MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmasum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmasum 25232
Description: The sum of the von Mangoldt function over the divisors of 𝑛. Equation 9.2.4 of [Shapiro], p. 328 and theorem 2.10 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmasum (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem vmasum
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6375 . . 3 (𝑛 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝑛) = (Λ‘(𝑝𝑘)))
2 fzfid 12980 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
3 dvdsssfz1 15327 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (1...𝐴))
4 ssfi 8387 . . . 4 (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (1...𝐴)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ∈ Fin)
52, 3, 4syl2anc 579 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ∈ Fin)
6 ssrab2 3847 . . . 4 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℕ
76a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℕ)
8 inss1 3992 . . . 4 ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
9 ssfi 8387 . . . 4 (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)) → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
102, 8, 9sylancl 580 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
11 pccl 15835 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
1211ancoms 450 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
1312nn0zd 11727 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
14 fznn 12615 . . . . . . . 8 ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
1615anbi2d 622 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))))
17 an12 635 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
18 prmz 15671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1918adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
20 iddvdsexp 15292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝𝑘))
2119, 20sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝𝑘))
2218ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
23 prmnn 15670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
2423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
25 nnnn0 11546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
26 nnexpcl 13080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
2724, 25, 26syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
2827nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
29 nnz 11646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3029ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
31 dvdstr 15305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝𝐴))
3222, 28, 30, 31syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∥ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝𝐴))
3321, 32mpand 686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑘) ∥ 𝐴𝑝𝐴))
34 simpll 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
35 dvdsle 15319 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝𝐴𝑝𝐴))
3622, 34, 35syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝐴𝑝𝐴))
3733, 36syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑘) ∥ 𝐴𝑝𝐴))
3823ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
39 fznn 12615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝐴)))
4039baibd 535 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4130, 38, 40syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4237, 41sylibrd 250 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑘) ∥ 𝐴𝑝 ∈ (1...𝐴)))
4342pm4.71rd 558 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑘) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴)))
44 breq1 4812 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑝𝑘) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴))
4544elrab3 3521 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴))
4627, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴))
47 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
4825adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49 pcdvdsb 15854 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴))
5047, 30, 48, 49syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴))
5150anbi2d 622 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴)))
5243, 46, 513bitr4rd 303 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}))
5352pm5.32da 574 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})))
5417, 53syl5bb 274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})))
5516, 54bitrd 270 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})))
5655pm5.32da 574 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}))))
57 elin 3958 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
5857anbi1i 617 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))))
59 anass 460 . . . . 5 (((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
60 an12 635 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
6158, 59, 603bitri 288 . . . 4 ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
62 anass 460 . . . 4 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})))
6356, 61, 623bitr4g 305 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})))
647sselda 3761 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}) → 𝑛 ∈ ℕ)
65 vmacl 25135 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
6664, 65syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
6766recnd 10322 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
68 simprr 789 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ∧ (Λ‘𝑛) = 0)) → (Λ‘𝑛) = 0)
691, 5, 7, 10, 63, 67, 68fsumvma 25229 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} (Λ‘𝑛) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝𝑘)))
7057simprbi 490 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
7170ad2antlr 718 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑝 ∈ ℙ)
72 elfznn 12577 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7372adantl 473 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
74 vmappw 25133 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝𝑘)) = (log‘𝑝))
7571, 73, 74syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → (Λ‘(𝑝𝑘)) = (log‘𝑝))
7675sumeq2dv 14720 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝))
77 fzfid 12980 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin)
7870, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
7978adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
8079nnrpd 12068 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
8180relogcld 24660 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
8281recnd 10322 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
83 fsumconst 14808 . . . . 5 (((1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin ∧ (log‘𝑝) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
8477, 82, 83syl2anc 579 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
8570, 12sylan2 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
86 hashfz1 13338 . . . . . 6 ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
8785, 86syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
8887oveq1d 6857 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
8976, 84, 883eqtrd 2803 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝𝑘)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
9089sumeq2dv 14720 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝𝑘)) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
91 pclogsum 25231 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)) = (log‘𝐴))
9269, 90, 913eqtrd 2803 1 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3059  cin 3731  wss 3732   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194  cle 10329  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  ...cfz 12533  cexp 13067  chash 13321  Σcsu 14703  cdvds 15267  cprime 15667   pCnt cpc 15822  logclog 24592  Λcvma 25109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-pc 15823  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-vma 25115
This theorem is referenced by:  logfac2  25233  dchrvmasumlem1  25475  vmalogdivsum2  25518  logsqvma  25522
  Copyright terms: Public domain W3C validator