Theorem xrge0adddir 33458

Description: Right-distributivity of extended nonnegative real multiplication over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0adddir	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xrge0adddir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13483	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3929	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	1, 4	sselid 3929	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		rge0ssre 13509	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	sselid 3929	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		xadddir 13348	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
10	3, 5, 8, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
11		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
12	1, 11	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		simpll2 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14	1, 13	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	12, 14	xaddcld 13353	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
16		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
17		xrge0addgt0 33457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
18	11, 13, 16, 17	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
19		xmulpnf1 13326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞) = +∞)
20	15, 18, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞) = +∞)
21		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞))
22	21	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞))
23		simpll3 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24		ge0xmulcl 13516	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
25	13, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
26	1, 25	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
27		xrge0neqmnf 13505	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ≠ -∞)
28	25, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ≠ -∞)
29		xaddpnf2 13279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
30	26, 28, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
31	20, 22, 30	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
32		oveq2 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
33	32	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
34		xmulpnf1 13326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
35	12, 16, 34	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
36	33, 35	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐶) = +∞)
37	36	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
38	31, 37	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
39		simpll3 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
40	1, 39	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
41		xmul02 13320	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
42	40, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = 0)
43	42	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (0 +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
44		oveq1 7420	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
45	44	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
46	45	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
47		simpll2 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
48	1, 47	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
49	48, 40	xmulcld 13354	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
50		xaddlid 13294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐵 ·e 𝐶))
51	49, 50	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐵 ·e 𝐶))
52	43, 46, 51	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐵 ·e 𝐶))
53		xaddlid 13294	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
54	48, 53	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
55	54	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
56		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
57	56	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶))
58	57	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶))
59	52, 55, 58	3eqtr2rd 2802	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
60		0xr 11280	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
62		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
63	1, 62	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
64		pnfxr 11287	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
66		iccgelb 13455	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
67	61, 65, 62, 66	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 ≤ 𝐴)
68		xrleloe 13195	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
69	68	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
70	61, 63, 67, 69	syl21anc 851	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
71	38, 59, 70	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
72		0lepnf 13184	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
73		eliccelico 33248	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞)))
74	60, 64, 72, 73	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞))
75	74	3anbi3i 1177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞)))
76	75	simp3bi 1165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞))
77	10, 71, 76	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   +_𝑒 cxad 13161   ·_e cxmu 13162  [,)cico 13400  [,]cicc 13401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ico 13404  df-icc 13405

This theorem is used by:  xrge0adddi  33459  xrge0slmod  33788  esummulc1  34591