Theorem lshpkr 37131

Description: The kernel of functional 𝐺 is the hyperplane defining it. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkr.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpkr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
3		lshpkr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4		lshpkr.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 20368	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lshpkr.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8		lshpkr.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lshpkr.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10		lshpkr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11		lshpkr.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12		lshpkr.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
13		lshpkr.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14		lshpkr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
15		lshpkr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
16		lshpkr.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lshpkr.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
18	1, 7, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 2	lshpkrcl 37130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
19	1, 2, 3, 6, 18	lkrssv 37110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
20	19	sseld 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) → 𝑣 ∈ 𝑉))
21		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
22	21, 10, 6, 11	lshplss 36995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	1, 21	lssel 20199	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑉)
24	22, 23	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑉)
25	24	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 ∈ 𝑉))
26		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
27	1, 14, 26, 2, 3	ellkr 37103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷))))
28	4, 18, 27	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷))))
29	28	baibd 540	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷)))
30	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
31	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
32	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
33		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
34	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
35	1, 7, 8, 9, 10, 30, 31, 32, 33, 34, 14, 15, 16, 26, 17	lshpkrlem1 37124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷)))
36	29, 35	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈))
37	36	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈)))
38	20, 25, 37	pm5.21ndd 381	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈))
39	38	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  LSSumclsm 19239  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364  LSHypclsh 36989  LFnlclfn 37071  LKerclk 37099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lshyp 36991  df-lfl 37072  df-lkr 37100

This theorem is referenced by:  lshpkrex  37132  dochsnkr2  39487