Theorem xrge0adddir 32966

Description: Right-distributivity of extended nonnegative real multiplication over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0adddir	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xrge0adddir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13398	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3947	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	1, 4	sselid 3947	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		rge0ssre 13424	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	sselid 3947	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		xadddir 13263	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
10	3, 5, 8, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
11		simpll1 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
12	1, 11	sselid 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		simpll2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14	1, 13	sselid 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	12, 14	xaddcld 13268	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
16		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
17		xrge0addgt0 32965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
18	11, 13, 16, 17	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
19		xmulpnf1 13241	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞) = +∞)
20	15, 18, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞) = +∞)
21		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞))
22	21	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞))
23		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24		ge0xmulcl 13431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
25	13, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
26	1, 25	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
27		xrge0neqmnf 13420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ≠ -∞)
28	25, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ≠ -∞)
29		xaddpnf2 13194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
30	26, 28, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
31	20, 22, 30	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
32		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
33	32	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
34		xmulpnf1 13241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
35	12, 16, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
36	33, 35	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐶) = +∞)
37	36	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
38	31, 37	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
39		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
40	1, 39	sselid 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
41		xmul02 13235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = 0)
43	42	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (0 +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
44		oveq1 7397	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
45	44	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
46	45	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
47		simpll2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
48	1, 47	sselid 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
49	48, 40	xmulcld 13269	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
50		xaddlid 13209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐵 ·e 𝐶))
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐵 ·e 𝐶))
52	43, 46, 51	3eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐵 ·e 𝐶))
53		xaddlid 13209	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
54	48, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
55	54	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
56		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
57	56	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶))
58	57	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶))
59	52, 55, 58	3eqtr2rd 2772	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
60		0xr 11228	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
62		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
63	1, 62	sselid 3947	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
64		pnfxr 11235	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
66		iccgelb 13370	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
67	61, 65, 62, 66	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 ≤ 𝐴)
68		xrleloe 13111	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
69	68	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
70	61, 63, 67, 69	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
71	38, 59, 70	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
72		0lepnf 13100	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
73		eliccelico 32707	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞)))
74	60, 64, 72, 73	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞))
75	74	3anbi3i 1159	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞)))
76	75	simp3bi 1147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞))
77	10, 71, 76	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   +_𝑒 cxad 13077   ·_e cxmu 13078  [,)cico 13315  [,]cicc 13316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ico 13319  df-icc 13320

This theorem is referenced by:  xrge0adddi  32967  xrge0slmod  33326  esummulc1  34078