MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ublbneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ublbneg 12063
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4878 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏𝑎𝑦𝑎))
21cbvralv 3383 . . . 4 (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎)
32rexbii 3251 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎)
4 breq2 4879 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → (𝑦𝑎𝑦𝑥))
54ralbidv 3195 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑎 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
65cbvrexv 3384 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
73, 6bitri 267 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
8 renegcl 10672 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
9 elrabi 3580 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → 𝑦 ∈ ℝ)
10 negeq 10600 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → -𝑧 = -𝑦)
1110eleq1d 2891 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (-𝑧𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
1211elrab3 3587 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ -𝑦𝐴))
1312biimpd 221 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → -𝑦𝐴))
149, 13mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → -𝑦𝐴)
15 breq1 4878 . . . . . . . . 9 (𝑏 = -𝑦 → (𝑏𝑎 ↔ -𝑦𝑎))
1615rspcv 3522 . . . . . . . 8 (-𝑦𝐴 → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
1714, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
1817adantl 475 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
19 lenegcon1 10863 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑎𝑦 ↔ -𝑦𝑎))
209, 19sylan2 586 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (-𝑎𝑦 ↔ -𝑦𝑎))
2118, 20sylibrd 251 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑎𝑦))
2221ralrimdva 3178 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦))
23 breq1 4878 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥𝑦 ↔ -𝑎𝑦))
2423ralbidv 3195 . . . . 5 (𝑥 = -𝑎 → (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦))
2524rspcev 3526 . . . 4 ((-𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
268, 22, 25syl6an 674 . . 3 (𝑎 ∈ ℝ → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦))
2726rexlimiv 3236 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
287, 27sylbir 227 1 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  wrex 3118  {crab 3121   class class class wbr 4875  cr 10258  cle 10399  -cneg 10593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595
This theorem is referenced by:  supminf  12065  supminfxr  40486
  Copyright terms: Public domain W3C validator