Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islmodfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmodfg 39824
 Description: Property of a finitely generated left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmodfg.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islmodfg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islmodfg (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝐵,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islmodfg
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lfig 39823 . . . 4 LFinGen = {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))}
21eleq2i 2903 . . 3 (𝑊 ∈ LFinGen ↔ 𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))})
3 fveq2 6643 . . . . 5 (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4 fveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = (LSpan‘𝑊))
5 islmodfg.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
64, 5syl6eqr 2874 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = 𝑁)
73pweqd 4531 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑎) = 𝒫 (Base‘𝑊))
87ineq1d 4163 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑊 → (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin) = (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))
96, 8imaeq12d 5903 . . . . 5 (𝑎 = 𝑊 → ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) = (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)))
103, 9eleq12d 2906 . . . 4 (𝑎 = 𝑊 → ((Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
1110elrab3 3658 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))} ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
122, 11syl5bb 286 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
13 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14 eqid 2821 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1513, 14, 5lspf 19722 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 (Base‘𝑊)⟶(LSubSp‘𝑊))
1615ffnd 6488 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊))
17 inss1 4180 . . . 4 (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
18 fvelimab 6710 . . . 4 ((𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁𝑏) = (Base‘𝑊)))
1916, 17, 18sylancl 589 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁𝑏) = (Base‘𝑊)))
20 elin 3926 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
21 islmodfg.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑊)
2221eqcomi 2830 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = 𝐵
2322pweqi 4530 . . . . . . . . 9 𝒫 (Base‘𝑊) = 𝒫 𝐵
2423eleq2i 2903 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)
2524anbi1i 626 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin))
2620, 25bitri 278 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin))
2722eqeq2i 2834 . . . . . 6 ((𝑁𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ (𝑁𝑏) = 𝐵)
2826, 27anbi12i 629 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵))
29 anass 472 . . . . 5 (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵)))
3028, 29bitri 278 . . . 4 ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵)))
3130rexbii2 3233 . . 3 (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵))
3219, 31syl6bb 290 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵)))
3312, 32bitrd 282 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3127  {crab 3130   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  𝒫 cpw 4512   “ cima 5531   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  Fincfn 8484  Basecbs 16462  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719  LFinGenclfig 39822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lfig 39823 This theorem is referenced by:  islssfg  39825  lnrfg  39874
 Copyright terms: Public domain W3C validator