MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc1 13308
Description: Membership in a closed interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elicc1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elicc1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-icc 13271 . 2 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
21elixx1 13273 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  *cxr 11188  cle 11190  [,]cicc 13267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-xr 11193  df-icc 13271
This theorem is referenced by:  iccid  13309  iccleub  13319  iccgelb  13320  elicc2  13329  elicc4  13331  elxrge0  13374  lbicc2  13381  ubicc2  13382  difreicc  13401  cnblcld  24138  ovolf  24846  volivth  24971  itg2ge0  25100  itg2const2  25106  taylfvallem1  25716  tayl0  25721  radcnvcl  25776  radcnvle  25779  psercnlem1  25784  eliccelico  31680  xrdifh  31683  unitssxrge0  32481  esumle  32657  esumlef  32661  esumpinfsum  32676  voliune  32828  volfiniune  32829  ddemeas  32835  prob01  33013  elicc3  34789  ftc1cnnclem  36149  ftc1anc  36159  ftc2nc  36160  dvle2  40529  iocinico  41532  icoiccdif  43752  iblsplit  44197  iblspltprt  44204  itgspltprt  44210  fourierdlem1  44339  iccpartrn  45612  rrxsphere  46824
  Copyright terms: Public domain W3C validator