Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochfln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochfln0 39907
Description: The value of a functional is nonzero at a nonzero vector in the orthocomplement of its kernel. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochfln0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochfln0.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochfln0.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochfln0.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochfln0.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochfln0.n 𝑁 = (0g𝑅)
dochfln0.z 0 = (0g𝑈)
dochfln0.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochfln0.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochfln0.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochfln0.g (𝜑𝐺𝐹)
dochfln0.x (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
dochfln0 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dochfln0
StepHypRef Expression
1 dochfln0.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dochfln0.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 dochfln0.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochfln0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 dochfln0.z . . 3 0 = (0g𝑈)
6 dochfln0.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 dochfln0.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
8 dochfln0.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
91, 3, 6dvhlmod 39540 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
10 dochfln0.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
114, 7, 8, 9, 10lkrssv 37525 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
121, 3, 4, 2dochssv 39785 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
136, 11, 12syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
1413ssdifd 4098 . . . 4 (𝜑 → (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 dochfln0.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
1614, 15sseldd 3943 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16dochnel 39823 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝑋}))
1815eldifad 3920 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
1913, 18sseldd 3943 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
2019biantrurd 533 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑋) = 𝑁 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 𝑁)))
21 dochfln0.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22 dochfln0.n . . . . . 6 𝑁 = (0g𝑅)
234, 21, 22, 7, 8ellkr 37518 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 𝑁)))
249, 10, 23syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 𝑁)))
251, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 6, 10, 15dochsnkr 39902 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑋}))
2625eleq2d 2823 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿𝐺) ↔ 𝑋 ∈ ( ‘{𝑋})))
2720, 24, 263bitr2rd 307 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ‘{𝑋}) ↔ (𝐺𝑋) = 𝑁))
2827necon3bbid 2979 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝑋}) ↔ (𝐺𝑋) ≠ 𝑁))
2917, 28mpbid 231 1 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  cdif 3905  wss 3908  {csn 4584  cfv 6493  Basecbs 17075  Scalarcsca 17128  0gc0g 17313  LModclmod 20307  LFnlclfn 37486  LKerclk 37514  HLchlt 37779  LHypclh 38414  DVecHcdvh 39508  ocHcoch 39777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-riotaBAD 37382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-tpos 8153  df-undef 8200  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-0g 17315  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-p0 18306  df-p1 18307  df-lat 18313  df-clat 18380  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-subg 18916  df-cntz 19088  df-lsm 19409  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-oppr 20034  df-dvdsr 20055  df-unit 20056  df-invr 20086  df-dvr 20097  df-drng 20172  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-lsp 20418  df-lvec 20549  df-lsatoms 37405  df-lshyp 37406  df-lfl 37487  df-lkr 37515  df-oposet 37605  df-ol 37607  df-oml 37608  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727  df-cvlat 37751  df-hlat 37780  df-llines 37928  df-lplanes 37929  df-lvols 37930  df-lines 37931  df-psubsp 37933  df-pmap 37934  df-padd 38226  df-lhyp 38418  df-laut 38419  df-ldil 38534  df-ltrn 38535  df-trl 38589  df-tgrp 39173  df-tendo 39185  df-edring 39187  df-dveca 39433  df-disoa 39459  df-dvech 39509  df-dib 39569  df-dic 39603  df-dih 39659  df-doch 39778  df-djh 39825
This theorem is referenced by:  dochkr1  39908  dochkr1OLDN  39909  lcfl6lem  39928
  Copyright terms: Public domain W3C validator