Theorem shft2rab 25859

Description: If 𝐵 is a shift of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a shift of 𝐵 by -𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolshft.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ovolshft.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})

Assertion

Ref	Expression
shft2rab	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem shft2rab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolshft.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	sseld 3912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
3	2	pm4.71rd 572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
4		recn 11317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		ovolshft.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		subneg 11634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
8	4, 6, 7	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
9		ovolshft.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
11	8, 10	eleq12d 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴}))
12		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ)
13		readdcl 11310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
14	12, 5, 13	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
15		oveq1 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → (𝑥 − 𝐶) = ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶))
16	15	eleq1d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → ((𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
17	16	elrab3 3649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
18	14, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
19		pncan 11590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
20	4, 6, 19	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
21	20	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
22	11, 18, 21	3bitrd 308	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
23	22	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
24	3, 23	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)))
25	24	eqabdv 2897	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)})
26		df-rab 3417	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)}
27	25, 26	eqtr4di 2816	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  {crab 3416   ⊆ wss 3900  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226   + caddc 11230   − cmin 11568   -cneg 11569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-sub 11570  df-neg 11571

This theorem is used by:  ovolshft  25862  shftmbl  25889