Theorem sca2rab 24676

Description: If 𝐵 is a scale of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a scale of 𝐵 by 1 / 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})

Assertion

Ref	Expression
sca2rab	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sca2rab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	sseld 3920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
3	2	pm4.71rd 563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
4		ovolsca.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
6	5	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴}))
7		ovolsca.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ+)
9	8	rprecred 12783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
10		remulcl 10956	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ)
11	9, 10	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ)
12		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((1 / 𝐶) · 𝑦) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)))
13	12	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((1 / 𝐶) · 𝑦) → ((𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
14	13	elrab3 3625	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
15	11, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
16		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	8	rpcnd 12774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	8	rpne0d 12777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ 0)
20	17, 18, 19	divrec2d 11755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · 𝑦))
21	20	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)))
22	17, 18, 19	divcan2d 11753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
23	21, 22	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) = 𝑦)
24	23	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
25	6, 15, 24	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
26	25	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
27	3, 26	bitr4d 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)))
28	27	abbi2dv 2877	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)})
29		df-rab 3073	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)}
30	28, 29	eqtr4di 2796	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  {crab 3068   ⊆ wss 3887  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   · cmul 10876   / cdiv 11632  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  ovolsca  24679