MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shft2rab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shft2rab 24043
Description: If 𝐵 is a shift of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a shift of 𝐵 by -𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolshft.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolshft.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ovolshft.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
Assertion
Ref Expression
shft2rab (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem shft2rab
StepHypRef Expression
1 ovolshft.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21sseld 3970 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
32pm4.71rd 563 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
4 recn 10621 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 ovolshft.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 10663 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7 subneg 10929 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
84, 6, 7syl2anr 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
9 ovolshft.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
118, 10eleq12d 2912 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴}))
12 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ)
13 readdcl 10614 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
1412, 5, 13syl2anr 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
15 oveq1 7157 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → (𝑥𝐶) = ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶))
1615eleq1d 2902 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → ((𝑥𝐶) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
1716elrab3 3685 . . . . . . 7 ((𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
1814, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
19 pncan 10886 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
204, 6, 19syl2anr 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
2120eleq1d 2902 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴𝑦𝐴))
2211, 18, 213bitrd 306 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵𝑦𝐴))
2322pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
243, 23bitr4d 283 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)))
2524abbi2dv 2955 . 2 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)})
26 df-rab 3152 . 2 {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)}
2725, 26syl6eqr 2879 1 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2804  {crab 3147  wss 3940  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530   + caddc 10534  cmin 10864  -cneg 10865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867
This theorem is referenced by:  ovolshft  24046  shftmbl  24073
  Copyright terms: Public domain W3C validator