Theorem vmasum 26719

Description: The sum of the von Mangoldt function over the divisors of 𝑛. Equation 9.2.4 of [Shapiro], p. 328 and theorem 2.10 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmasum	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem vmasum

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6892	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝑛) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
2		fzfid 13938	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
3		dvdsssfz1 16261	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
4	2, 3	ssfid 9267	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
5		ssrab2 4078	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ⊆ ℕ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ⊆ ℕ)
7		inss1 4229	. . . 4 ⊢ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
8		ssfi 9173	. . . 4 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)) → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
9	2, 7, 8	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
10		pccl 16782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
11	10	ancoms 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
13		fznn 13569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
15	14	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))))
16		an12 644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
17		prmz 16612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
18	17	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
19		iddvdsexp 16223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘))
20	18, 19	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘))
21	17	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
22		prmnn 16611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
23	22	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
24		nnnn0 12479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
25		nnexpcl 14040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
26	23, 24, 25	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ)
28		nnz 12579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
29	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30		dvdstr 16237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝐴))
31	21, 27, 29, 30	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝐴))
32	20, 31	mpand 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ∥ 𝐴))
33		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
34		dvdsle 16253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
35	21, 33, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
36	32, 35	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
37	22	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
38		fznn 13569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
39	38	baibd 541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝 ≤ 𝐴))
40	29, 37, 39	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝 ≤ 𝐴))
41	36, 40	sylibrd 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
42	41	pm4.71rd 564	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴)))
43		breq1 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑝↑𝑘) → (𝑥 ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
44	43	elrab3 3685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝↑𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
45	26, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
46		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
47	24	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
48		pcdvdsb 16802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
49	46, 29, 47, 48	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
50	49	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴)))
51	42, 45, 50	3bitr4rd 312	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}))
52	51	pm5.32da 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
53	16, 52	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
54	15, 53	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
55	54	pm5.32da 580	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}))))
56		elin 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
57	56	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))))
58		anass 470	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
59		an12 644	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
60	57, 58, 59	3bitri 297	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
61		anass 470	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
62	55, 60, 61	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
63	6	sselda 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → 𝑛 ∈ ℕ)
64		vmacl 26622	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
65	63, 64	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
66	65	recnd 11242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
67		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ∧ (Λ‘𝑛) = 0)) → (Λ‘𝑛) = 0)
68	1, 4, 6, 9, 62, 66, 67	fsumvma 26716	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)))
69		elinel2 4197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
70	69	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑝 ∈ ℙ)
71		elfznn 13530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
72	71	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
73		vmappw 26620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
74	70, 72, 73	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
75	74	sumeq2dv 15649	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝))
76		fzfid 13938	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin)
77	69, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
78	77	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
79	78	nnrpd 13014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
80	79	relogcld 26131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
81	80	recnd 11242	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
82		fsumconst 15736	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin ∧ (log‘𝑝) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
83	76, 81, 82	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
84	69, 11	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
85		hashfz1 14306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
87	86	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
88	75, 83, 87	3eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
89	88	sumeq2dv 15649	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
90		pclogsum 26718	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)) = (log‘𝐴))
91	68, 89, 90	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   ≤ cle 11249  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ...cfz 13484  ↑cexp 14027  ♯chash 14290  Σcsu 15632   ∥ cdvds 16197  ℙcprime 16608   pCnt cpc 16769  logclog 26063  Λcvma 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-vma 26602

This theorem is referenced by:  logfac2  26720  dchrvmasumlem1  26998  vmalogdivsum2  27041  logsqvma  27045