MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sca2rab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sca2rab 23569
Description: If 𝐵 is a scale of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a scale of 𝐵 by 1 / 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
Assertion
Ref Expression
sca2rab (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sca2rab
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21sseld 3759 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
32pm4.71rd 558 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
4 ovolsca.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
54adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
65eleq2d 2829 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴}))
7 ovolsca.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
87adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ+)
98rprecred 12080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
10 remulcl 10273 . . . . . . . 8 (((1 / 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ)
119, 10sylancom 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ)
12 oveq2 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((1 / 𝐶) · 𝑦) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)))
1312eleq1d 2828 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((1 / 𝐶) · 𝑦) → ((𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
1413elrab3 3520 . . . . . . 7 (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ ℝ → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
1511, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ↔ (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
16 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716recnd 10321 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
188rpcnd 12071 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
198rpne0d 12074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ≠ 0)
2017, 18, 19divrec2d 11058 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · 𝑦))
2120oveq2d 6857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)))
2217, 18, 19divcan2d 11056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
2321, 22eqtr3d 2800 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) = 𝑦)
2423eleq1d 2828 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐶 · ((1 / 𝐶) · 𝑦)) ∈ 𝐴𝑦𝐴))
256, 15, 243bitrd 296 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵𝑦𝐴))
2625pm5.32da 574 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
273, 26bitr4d 273 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)))
2827abbi2dv 2884 . 2 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)})
29 df-rab 3063 . 2 {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵)}
3028, 29syl6eqr 2816 1 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2750  {crab 3058  wss 3731  (class class class)co 6841  cr 10187  1c1 10189   · cmul 10193   / cdiv 10937  +crp 12027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-po 5197  df-so 5198  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-rp 12028
This theorem is referenced by:  ovolsca  23572
  Copyright terms: Public domain W3C validator