Theorem lshpkr 40365

Description: The kernel of functional 𝐺 is the hyperplane defining it. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkr.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐷(𝑥, 𝑦)   ⊕ (𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝑉(𝑦, 𝑘)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑘)

Proof of Theorem lshpkr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
3		lshpkr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4		lshpkr.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21408	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lshpkr.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8		lshpkr.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lshpkr.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10		lshpkr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11		lshpkr.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12		lshpkr.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
13		lshpkr.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14		lshpkr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
15		lshpkr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
16		lshpkr.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lshpkr.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
18	1, 7, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 2	lshpkrcl 40364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
19	1, 2, 3, 6, 18	lkrssv 40344	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
20	19	sseld 3912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) → 𝑣 ∈ 𝑉))
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
22	21, 10, 6, 11	lshplss 40229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	1, 21	lssel 21239	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑉)
24	22, 23	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑉)
25	24	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 ∈ 𝑉))
26		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
27	1, 14, 26, 2, 3	ellkr 40337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷))))
28	4, 18, 27	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷))))
29	28	baibd 549	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷)))
30	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
31	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
32	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
33		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
34	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
35	1, 7, 8, 9, 10, 30, 31, 32, 33, 34, 14, 15, 16, 26, 17	lshpkrlem1 40358	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷)))
36	29, 35	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈))
37	36	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈)))
38	20, 25, 37	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈))
39	38	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {csn 4588   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  ℩crio 7396  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  Scalarcsca 17457   ·_𝑠 cvsca 17458  0_gc0g 17636  LSSumclsm 19875  LModclmod 21162  LSubSpclss 21233  LSpanclspn 21273  LVecclvec 21404  LSHypclsh 40223  LFnlclfn 40305  LKerclk 40333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cntz 19558  df-lsm 19877  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-drng 21009  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-lvec 21405  df-lshyp 40225  df-lfl 40306  df-lkr 40334

This theorem is used by:  lshpkrex  40366  dochsnkr2  42721