Theorem vmasum 27543

Description: The sum of the von Mangoldt function over the divisors of 𝑛. Equation 9.2.4 of [Shapiro], p. 328 and theorem 2.10 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmasum	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem vmasum

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝑛) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
2		dvdsfi 16966	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
3		ssrab2 4028	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ⊆ ℕ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ⊆ ℕ)
5		fzfid 14116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
6		inss1 4182	. . . 4 ⊢ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
7		ssfi 9188	. . . 4 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)) → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
9		pccl 17027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
10	9	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
12		fznn 13726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
14	13	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))))
15		an12 658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
16		prmz 16850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
18		iddvdsexp 16449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘))
19	17, 18	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘))
20	16	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
21		prmnn 16849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
23		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
24		nnexpcl 14217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
25	22, 23, 24	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ)
27		nnz 12714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
29		dvdstr 16464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝐴))
30	20, 26, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝐴))
31	19, 30	mpand 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ∥ 𝐴))
32		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
33		dvdsle 16480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
34	20, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
35	31, 34	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
36	21	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
37		fznn 13726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
38	37	baibd 549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝 ≤ 𝐴))
39	28, 36, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝 ≤ 𝐴))
40	35, 39	sylibrd 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
41	40	pm4.71rd 572	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴)))
42		breq1 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑝↑𝑘) → (𝑥 ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
43	42	elrab3 3646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝↑𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
44	25, 43	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
45		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
47		pcdvdsb 17047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
48	45, 28, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
49	48	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴)))
50	41, 44, 49	3bitr4rd 315	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}))
51	50	pm5.32da 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
52	15, 51	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
53	14, 52	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
54	53	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}))))
55		elin 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
56	55	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))))
57		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
58		an12 658	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
59	56, 57, 58	3bitri 300	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
60		anass 474	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
61	54, 59, 60	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
62	4	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → 𝑛 ∈ ℕ)
63		vmacl 27445	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
64	62, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
65	64	recnd 11337	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
66		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ∧ (Λ‘𝑛) = 0)) → (Λ‘𝑛) = 0)
67	1, 2, 4, 8, 61, 65, 66	fsumvma 27540	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)))
68		elinel2 4148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
69	68	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑝 ∈ ℙ)
70		elfznn 13687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
71	70	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
72		vmappw 27443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
73	69, 71, 72	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
74	73	sumeq2dv 15869	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝))
75		fzfid 14116	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin)
76	68, 21	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
77	76	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
78	77	nnrpd 13162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
79	78	relogcld 26951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
80	79	recnd 11337	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
81		fsumconst 15956	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin ∧ (log‘𝑝) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
82	75, 80, 81	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
83	68, 10	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
84		hashfz1 14490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
85	83, 84	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
86	85	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
87	74, 82, 86	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
88	87	sumeq2dv 15869	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
89		pclogsum 27542	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)) = (log‘𝐴))
90	67, 88, 89	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  ♯chash 14474  Σcsu 15853   ∥ cdvds 16422  ℙcprime 16846   pCnt cpc 17014  logclog 26882  Λcvma 27419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-vma 27425

This theorem is used by:  logfac2  27544  dchrvmasumlem1  27822  vmalogdivsum2  27865  logsqvma  27869