MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sca2rab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sca2rab 24114
Description: If 𝐵 is a scale of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a scale of 𝐵 by 1 / 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
Assertion
Ref Expression
sca2rab (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sca2rab
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21sseld 3952 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
32pm4.71rd 566 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
4 ovolsca.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
54adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
65eleq2d 2901 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴}))
7 ovolsca.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
87adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ+)
98rprecred 12437 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
10 remulcl 10616 . . . . . . . 8 (((1 / 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ)
119, 10sylancom 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ)
12 oveq2 7154 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((1 / 𝐶) · 𝑦) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)))
1312eleq1d 2900 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((1 / 𝐶) · 𝑦) → ((𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
1413elrab3 3667 . . . . . . 7 (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
1511, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
16 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716recnd 10663 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
188rpcnd 12428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
198rpne0d 12431 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ 0)
2017, 18, 19divrec2d 11414 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · 𝑦))
2120oveq2d 7162 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)))
2217, 18, 19divcan2d 11412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
2321, 22eqtr3d 2861 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) = 𝑦)
2423eleq1d 2900 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴𝑦𝐴))
256, 15, 243bitrd 308 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵𝑦𝐴))
2625pm5.32da 582 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
273, 26bitr4d 285 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)))
2827abbi2dv 2953 . 2 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)})
29 df-rab 3142 . 2 {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)}
3028, 29syl6eqr 2877 1 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {cab 2802  {crab 3137  wss 3919  (class class class)co 7146  cr 10530  1c1 10532   · cmul 10536   / cdiv 11291  +crp 12384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-rp 12385
This theorem is referenced by:  ovolsca  24117
  Copyright terms: Public domain W3C validator