Theorem shft2rab 25485

Description: If 𝐵 is a shift of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a shift of 𝐵 by -𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolshft.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ovolshft.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})

Assertion

Ref	Expression
shft2rab	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem shft2rab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolshft.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	sseld 3921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
3	2	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
4		recn 11119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		ovolshft.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		subneg 11434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
8	4, 6, 7	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
9		ovolshft.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
11	8, 10	eleq12d 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴}))
12		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ)
13		readdcl 11112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
14	12, 5, 13	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
15		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → (𝑥 − 𝐶) = ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶))
16	15	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → ((𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
17	16	elrab3 3636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
19		pncan 11390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
20	4, 6, 19	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
21	20	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
22	11, 18, 21	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
23	22	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
24	3, 23	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)))
25	24	eqabdv 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)})
26		df-rab 3391	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)}
27	25, 26	eqtr4di 2790	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  {crab 3390   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028   + caddc 11032   − cmin 11368  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  ovolshft  25488  shftmbl  25515