Theorem elicc1 13173

Description: Membership in a closed interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elicc1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13136	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx1 13138	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  ℝ^*cxr 11058   ≤ cle 11060  [,]cicc 13132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-xr 11063  df-icc 13136

This theorem is referenced by:  iccid  13174  iccleub  13184  iccgelb  13185  elicc2  13194  elicc4  13196  elxrge0  13239  lbicc2  13246  ubicc2  13247  difreicc  13266  cnblcld  23987  ovolf  24695  volivth  24820  itg2ge0  24949  itg2const2  24955  taylfvallem1  25565  tayl0  25570  radcnvcl  25625  radcnvle  25628  psercnlem1  25633  eliccelico  31147  xrdifh  31150  unitssxrge0  31899  esumle  32075  esumlef  32079  esumpinfsum  32094  voliune  32246  volfiniune  32247  ddemeas  32253  prob01  32429  elicc3  34555  ftc1cnnclem  35896  ftc1anc  35906  ftc2nc  35907  dvle2  40280  iocinico  41239  icoiccdif  43291  iblsplit  43736  iblspltprt  43743  itgspltprt  43749  fourierdlem1  43878  iccpartrn  45126  rrxsphere  46338