Theorem eupth2lem3lem3 30174

Description: Lemma for eupth2lem3 30180, formerly part of proof of eupth2lem3 30180: If a loop {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} is added to a trail, the degree of the vertices with odd degree remains odd (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
eupth2lem3lem3.e	⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
3	2	breq2d 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
4	3	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
5	4	elrab3 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
7		eupth2lem3.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
8	7	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
9	6, 8	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
11		2z 12507	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℤ)
13		trlsegvdeg.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14		trlsegvdeg.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
15		trlsegvdeg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
16		trlsegvdeg.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17		trlsegvdeg.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
18		trlsegvdeg.vx	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
19		trlsegvdeg.vy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
20		trlsegvdeg.vz	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
21		trlsegvdeg.ix	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
22		trlsegvdeg.iy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
23		trlsegvdeg.iz	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
24	13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	eupth2lem3lem1 30172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 12497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
27	13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	eupth2lem3lem2 30173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ)
30		z2even 16281	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 2
31	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
32		fvexd 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
33	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
34	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
35		eupth2lem3lem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
37		ifptru 1074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}))
39	36, 38	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)})
40		sneq 4587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁)} = {𝑈})
41	40	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) → {(𝑃‘𝑁)} = {𝑈})
42	39, 41	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {𝑈})
43	42	opeq2d 4831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ = ⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩)
44	43	sneqd 4589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩})
45	34, 44	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩})
46	31, 32, 33, 45	1loopgrvd2 29449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 2)
47	30, 46	breqtrrid 5130	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
48		z0even 16278	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 0
49	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
50		fvexd 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
51	13, 14, 15, 16, 1, 17	trlsegvdeglem1 30164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
52	51	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
53	52	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
54	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
55	39	opeq2d 4831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ = ⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩)
56	55	sneqd 4589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
57	54, 56	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
59	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
60	59	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)))
61		eldifsn 4737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘𝑁)}) ↔ (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)))
62	60, 61	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → 𝑈 ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘𝑁)}))
63	49, 50, 53, 58, 62	1loopgrvd0 29450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 0)
64	48, 63	breqtrrid 5130	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
65	47, 64	pm2.61dane 3012	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
66		dvdsadd2b 16217	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))))
67	12, 26, 29, 65, 66	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))))
68	27	nn0cnd 12447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℂ)
69	24	nn0cnd 12447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℂ)
70	68, 69	addcomd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)))
71	70	breq2d 5104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
72	71	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
73	67, 72	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
74	73	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
75		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
76	75	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
77	75	preq2d 4692	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)} = {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
78	76, 77	ifbieq2d 4503	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
79	78	eleq2d 2814	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
80	10, 74, 79	3bitr3d 309	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1062   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ifcif 4476  {csn 4577  {cpr 4579  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   ↾ cres 5621   “ cima 5622  Fun wfun 6476  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  2c2 12183  ℤcz 12471  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237   ∥ cdvds 16163  Vtxcvtx 28941  iEdgciedg 28942  VtxDegcvtxdg 29411  Trailsctrls 29634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-xadd 13015  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-dvds 16164  df-edg 28993  df-uhgr 29003  df-ushgr 29004  df-uspgr 29095  df-vtxdg 29412  df-wlks 29545  df-trls 29636

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem7  30178