Theorem vmasum 27380

Description: The sum of the von Mangoldt function over the divisors of 𝑛. Equation 9.2.4 of [Shapiro], p. 328 and theorem 2.10 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmasum	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem vmasum

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝑛) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
2		dvdsfi 16843	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
3		ssrab2 4034	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ⊆ ℕ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ⊆ ℕ)
5		fzfid 14005	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
6		inss1 4189	. . . 4 ⊢ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
7		ssfi 9153	. . . 4 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)) → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
9		pccl 16904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
10	9	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
12		fznn 13616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
14	13	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))))
15		an12 657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
16		prmz 16728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
17	16	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
18		iddvdsexp 16332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘))
19	17, 18	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘))
20	16	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
21		prmnn 16727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
22	21	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
23		nnnn0 12506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
24		nnexpcl 14106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
25	22, 23, 24	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ)
27		nnz 12607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
28	27	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
29		dvdstr 16347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝐴))
30	20, 26, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝐴))
31	19, 30	mpand 707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ∥ 𝐴))
32		simpll 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
33		dvdsle 16363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
34	20, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
35	31, 34	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
36	21	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
37		fznn 13616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
38	37	baibd 548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝 ≤ 𝐴))
39	28, 36, 38	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝 ≤ 𝐴))
40	35, 39	sylibrd 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
41	40	pm4.71rd 571	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴)))
42		breq1 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑝↑𝑘) → (𝑥 ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
43	42	elrab3 3651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝↑𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
44	25, 43	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
45		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	23	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
47		pcdvdsb 16924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
48	45, 28, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
49	48	anbi2d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴)))
50	41, 44, 49	3bitr4rd 315	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}))
51	50	pm5.32da 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
52	15, 51	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
53	14, 52	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
54	53	pm5.32da 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}))))
55		elin 3921	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
56	55	anbi1i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))))
57		anass 473	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
58		an12 657	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
59	56, 57, 58	3bitri 300	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
60		anass 473	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
61	54, 59, 60	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
62	4	sselda 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → 𝑛 ∈ ℕ)
63		vmacl 27282	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
64	62, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
65	64	recnd 11232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
66		simprr 784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ∧ (Λ‘𝑛) = 0)) → (Λ‘𝑛) = 0)
67	1, 2, 4, 8, 61, 65, 66	fsumvma 27377	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)))
68		elinel2 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
69	68	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑝 ∈ ℙ)
70		elfznn 13577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
71	70	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
72		vmappw 27280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
73	69, 71, 72	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
74	73	sumeq2dv 15749	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝))
75		fzfid 14005	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin)
76	68, 21	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
77	76	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
78	77	nnrpd 13053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
79	78	relogcld 26788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
80	79	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
81		fsumconst 15837	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin ∧ (log‘𝑝) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
82	75, 80, 81	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
83	68, 10	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
84		hashfz1 14378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
85	83, 84	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
86	85	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
87	74, 82, 86	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
88	87	sumeq2dv 15749	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
89		pclogsum 27379	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)) = (log‘𝐴))
90	67, 88, 89	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100   ≤ cle 11239  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ...cfz 13530  ↑cexp 14093  ♯chash 14362  Σcsu 15733   ∥ cdvds 16305  ℙcprime 16724   pCnt cpc 16891  logclog 26719  Λcvma 27256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-pc 16892  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-log 26721  df-vma 27262

This theorem is referenced by:  logfac2  27381  dchrvmasumlem1  27659  vmalogdivsum2  27702  logsqvma  27706