Theorem elicc1 13416

Description: Membership in a closed interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elicc1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13379	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx1 13381	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  (class class class)co 7411  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244  [,]cicc 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-xr 11247  df-icc 13379

This theorem is referenced by:  iccid  13417  iccleub  13428  iccgelb  13429  elicc2  13438  elicc4  13440  elxrge0  13484  lbicc2  13491  ubicc2  13492  difreicc  13511  cnblcld  24900  ovolf  25610  volivth  25735  itg2ge0  25863  itg2const2  25869  taylfvallem1  26486  tayl0  26491  radcnvcl  26546  radcnvle  26549  psercnlem1  26554  eliccelico  33063  xrdifh  33066  unitssxrge0  34235  esumle  34393  esumlef  34397  esumpinfsum  34412  voliune  34564  volfiniune  34565  ddemeas  34571  prob01  34748  elicc3  36751  ftc1cnnclem  38265  ftc1anc  38275  ftc2nc  38276  dvle2  42764  iocinico  43866  icoiccdif  46167  iblsplit  46607  iblspltprt  46614  itgspltprt  46620  fourierdlem1  46749  iccpartrn  48103  rrxsphere  49448