MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmasum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmasum 26716
Description: The sum of the von Mangoldt function over the divisors of ๐‘›. Equation 9.2.4 of [Shapiro], p. 328 and theorem 2.10 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmasum (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด} (ฮ›โ€˜๐‘›) = (logโ€˜๐ด))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด

Proof of Theorem vmasum
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . 3 (๐‘› = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) = (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)))
2 fzfid 13937 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐ด) โˆˆ Fin)
3 dvdsssfz1 16260 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ด))
42, 3ssfid 9266 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
5 ssrab2 4077 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„•
65a1i 11 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„•)
7 inss1 4228 . . . 4 ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โŠ† (1...๐ด)
8 ssfi 9172 . . . 4 (((1...๐ด) โˆˆ Fin โˆง ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โŠ† (1...๐ด)) โ†’ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
92, 7, 8sylancl 586 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
10 pccl 16781 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
1110ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
1211nn0zd 12583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
13 fznn 13568 . . . . . . . 8 ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))))
1514anbi2d 629 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))) โ†” (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด)))))
16 an12 643 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))))
17 prmz 16611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
19 iddvdsexp 16222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘โ†‘๐‘˜))
2018, 19sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘โ†‘๐‘˜))
2117ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
22 prmnn 16610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
24 nnnn0 12478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
25 nnexpcl 14039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2623, 24, 25syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
28 nnz 12578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
30 dvdstr 16236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐ด))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐ด))
3220, 31mpand 693 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐ด))
33 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
34 dvdsle 16252 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด))
3521, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด))
3632, 35syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด))
3722ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
38 fznn 13568 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด)))
3938baibd 540 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†” ๐‘ โ‰ค ๐ด))
4029, 37, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†” ๐‘ โ‰ค ๐ด))
4136, 40sylibrd 258 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)))
4241pm4.71rd 563 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด)))
43 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด))
4443elrab3 3684 . . . . . . . . . 10 ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด} โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด))
4526, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด} โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด))
46 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
4724adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
48 pcdvdsb 16801 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด))
4946, 29, 47, 48syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด))
5049anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆฅ ๐ด)))
5142, 45, 503bitr4rd 311 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด}))
5251pm5.32da 579 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด})))
5316, 52bitrid 282 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด})))
5415, 53bitrd 278 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด})))
5554pm5.32da 579 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด)))) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด}))))
56 elin 3964 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โ†” (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™))
5756anbi1i 624 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))) โ†” ((๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))))
58 anass 469 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))) โ†” (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด)))))
59 an12 643 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด)))) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด)))))
6057, 58, 593bitri 296 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด)))))
61 anass 469 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด}) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด})))
6255, 60, 613bitr4g 313 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด})))
636sselda 3982 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
64 vmacl 26619 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
6563, 64syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด}) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
6665recnd 11241 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด}) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
67 simprr 771 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด} โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)
681, 4, 6, 9, 62, 66, 67fsumvma 26713 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด} (ฮ›โ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))(ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)))
69 elinel2 4196 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
7069ad2antlr 725 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
71 elfznn 13529 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
7271adantl 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
73 vmappw 26617 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (logโ€˜๐‘))
7470, 72, 73syl2anc 584 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (logโ€˜๐‘))
7574sumeq2dv 15648 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))(ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))(logโ€˜๐‘))
76 fzfid 13937 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1...(๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ Fin)
7769, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
7877adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
7978nnrpd 13013 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
8079relogcld 26130 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
8180recnd 11241 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
82 fsumconst 15735 . . . . 5 (((1...(๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ Fin โˆง (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))(logโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ pCnt ๐ด))) ยท (logโ€˜๐‘)))
8376, 81, 82syl2anc 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))(logโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ pCnt ๐ด))) ยท (logโ€˜๐‘)))
8469, 11sylan2 593 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
85 hashfz1 14305 . . . . . 6 ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ pCnt ๐ด))) = (๐‘ pCnt ๐ด))
8684, 85syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ pCnt ๐ด))) = (๐‘ pCnt ๐ด))
8786oveq1d 7423 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ pCnt ๐ด))) ยท (logโ€˜๐‘)) = ((๐‘ pCnt ๐ด) ยท (logโ€˜๐‘)))
8875, 83, 873eqtrd 2776 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))(ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = ((๐‘ pCnt ๐ด) ยท (logโ€˜๐‘)))
8988sumeq2dv 15648 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ pCnt ๐ด))(ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)((๐‘ pCnt ๐ด) ยท (logโ€˜๐‘)))
90 pclogsum 26715 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)((๐‘ pCnt ๐ด) ยท (logโ€˜๐‘)) = (logโ€˜๐ด))
9168, 89, 903eqtrd 2776 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ด} (ฮ›โ€˜๐‘›) = (logโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {crab 3432   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11248  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  ...cfz 13483  โ†‘cexp 14026  โ™ฏchash 14289  ฮฃcsu 15631   โˆฅ cdvds 16196  โ„™cprime 16607   pCnt cpc 16768  logclog 26062  ฮ›cvma 26593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-vma 26599
This theorem is referenced by:  logfac2  26717  dchrvmasumlem1  26995  vmalogdivsum2  27038  logsqvma  27042
  Copyright terms: Public domain W3C validator