Theorem dochfln0 41178

Description: The value of a functional is nonzero at a nonzero vector in the orthocomplement of its kernel. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochfln0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochfln0.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochfln0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochfln0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochfln0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochfln0.n	⊢ 𝑁 = (0g‘𝑅)
dochfln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochfln0.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochfln0.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochfln0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochfln0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochfln0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochfln0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dochfln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochfln0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochfln0.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochfln0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochfln0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dochfln0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		dochfln0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dochfln0.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
8		dochfln0.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9	1, 3, 6	dvhlmod 40811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		dochfln0.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	4, 7, 8, 9, 10	lkrssv 38796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
12	1, 3, 4, 2	dochssv 41056	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
13	6, 11, 12	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
14	13	ssdifd 4140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		dochfln0.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
16	14, 15	sseldd 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16	dochnel 41094	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}))
18	15	eldifad 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
19	13, 18	sseldd 3980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20	19	biantrurd 531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 𝑁)))
21		dochfln0.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22		dochfln0.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (0g‘𝑅)
23	4, 21, 22, 7, 8	ellkr 38789	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 𝑁)))
24	9, 10, 23	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 𝑁)))
25	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 6, 10, 15	dochsnkr 41173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
26	25	eleq2d 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})))
27	20, 24, 26	3bitr2rd 307	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}) ↔ (𝐺‘𝑋) = 𝑁))
28	27	necon3bbid 2968	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}) ↔ (𝐺‘𝑋) ≠ 𝑁))
29	17, 28	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4633  ‘cfv 6556  Basecbs 17215  Scalarcsca 17271  0_gc0g 17456  LModclmod 20838  LFnlclfn 38757  LKerclk 38785  HLchlt 39050  LHypclh 39685  DVecHcdvh 40779  ocHcoch 41048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-riotaBAD 38653

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-fz 13541  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-0g 17458  df-proset 18322  df-poset 18340  df-plt 18357  df-lub 18373  df-glb 18374  df-join 18375  df-meet 18376  df-p0 18452  df-p1 18453  df-lat 18459  df-clat 18526  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-submnd 18776  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-sbg 18935  df-subg 19119  df-cntz 19313  df-lsm 19636  df-cmn 19782  df-abl 19783  df-mgp 20120  df-rng 20138  df-ur 20167  df-ring 20220  df-oppr 20318  df-dvdsr 20341  df-unit 20342  df-invr 20372  df-dvr 20385  df-drng 20711  df-lmod 20840  df-lss 20911  df-lsp 20951  df-lvec 21083  df-lsatoms 38676  df-lshyp 38677  df-lfl 38758  df-lkr 38786  df-oposet 38876  df-ol 38878  df-oml 38879  df-covers 38966  df-ats 38967  df-atl 38998  df-cvlat 39022  df-hlat 39051  df-llines 39199  df-lplanes 39200  df-lvols 39201  df-lines 39202  df-psubsp 39204  df-pmap 39205  df-padd 39497  df-lhyp 39689  df-laut 39690  df-ldil 39805  df-ltrn 39806  df-trl 39860  df-tgrp 40444  df-tendo 40456  df-edring 40458  df-dveca 40704  df-disoa 40730  df-dvech 40780  df-dib 40840  df-dic 40874  df-dih 40930  df-doch 41049  df-djh 41096

This theorem is referenced by:  dochkr1  41179  dochkr1OLDN  41180  lcfl6lem  41199