Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkr 36868
Description: The kernel of functional 𝐺 is the hyperplane defining it. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a + = (+g𝑊)
lshpkr.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkr.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkr.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkr.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpkr (𝜑 → (𝐿𝐺) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpkr
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2737 . . . . 5 (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
3 lshpkr.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4 lshpkr.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 20143 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lshpkr.a . . . . . 6 + = (+g𝑊)
8 lshpkr.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9 lshpkr.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
10 lshpkr.h . . . . . 6 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11 lshpkr.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐻)
12 lshpkr.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
13 lshpkr.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14 lshpkr.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
15 lshpkr.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐷)
16 lshpkr.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
17 lshpkr.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
181, 7, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 2lshpkrcl 36867 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
191, 2, 3, 6, 18lkrssv 36847 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
2019sseld 3900 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) → 𝑣𝑉))
21 eqid 2737 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2221, 10, 6, 11lshplss 36732 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
231, 21lssel 19974 . . . . 5 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣𝑉)
2422, 23sylan 583 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑈) → 𝑣𝑉)
2524ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑣𝑈𝑣𝑉))
26 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0g𝐷) = (0g𝐷)
271, 14, 26, 2, 3ellkr 36840 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (0g𝐷))))
284, 18, 27syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (0g𝐷))))
2928baibd 543 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝐺𝑣) = (0g𝐷)))
304adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
3111adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑈𝐻)
3212adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑍𝑉)
33 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
3413adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
351, 7, 8, 9, 10, 30, 31, 32, 33, 34, 14, 15, 16, 26, 17lshpkrlem1 36861 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑣𝑈 ↔ (𝐺𝑣) = (0g𝐷)))
3629, 35bitr4d 285 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ 𝑣𝑈))
3736ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑣𝑉 → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ 𝑣𝑈)))
3820, 25, 37pm5.21ndd 384 . 2 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ 𝑣𝑈))
3938eqrdv 2735 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  {csn 4541  cmpt 5135  cfv 6380  crio 7169  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  Scalarcsca 16805   ·𝑠 cvsca 16806  0gc0g 16944  LSSumclsm 19023  LModclmod 19899  LSubSpclss 19968  LSpanclspn 20008  LVecclvec 20139  LSHypclsh 36726  LFnlclfn 36808  LKerclk 36836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-cntz 18711  df-lsm 19025  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-drng 19769  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lvec 20140  df-lshyp 36728  df-lfl 36809  df-lkr 36837
This theorem is referenced by:  lshpkrex  36869  dochsnkr2  39224
  Copyright terms: Public domain W3C validator