Theorem elicc1 13521

Description: Membership in a closed interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elicc1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13484	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx1 13486	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7421  ℝ^*cxr 11343   ≤ cle 11345  [,]cicc 13480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-xr 11348  df-icc 13484

This theorem is used by:  iccid  13522  iccleub  13533  iccgelb  13534  elicc2  13543  elicc4  13545  elxrge0  13589  lbicc2  13596  ubicc2  13597  difreicc  13616  cnblcld  25094  ovolf  25804  volivth  25929  itg2ge0  26057  itg2const2  26063  taylfvallem1  26685  tayl0  26690  radcnvcl  26745  radcnvle  26748  psercnlem1  26753  eliccelico  33370  xrdifh  33373  unitssxrge0  34533  esumle  34691  esumlef  34695  esumpinfsum  34710  voliune  34863  volfiniune  34864  ddemeas  34870  prob01  35046  elicc3  37106  ftc1cnnclem  38611  ftc1anc  38621  ftc2nc  38622  dvle2  43124  iocinico  44215  icoiccdif  46537  iblsplit  46977  iblspltprt  46984  itgspltprt  46990  fourierdlem1  47119  iccpartrn  48513  rrxsphere  49861