Theorem lshpkr 39412

Description: The kernel of functional 𝐺 is the hyperplane defining it. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkr.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpkr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
3		lshpkr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4		lshpkr.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21060	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lshpkr.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8		lshpkr.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lshpkr.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10		lshpkr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11		lshpkr.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12		lshpkr.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
13		lshpkr.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14		lshpkr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
15		lshpkr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
16		lshpkr.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lshpkr.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
18	1, 7, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 2	lshpkrcl 39411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
19	1, 2, 3, 6, 18	lkrssv 39391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
20	19	sseld 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) → 𝑣 ∈ 𝑉))
21		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
22	21, 10, 6, 11	lshplss 39276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	1, 21	lssel 20890	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑉)
24	22, 23	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑉)
25	24	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 ∈ 𝑉))
26		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
27	1, 14, 26, 2, 3	ellkr 39384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷))))
28	4, 18, 27	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷))))
29	28	baibd 539	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷)))
30	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
31	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
32	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
33		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
34	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
35	1, 7, 8, 9, 10, 30, 31, 32, 33, 34, 14, 15, 16, 26, 17	lshpkrlem1 39405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷)))
36	29, 35	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈))
37	36	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈)))
38	20, 25, 37	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈))
39	38	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059  {csn 4579   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6491  ℩crio 7314  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  0_gc0g 17361  LSSumclsm 19565  LModclmod 20813  LSubSpclss 20884  LSpanclspn 20924  LVecclvec 21056  LSHypclsh 39270  LFnlclfn 39352  LKerclk 39380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19248  df-lsm 19567  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-lvec 21057  df-lshyp 39272  df-lfl 39353  df-lkr 39381

This theorem is referenced by:  lshpkrex  39413  dochsnkr2  41768