Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaplkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaplkr 37723
Description: Kernel of the vector to dual map. Line 16 in [Holland95] p. 14. TODO: eliminate 𝐹 hypothesis. (Contributed by NM, 9-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaplkr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaplkr.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplkr.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplkr.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaplkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
hdmaplkr.y 𝑌 = (LKer‘𝑈)
hdmaplkr.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplkr.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaplkr.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmaplkr (𝜑 → (𝑌‘(𝑆𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))

Proof of Theorem hdmaplkr
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑆𝑋) = (𝑆‘(0g𝑈)))
21fveq2d 6336 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑌‘(𝑆𝑋)) = (𝑌‘(𝑆‘(0g𝑈))))
3 sneq 4326 . . . . 5 (𝑋 = (0g𝑈) → {𝑋} = {(0g𝑈)})
43fveq2d 6336 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑂‘{𝑋}) = (𝑂‘{(0g𝑈)}))
52, 4sseq12d 3783 . . 3 (𝑋 = (0g𝑈) → ((𝑌‘(𝑆𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑋}) ↔ (𝑌‘(𝑆‘(0g𝑈))) ⊆ (𝑂‘{(0g𝑈)})))
6 hdmaplkr.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaplkr.k . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
96, 7, 8lcdlmod 37402 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10 hdmaplkr.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmaplkr.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13 hdmaplkr.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmaplkr.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
156, 10, 11, 7, 12, 13, 8, 14hdmapcl 37640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
16 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
1712, 16lspsnid 19206 . . . . . . . . 9 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝑆𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑆𝑋) ∈ ((LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))‘{(𝑆𝑋)}))
189, 15, 17syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ((LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))‘{(𝑆𝑋)}))
19 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
20 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
216, 10, 11, 19, 7, 16, 20, 13, 8, 14hdmap10 37650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ((LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))‘{(𝑆𝑋)}))
22 hdmaplkr.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
23 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
24 hdmaplkr.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (LKer‘𝑈)
256, 22, 20, 10, 11, 19, 23, 24, 8, 14mapdsn 37451 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓)})
2621, 25eqtr3d 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))‘{(𝑆𝑋)}) = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓)})
2718, 26eleqtrd 2852 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓)})
286, 7, 12, 10, 23, 8, 15lcdvbaselfl 37405 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
29 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑆𝑋) → (𝑌𝑓) = (𝑌‘(𝑆𝑋)))
3029sseq2d 3782 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑆𝑋) → ((𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓) ↔ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋))))
3130elrab3 3516 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈) → ((𝑆𝑋) ∈ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓)} ↔ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋))))
3228, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ∈ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓)} ↔ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋))))
3327, 32mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋)))
3433adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋)))
35 eqid 2771 . . . . . 6 (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
366, 10, 8dvhlvec 36919 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3736adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
38 eqid 2771 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
398adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4014anim1i 602 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑋𝑉𝑋 ≠ (0g𝑈)))
41 eldifsn 4453 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}) ↔ (𝑋𝑉𝑋 ≠ (0g𝑈)))
4240, 41sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
436, 22, 10, 11, 38, 35, 39, 42dochsnshp 37263 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑂‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
4428adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑆𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
45 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
46 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
47 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
486, 10, 11, 45, 46, 7, 47, 8lcd0v 37421 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))
4948eqeq2d 2781 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆𝑋) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
506, 10, 11, 38, 7, 47, 13, 8, 14hdmapeq0 37654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑋 = (0g𝑈)))
5149, 50bitr3d 270 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ↔ 𝑋 = (0g𝑈)))
5251necon3bid 2987 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ↔ 𝑋 ≠ (0g𝑈)))
5352biimpar 463 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑆𝑋) ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))
5411, 45, 46, 35, 23, 24lkrshp 34914 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝑆𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈) ∧ (𝑆𝑋) ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) → (𝑌‘(𝑆𝑋)) ∈ (LSHyp‘𝑈))
5537, 44, 53, 54syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑌‘(𝑆𝑋)) ∈ (LSHyp‘𝑈))
5635, 37, 43, 55lshpcmp 34797 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → ((𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋)) ↔ (𝑂‘{𝑋}) = (𝑌‘(𝑆𝑋))))
5734, 56mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑂‘{𝑋}) = (𝑌‘(𝑆𝑋)))
58 eqimss2 3807 . . . 4 ((𝑂‘{𝑋}) = (𝑌‘(𝑆𝑋)) → (𝑌‘(𝑆𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑋}))
5957, 58syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑌‘(𝑆𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑋}))
606, 10, 8dvhlmod 36920 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
6111, 38lmod0vcl 19102 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
636, 10, 11, 7, 12, 13, 8, 62hdmapcl 37640 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(0g𝑈)) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
646, 7, 12, 10, 23, 8, 63lcdvbaselfl 37405 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(0g𝑈)) ∈ (LFnl‘𝑈))
6511, 23, 24, 60, 64lkrssv 34905 . . . 4 (𝜑 → (𝑌‘(𝑆‘(0g𝑈))) ⊆ 𝑉)
666, 10, 22, 11, 38doch0 37168 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
678, 66syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
6865, 67sseqtr4d 3791 . . 3 (𝜑 → (𝑌‘(𝑆‘(0g𝑈))) ⊆ (𝑂‘{(0g𝑈)}))
695, 59, 68pm2.61ne 3028 . 2 (𝜑 → (𝑌‘(𝑆𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑋}))
7069, 33eqssd 3769 1 (𝜑 → (𝑌‘(𝑆𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {crab 3065  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316   × cxp 5247  cfv 6031  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152  0gc0g 16308  LModclmod 19073  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315  LSHypclsh 34784  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  ocHcoch 37157  LCDualclcd 37396  mapdcmpd 37434  HDMapchdma 37602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-lcdual 37397  df-mapd 37435  df-hvmap 37567  df-hdmap1 37603  df-hdmap 37604
This theorem is referenced by:  hdmapellkr  37724  hdmapip0  37725  hdmapinvlem1  37728
  Copyright terms: Public domain W3C validator