Theorem elicc1 13395

Description: Membership in a closed interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elicc1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13358	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx1 13360	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  ℝ^*cxr 11217   ≤ cle 11219  [,]cicc 13354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-xr 11222  df-icc 13358

This theorem is referenced by:  iccid  13396  iccleub  13407  iccgelb  13408  elicc2  13417  elicc4  13419  elxrge0  13463  lbicc2  13470  ubicc2  13471  difreicc  13490  cnblcld  24836  ovolf  25546  volivth  25671  itg2ge0  25799  itg2const2  25805  taylfvallem1  26422  tayl0  26427  radcnvcl  26482  radcnvle  26485  psercnlem1  26490  eliccelico  32981  xrdifh  32984  unitssxrge0  34199  esumle  34357  esumlef  34361  esumpinfsum  34376  voliune  34528  volfiniune  34529  ddemeas  34535  prob01  34712  elicc3  36682  ftc1cnnclem  38195  ftc1anc  38205  ftc2nc  38206  dvle2  42694  iocinico  43794  icoiccdif  46105  iblsplit  46545  iblspltprt  46552  itgspltprt  46558  fourierdlem1  46687  iccpartrn  48041  rrxsphere  49375