Theorem eliccelico 33369

Description: Relate elementhood to a closed interval with elementhood to the same closed-below, open-above interval or to its upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eliccelico	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Proof of Theorem eliccelico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		elicc1 13520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
5	4	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
6	5	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	1, 2, 3, 6	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8	5	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
9	1, 2, 3, 8	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐵)
10	1, 2	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
11		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
12	5	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
13	10, 3, 12	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14		elico1 13519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
15	14	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
16	15	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
17		df-3an 1105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 < 𝐵))
18	17	notbii 323	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 < 𝐵))
19		imnan 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 < 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 < 𝐵))
20	18, 19	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 < 𝐵))
21	16, 20	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 < 𝐵))
22	21	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → ¬ 𝐶 < 𝐵)
23	10, 11, 7, 13, 22	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → ¬ 𝐶 < 𝐵)
24		xeqlelt 33368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 = 𝐵 ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
25	24	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 = 𝐵)
26	7, 2, 9, 23, 25	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 = 𝐵)
27	26	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐵))
28		pm5.6 1017	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
29	27, 28	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
30		icossicc 13567	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
31		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
32	30, 31	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
33		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
34		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	33, 34	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
36		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
37	36, 33	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶)
38	34	xrleidd 13281	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
39	33, 38	eqbrtrd 5127	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
40		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41	40, 34, 4	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
42	35, 37, 39, 41	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
43	32, 42	jaodan 972	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	43	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
45	29, 44	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  [,)cico 13478  [,]cicc 13479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-ico 13482  df-icc 13483

This theorem is used by:  xrge0adddir  33579  esumcvg  34718