Theorem islmodfg 44055

Description: Property of a finitely generated left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmodfg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islmodfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islmodfg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝐵,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islmodfg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lfig 44054	. . . 4 ⊢ LFinGen = {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))}
2	1	eleq2i 2853	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LFinGen ↔ 𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))})
3		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = (LSpan‘𝑊))
5		islmodfg.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	4, 5	eqtr4di 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = 𝑁)
7	3	pweqd 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑎) = 𝒫 (Base‘𝑊))
8	7	ineq1d 4165	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin) = (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))
9	6, 8	imaeq12d 6053	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) = (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)))
10	3, 9	eleq12d 2855	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
11	10	elrab3 3646	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))} ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
12	2, 11	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	13, 14, 5	lspf 21242	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 (Base‘𝑊)⟶(LSubSp‘𝑊))
16	15	ffnd 6708	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊))
17		inss1 4182	. . . 4 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
18		fvelimab 6955	. . . 4 ⊢ ((𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)))
19	16, 17, 18	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)))
20		elin 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
21		islmodfg.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
22	21	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = 𝐵
23	22	pweqi 4573	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 (Base‘𝑊) = 𝒫 𝐵
24	23	eleq2i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)
25	24	anbi1i 636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
26	20, 25	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
27	22	eqeq2i 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)
28	26, 27	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵))
29		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
30	28, 29	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
31	30	rexbii2 3106	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵))
32	19, 31	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
33	12, 32	bitrd 282	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   “ cima 5654   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  Fincfn 8966  Basecbs 17380  LModclmod 21128  LSubSpclss 21199  LSpanclspn 21239  LFinGenclfig 44053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lfig 44054

This theorem is used by:  islssfg  44056  lnrfg  44105