Theorem sca2rab 25413

Description: If 𝐵 is a scale of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a scale of 𝐵 by 1 / 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})

Assertion

Ref	Expression
sca2rab	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sca2rab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	sseld 3945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
3	2	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
4		ovolsca.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
6	5	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴}))
7		ovolsca.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ+)
9	8	rprecred 13006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
10		remulcl 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ)
11	9, 10	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ)
12		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((1 / 𝐶) · 𝑦) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)))
13	12	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((1 / 𝐶) · 𝑦) → ((𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
14	13	elrab3 3660	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
15	11, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	8	rpcnd 12997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	8	rpne0d 13000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ 0)
20	17, 18, 19	divrec2d 11962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · 𝑦))
21	20	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)))
22	17, 18, 19	divcan2d 11960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
23	21, 22	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) = 𝑦)
24	23	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
25	6, 15, 24	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
26	25	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
27	3, 26	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)))
28	27	eqabdv 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)})
29		df-rab 3406	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)}
30	28, 29	eqtr4di 2782	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  {crab 3405   ⊆ wss 3914  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   · cmul 11073   / cdiv 11835  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  ovolsca  25416