Theorem lkrlsp2 39827

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 12-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp2	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3		simp1 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
4		simp2r 1217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
5		lkrlsp2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8		lkrlsp2.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		lkrlsp2.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	ellkr 39813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
11	3, 4, 10	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
12	1, 2, 11	mpbir2and 725	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺))
13	12	3expia 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹)) → ((𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)))
14	13	necon3bd 2979	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹)) → (¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) → (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
15	14	3impia 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
16		lkrlsp2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17		lkrlsp2.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
18	6, 7, 5, 16, 17, 8, 9	lkrlsp 39826	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
19	15, 18	syld3an3 1434	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  {csn 4594  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  Scalarcsca 17316  0_gc0g 17495  LSSumclsm 19707  LSpanclspn 21075  LVecclvec 21206  LFnlclfn 39781  LKerclk 39809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-0g 17497  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-subg 19192  df-cntz 19390  df-lsm 19709  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-oppr 20422  df-dvdsr 20442  df-unit 20443  df-invr 20473  df-drng 20818  df-lmod 20966  df-lss 21036  df-lsp 21076  df-lvec 21207  df-lfl 39782  df-lkr 39810

This theorem is referenced by:  lkrlsp3  39828