Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlsp2 36550
 Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 12-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp2.p = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp2
StepHypRef Expression
1 simp2l 1196 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋𝑉)
2 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
4 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺𝐹)
5 lkrlsp2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2798 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8 lkrlsp2.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9 lkrlsp2.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKer‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9ellkr 36536 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
113, 4, 10syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
121, 2, 11mpbir2and 712 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ (𝐾𝐺))
13123expia 1118 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹)) → ((𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)))
1413necon3bd 3001 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹)) → (¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺) → (𝐺𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
15143impia 1114 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
16 lkrlsp2.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17 lkrlsp2.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
186, 7, 5, 16, 17, 8, 9lkrlsp 36549 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
1915, 18syld3an3 1406 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {csn 4528  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Basecbs 16495  Scalarcsca 16580  0gc0g 16725  LSSumclsm 18772  LSpanclspn 19757  LVecclvec 19888  LFnlclfn 36504  LKerclk 36532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-subg 18289  df-cntz 18460  df-lsm 18774  df-cmn 18921  df-abl 18922  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-oppr 19390  df-dvdsr 19408  df-unit 19409  df-invr 19439  df-drng 19518  df-lmod 19650  df-lss 19718  df-lsp 19758  df-lvec 19889  df-lfl 36505  df-lkr 36533 This theorem is referenced by:  lkrlsp3  36551
 Copyright terms: Public domain W3C validator