Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0adddir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0adddir 32193
Description: Right-distributivity of extended nonnegative real multiplication over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0adddir ((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))

Proof of Theorem xrge0adddir
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13407 . . . 4 (0[,]+โˆž) โŠ† โ„*
2 simpl1 1192 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž))
31, 2sselid 3981 . . 3 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
4 simpl2 1193 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
51, 4sselid 3981 . . 3 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
6 rge0ssre 13433 . . . 4 (0[,)+โˆž) โŠ† โ„
7 simpr 486 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž))
86, 7sselid 3981 . . 3 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
9 xadddir 13275 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))
103, 5, 8, 9syl3anc 1372 . 2 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))
11 simpll1 1213 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž))
121, 11sselid 3981 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
13 simpll2 1214 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
141, 13sselid 3981 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
1512, 14xaddcld 13280 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด +๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„*)
16 simpr 486 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
17 xrge0addgt0 32192 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ด +๐‘’ ๐ต))
1811, 13, 16, 17syl21anc 837 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ด +๐‘’ ๐ต))
19 xmulpnf1 13253 . . . . . 6 (((๐ด +๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (๐ด +๐‘’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe +โˆž) = +โˆž)
2015, 18, 19syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe +โˆž) = +โˆž)
21 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐ถ = +โˆž โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe +โˆž))
2221ad2antlr 726 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe +โˆž))
23 simpll3 1215 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))
24 ge0xmulcl 13440 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ (0[,]+โˆž))
2513, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ (0[,]+โˆž))
261, 25sselid 3981 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
27 xrge0neqmnf 13429 . . . . . . 7 ((๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰  -โˆž)
2825, 27syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰  -โˆž)
29 xaddpnf2 13206 . . . . . 6 (((๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰  -โˆž) โ†’ (+โˆž +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)) = +โˆž)
3026, 28, 29syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (+โˆž +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)) = +โˆž)
3120, 22, 303eqtr4d 2783 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = (+โˆž +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))
32 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐ถ = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe +โˆž))
3332ad2antlr 726 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe +โˆž))
34 xmulpnf1 13253 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
3512, 16, 34syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
3633, 35eqtrd 2773 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = +โˆž)
3736oveq1d 7424 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)) = (+โˆž +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))
3831, 37eqtr4d 2776 . . 3 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))
39 simpll3 1215 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))
401, 39sselid 3981 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
41 xmul02 13247 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„* โ†’ (0 ยทe ๐ถ) = 0)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (0 ยทe ๐ถ) = 0)
4342oveq1d 7424 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((0 ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)) = (0 +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))
44 oveq1 7416 . . . . . . 7 (0 = ๐ด โ†’ (0 ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe ๐ถ))
4544adantl 483 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (0 ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe ๐ถ))
4645oveq1d 7424 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((0 ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))
47 simpll2 1214 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
481, 47sselid 3981 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
4948, 40xmulcld 13281 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
50 xaddlid 13221 . . . . . 6 ((๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โ†’ (0 +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)) = (๐ต ยทe ๐ถ))
5149, 50syl 17 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (0 +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)) = (๐ต ยทe ๐ถ))
5243, 46, 513eqtr3d 2781 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)) = (๐ต ยทe ๐ถ))
53 xaddlid 13221 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (0 +๐‘’ ๐ต) = ๐ต)
5448, 53syl 17 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (0 +๐‘’ ๐ต) = ๐ต)
5554oveq1d 7424 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((0 +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ต ยทe ๐ถ))
56 oveq1 7416 . . . . . 6 (0 = ๐ด โ†’ (0 +๐‘’ ๐ต) = (๐ด +๐‘’ ๐ต))
5756oveq1d 7424 . . . . 5 (0 = ๐ด โ†’ ((0 +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ))
5857adantl 483 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((0 +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ))
5952, 55, 583eqtr2rd 2780 . . 3 ((((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))
60 0xr 11261 . . . . 5 0 โˆˆ โ„*
6160a1i 11 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ 0 โˆˆ โ„*)
62 simpl1 1192 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž))
631, 62sselid 3981 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
64 pnfxr 11268 . . . . . 6 +โˆž โˆˆ โ„*
6564a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
66 iccgelb 13380 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
6761, 65, 62, 66syl3anc 1372 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
68 xrleloe 13123 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
6968biimpa 478 . . . 4 (((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด))
7061, 63, 67, 69syl21anc 837 . . 3 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด))
7138, 59, 70mpjaodan 958 . 2 (((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))
72 0lepnf 13112 . . . . 5 0 โ‰ค +โˆž
73 eliccelico 31988 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค +โˆž) โ†’ (๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆจ ๐ถ = +โˆž)))
7460, 64, 72, 73mp3an 1462 . . . 4 (๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆจ ๐ถ = +โˆž))
75743anbi3i 1160 . . 3 ((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†” (๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง (๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆจ ๐ถ = +โˆž)))
7675simp3bi 1148 . 2 ((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ (๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆจ ๐ถ = +โˆž))
7710, 71, 76mpjaodan 958 1 ((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ ((๐ด +๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐‘’ (๐ต ยทe ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  +โˆžcpnf 11245  -โˆžcmnf 11246  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   +๐‘’ cxad 13090   ยทe cxmu 13091  [,)cico 13326  [,]cicc 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-icc 13331
This theorem is referenced by:  xrge0adddi  32194  xrge0slmod  32463  esummulc1  33079
  Copyright terms: Public domain W3C validator