Theorem islmodfg 40013

Description: Property of a finitely generated left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmodfg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islmodfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islmodfg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝐵,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islmodfg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lfig 40012	. . . 4 ⊢ LFinGen = {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))}
2	1	eleq2i 2881	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LFinGen ↔ 𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))})
3		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = (LSpan‘𝑊))
5		islmodfg.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	4, 5	eqtr4di 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = 𝑁)
7	3	pweqd 4516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑎) = 𝒫 (Base‘𝑊))
8	7	ineq1d 4138	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin) = (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))
9	6, 8	imaeq12d 5897	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) = (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)))
10	3, 9	eleq12d 2884	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
11	10	elrab3 3629	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))} ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
12	2, 11	syl5bb 286	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
13		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	13, 14, 5	lspf 19739	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 (Base‘𝑊)⟶(LSubSp‘𝑊))
16	15	ffnd 6488	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊))
17		inss1 4155	. . . 4 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
18		fvelimab 6712	. . . 4 ⊢ ((𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)))
19	16, 17, 18	sylancl 589	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)))
20		elin 3897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
21		islmodfg.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
22	21	eqcomi 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = 𝐵
23	22	pweqi 4515	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 (Base‘𝑊) = 𝒫 𝐵
24	23	eleq2i 2881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)
25	24	anbi1i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
26	20, 25	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
27	22	eqeq2i 2811	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)
28	26, 27	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵))
29		anass 472	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
30	28, 29	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
31	30	rexbii2 3208	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵))
32	19, 31	syl6bb 290	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
33	12, 32	bitrd 282	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  Fincfn 8492  Basecbs 16475  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  LFinGenclfig 40011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lfig 40012

This theorem is referenced by:  islssfg  40014  lnrfg  40063