐵 ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
25	24	biimpar 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 = 𝐵)
26	7, 2, 9, 23, 25	syl22anc 849	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 = 𝐵)
27	26	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐵))
28		pm5.6 1015	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
29	27, 28	sylib 220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
30		icossicc 13440	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
31		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
32	30, 31	sselid 3934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
33		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
34		simpl2 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	33, 34	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
36		simpl3 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
37	36, 33	breqtrrd 5128	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶)
38	34	xrleidd 13154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
39	33, 38	eqbrtrd 5122	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
40		simpl1 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41	40, 34, 4	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
42	35, 37, 39, 41	mpbir3and 1356	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
43	32, 42	jaodan 970	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	43	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
45	29, 44	impbid 214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  [,)cico 13351  [,]cicc 13352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-ico 13355  df-icc 13356

This theorem is referenced by:  xrge0adddir  33196  esumcvg  34383