Theorem eupth2lem3lem3 30317

Description: Lemma for eupth2lem3 30323, formerly part of proof of eupth2lem3 30323: If a loop {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} is added to a trail, the degree of the vertices with odd degree remains odd (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
eupth2lem3lem3.e	⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
3	2	breq2d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
4	3	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
5	4	elrab3 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
7		eupth2lem3.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
8	7	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
9	6, 8	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
11		2z 12535	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℤ)
13		trlsegvdeg.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14		trlsegvdeg.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
15		trlsegvdeg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
16		trlsegvdeg.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17		trlsegvdeg.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
18		trlsegvdeg.vx	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
19		trlsegvdeg.vy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
20		trlsegvdeg.vz	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
21		trlsegvdeg.ix	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
22		trlsegvdeg.iy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
23		trlsegvdeg.iz	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
24	13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	eupth2lem3lem1 30315	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 12525	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
27	13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	eupth2lem3lem2 30316	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12525	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ)
30		z2even 16309	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 2
31	19	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
32		fvexd 6857	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
33	1	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
34	22	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
35		eupth2lem3lem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
37		ifptru 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}))
39	36, 38	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)})
40		sneq 4592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁)} = {𝑈})
41	40	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) → {(𝑃‘𝑁)} = {𝑈})
42	39, 41	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {𝑈})
43	42	opeq2d 4838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ = ⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩)
44	43	sneqd 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩})
45	34, 44	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩})
46	31, 32, 33, 45	1loopgrvd2 29589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 2)
47	30, 46	breqtrrid 5138	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
48		z0even 16306	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 0
49	19	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
50		fvexd 6857	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
51	13, 14, 15, 16, 1, 17	trlsegvdeglem1 30307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
52	51	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
53	52	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
54	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
55	39	opeq2d 4838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ = ⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩)
56	55	sneqd 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
57	54, 56	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
59	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
60	59	anim1i 616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)))
61		eldifsn 4744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘𝑁)}) ↔ (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)))
62	60, 61	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → 𝑈 ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘𝑁)}))
63	49, 50, 53, 58, 62	1loopgrvd0 29590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 0)
64	48, 63	breqtrrid 5138	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
65	47, 64	pm2.61dane 3020	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
66		dvdsadd2b 16245	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))))
67	12, 26, 29, 65, 66	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))))
68	27	nn0cnd 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℂ)
69	24	nn0cnd 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℂ)
70	68, 69	addcomd 11347	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)))
71	70	breq2d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
72	71	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
73	67, 72	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
74	73	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
75		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
76	75	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
77	75	preq2d 4699	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)} = {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
78	76, 77	ifbieq2d 4508	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
79	78	eleq2d 2823	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
80	10, 74, 79	3bitr3d 309	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1063   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ifcif 4481  {csn 4582  {cpr 4584  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   ↾ cres 5634   “ cima 5635  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  2c2 12212  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265   ∥ cdvds 16191  Vtxcvtx 29081  iEdgciedg 29082  VtxDegcvtxdg 29551  Trailsctrls 29774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-xadd 13039  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-dvds 16192  df-edg 29133  df-uhgr 29143  df-ushgr 29144  df-uspgr 29235  df-vtxdg 29552  df-wlks 29685  df-trls 29776

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem7  30321