Theorem elicc1 13475

Description: Membership in a closed interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elicc1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13438	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx1 13440	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11299   ≤ cle 11301  [,]cicc 13434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-xr 11304  df-icc 13438

This theorem is used by:  iccid  13476  iccleub  13487  iccgelb  13488  elicc2  13497  elicc4  13499  elxrge0  13543  lbicc2  13550  ubicc2  13551  difreicc  13570  cnblcld  25040  ovolf  25750  volivth  25875  itg2ge0  26003  itg2const2  26009  taylfvallem1  26633  tayl0  26638  radcnvcl  26693  radcnvle  26696  psercnlem1  26701  eliccelico  33288  xrdifh  33291  unitssxrge0  34451  esumle  34609  esumlef  34613  esumpinfsum  34628  voliune  34781  volfiniune  34782  ddemeas  34788  prob01  34965  elicc3  37021  ftc1cnnclem  38523  ftc1anc  38533  ftc2nc  38534  dvle2  43036  iocinico  44151  icoiccdif  46452  iblsplit  46892  iblspltprt  46899  itgspltprt  46905  fourierdlem1  47034  iccpartrn  48428  rrxsphere  49776