Theorem islmodfg 43062

Description: Property of a finitely generated left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmodfg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islmodfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islmodfg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝐵,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islmodfg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lfig 43061	. . . 4 ⊢ LFinGen = {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))}
2	1	eleq2i 2820	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LFinGen ↔ 𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))})
3		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = (LSpan‘𝑊))
5		islmodfg.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	4, 5	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = 𝑁)
7	3	pweqd 4570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑎) = 𝒫 (Base‘𝑊))
8	7	ineq1d 4172	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin) = (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))
9	6, 8	imaeq12d 6016	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) = (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)))
10	3, 9	eleq12d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
11	10	elrab3 3651	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))} ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
12	2, 11	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	13, 14, 5	lspf 20896	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 (Base‘𝑊)⟶(LSubSp‘𝑊))
16	15	ffnd 6657	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊))
17		inss1 4190	. . . 4 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
18		fvelimab 6899	. . . 4 ⊢ ((𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)))
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)))
20		elin 3921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
21		islmodfg.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
22	21	eqcomi 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = 𝐵
23	22	pweqi 4569	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 (Base‘𝑊) = 𝒫 𝐵
24	23	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)
25	24	anbi1i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
26	20, 25	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
27	22	eqeq2i 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)
28	26, 27	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵))
29		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
30	28, 29	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
31	30	rexbii2 3072	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵))
32	19, 31	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
33	12, 32	bitrd 279	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3396   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553   “ cima 5626   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  Fincfn 8879  Basecbs 17139  LModclmod 20782  LSubSpclss 20853  LSpanclspn 20893  LFinGenclfig 43060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-plusg 17193  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mgp 20045  df-ur 20086  df-ring 20139  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lfig 43061

This theorem is referenced by:  islssfg  43063  lnrfg  43112