Theorem eupth2lem3lem3 30888

Description: Lemma for eupth2lem3 30894, formerly part of proof of eupth2lem3 30894: If a loop {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} is added to a trail, the degree of the vertices with odd degree remains odd (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
eupth2lem3lem3.e	⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		fveq2 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
3	2	breq2d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
4	3	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
5	4	elrab3 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
7		eupth2lem3.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
8	7	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
9	6, 8	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
11		2z 12768	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℤ)
13		trlsegvdeg.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14		trlsegvdeg.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
15		trlsegvdeg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
16		trlsegvdeg.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17		trlsegvdeg.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
18		trlsegvdeg.vx	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
19		trlsegvdeg.vy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
20		trlsegvdeg.vz	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
21		trlsegvdeg.ix	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
22		trlsegvdeg.iy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
23		trlsegvdeg.iz	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
24	13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	eupth2lem3lem1 30886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 12758	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
27	13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	eupth2lem3lem2 30887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12758	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ)
30		z2even 16584	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 2
31	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
32		fvexd 6931	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
33	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
34	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
35		eupth2lem3lem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
37		ifptru 1091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}))
38	37	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}))
39	36, 38	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)})
40		sneq 4594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁)} = {𝑈})
41	40	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) → {(𝑃‘𝑁)} = {𝑈})
42	39, 41	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {𝑈})
43	42	opeq2d 4852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ = ⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩)
44	43	sneqd 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩})
45	34, 44	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩})
46	31, 32, 33, 45	1loopgrvd2 30141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 2)
47	30, 46	breqtrrid 5149	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
48		z0even 16581	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 0
49	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
50		fvexd 6931	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
51	13, 14, 15, 16, 1, 17	trlsegvdeglem1 30878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
52	51	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
53	52	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
54	22	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
55	39	opeq2d 4852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ = ⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩)
56	55	sneqd 4596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
57	54, 56	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
58	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
59	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
60	59	anim1i 627	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)))
61		eldifsn 4750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘𝑁)}) ↔ (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)))
62	60, 61	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → 𝑈 ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘𝑁)}))
63	49, 50, 53, 58, 62	1loopgrvd0 30142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 0)
64	48, 63	breqtrrid 5149	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
65	47, 64	pm2.61dane 3046	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
66		dvdsadd2b 16520	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))))
67	12, 26, 29, 65, 66	syl112anc 1402	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))))
68	27	nn0cnd 12709	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℂ)
69	24	nn0cnd 12709	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℂ)
70	68, 69	addcomd 11551	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)))
71	70	breq2d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
72	71	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
73	67, 72	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
74	73	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
75		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
76	75	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
77	75	preq2d 4703	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)} = {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
78	76, 77	ifbieq2d 4512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
79	78	eleq2d 2850	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
80	10, 74, 79	3bitr3d 312	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  if-wif 1078   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108   ↾ cres 5660   “ cima 5661  Fun wfun 6560  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  2c2 12437  ℤcz 12733  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515   ∥ cdvds 16466  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  VtxDegcvtxdg 30103  Trailsctrls 30330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-xadd 13282  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-dvds 16467  df-edg 29683  df-uhgr 29693  df-ushgr 29694  df-uspgr 29788  df-vtxdg 30104  df-wlks 30237  df-trls 30332

This theorem is used by:  eupth2lem3lem7  30892