Theorem shft2rab 25409

Description: If 𝐵 is a shift of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a shift of 𝐵 by -𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolshft.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ovolshft.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})

Assertion

Ref	Expression
shft2rab	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem shft2rab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolshft.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	sseld 3945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
3	2	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
4		recn 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		ovolshft.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		subneg 11471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
8	4, 6, 7	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
9		ovolshft.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
11	8, 10	eleq12d 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴}))
12		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ)
13		readdcl 11151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
14	12, 5, 13	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
15		oveq1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → (𝑥 − 𝐶) = ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶))
16	15	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → ((𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
17	16	elrab3 3660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
19		pncan 11427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
20	4, 6, 19	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
21	20	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
22	11, 18, 21	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
23	22	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
24	3, 23	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)))
25	24	eqabdv 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)})
26		df-rab 3406	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)}
27	25, 26	eqtr4di 2782	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  {crab 3405   ⊆ wss 3914  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067   + caddc 11071   − cmin 11405  -cneg 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  ovolshft  25412  shftmbl  25439