Theorem shft2rab 24108

Description: If 𝐵 is a shift of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a shift of 𝐵 by -𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolshft.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ovolshft.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})

Assertion

Ref	Expression
shft2rab	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem shft2rab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolshft.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	sseld 3965	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
3	2	pm4.71rd 565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
4		recn 10626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		ovolshft.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 10668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		subneg 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
8	4, 6, 7	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
9		ovolshft.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
10	9	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
11	8, 10	eleq12d 2907	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴}))
12		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ)
13		readdcl 10619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
14	12, 5, 13	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
15		oveq1 7162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → (𝑥 − 𝐶) = ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶))
16	15	eleq1d 2897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → ((𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
17	16	elrab3 3680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
19		pncan 10891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
20	4, 6, 19	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
21	20	eleq1d 2897	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
22	11, 18, 21	3bitrd 307	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
23	22	pm5.32da 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
24	3, 23	bitr4d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)))
25	24	abbi2dv 2950	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)})
26		df-rab 3147	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)}
27	25, 26	syl6eqr 2874	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {cab 2799  {crab 3142   ⊆ wss 3935  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535   + caddc 10539   − cmin 10869  -cneg 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-sub 10871  df-neg 10872

This theorem is referenced by:  ovolshft  24111  shftmbl  24138