Theorem lkrlsp2 39937

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 12-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp2	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
4		simp2r 1219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
5		lkrlsp2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8		lkrlsp2.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		lkrlsp2.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	ellkr 39923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
11	3, 4, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
12	1, 2, 11	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺))
13	12	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹)) → ((𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)))
14	13	necon3bd 2974	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹)) → (¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) → (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
15	14	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
16		lkrlsp2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17		lkrlsp2.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
18	6, 7, 5, 16, 17, 8, 9	lkrlsp 39936	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
19	15, 18	syld3an3 1436	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  Scalarcsca 17337  0_gc0g 17516  LSSumclsm 19750  LSpanclspn 21144  LVecclvec 21275  LFnlclfn 39891  LKerclk 39919

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lvec 21276  df-lfl 39892  df-lkr 39920

This theorem is used by:  lkrlsp3  39938