MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ublbneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ublbneg 12559
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5073 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏𝑎𝑦𝑎))
21cbvralvw 3373 . . . 4 (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎)
32rexbii 3178 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎)
4 breq2 5074 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → (𝑦𝑎𝑦𝑥))
54ralbidv 3121 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑎 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
65cbvrexvw 3374 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
73, 6bitri 278 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
8 renegcl 11171 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
9 elrabi 3611 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → 𝑦 ∈ ℝ)
10 negeq 11100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → -𝑧 = -𝑦)
1110eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (-𝑧𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
1211elrab3 3618 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ -𝑦𝐴))
1312biimpd 232 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → -𝑦𝐴))
149, 13mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → -𝑦𝐴)
15 breq1 5073 . . . . . . . . 9 (𝑏 = -𝑦 → (𝑏𝑎 ↔ -𝑦𝑎))
1615rspcv 3547 . . . . . . . 8 (-𝑦𝐴 → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
1714, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
1817adantl 485 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
19 lenegcon1 11366 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑎𝑦 ↔ -𝑦𝑎))
209, 19sylan2 596 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (-𝑎𝑦 ↔ -𝑦𝑎))
2118, 20sylibrd 262 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑎𝑦))
2221ralrimdva 3113 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦))
23 breq1 5073 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥𝑦 ↔ -𝑎𝑦))
2423ralbidv 3121 . . . . 5 (𝑥 = -𝑎 → (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦))
2524rspcev 3552 . . . 4 ((-𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
268, 22, 25syl6an 684 . . 3 (𝑎 ∈ ℝ → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦))
2726rexlimiv 3209 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
287, 27sylbir 238 1 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068   class class class wbr 5070  cr 10758  cle 10898  -cneg 11093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-id 5472  df-po 5486  df-so 5487  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-er 8415  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095
This theorem is referenced by:  supminf  12561  supminfxr  42725
  Copyright terms: Public domain W3C validator