Theorem lshpkr 35646

Description: The kernel of functional 𝐺 is the hyperplane defining it. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkr.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpkr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
3		lshpkr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4		lshpkr.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 19590	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lshpkr.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8		lshpkr.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lshpkr.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10		lshpkr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11		lshpkr.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12		lshpkr.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
13		lshpkr.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14		lshpkr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
15		lshpkr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
16		lshpkr.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lshpkr.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
18	1, 7, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 2	lshpkrcl 35645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
19	1, 2, 3, 6, 18	lkrssv 35625	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
20	19	sseld 3853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) → 𝑣 ∈ 𝑉))
21		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
22	21, 10, 6, 11	lshplss 35510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	1, 21	lssel 19421	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑉)
24	22, 23	sylan 572	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑉)
25	24	ex 405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 ∈ 𝑉))
26		eqid 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
27	1, 14, 26, 2, 3	ellkr 35618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷))))
28	4, 18, 27	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷))))
29	28	baibd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷)))
30	4	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
31	11	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
32	12	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
33		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
34	13	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
35	1, 7, 8, 9, 10, 30, 31, 32, 33, 34, 14, 15, 16, 26, 17	lshpkrlem1 35639	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑣) = (0g‘𝐷)))
36	29, 35	bitr4d 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈))
37	36	ex 405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈)))
38	20, 25, 37	pm5.21ndd 372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ 𝑈))
39	38	eqrdv 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∃wrex 3083  {csn 4435   ↦ cmpt 5002  ‘cfv 6182  ℩crio 6930  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  +_gcplusg 16411  Scalarcsca 16414   ·_𝑠 cvsca 16415  0_gc0g 16559  LSSumclsm 18510  LModclmod 19346  LSubSpclss 19415  LSpanclspn 19455  LVecclvec 19586  LSHypclsh 35504  LFnlclfn 35586  LKerclk 35614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-subg 18050  df-cntz 18208  df-lsm 18512  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-drng 19217  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456  df-lvec 19587  df-lshyp 35506  df-lfl 35587  df-lkr 35615

This theorem is referenced by:  lshpkrex  35647  dochsnkr2  38002