Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islmodfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmodfg 41425
Description: Property of a finitely generated left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmodfg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islmodfg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islmodfg (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Š ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝐡(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘Š,𝑏   𝐡,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islmodfg
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lfig 41424 . . . 4 LFinGen = {π‘Ž ∈ LMod ∣ (Baseβ€˜π‘Ž) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Ž) β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin))}
21eleq2i 2830 . . 3 (π‘Š ∈ LFinGen ↔ π‘Š ∈ {π‘Ž ∈ LMod ∣ (Baseβ€˜π‘Ž) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Ž) β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin))})
3 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘Ž = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘Š))
4 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘Š β†’ (LSpanβ€˜π‘Ž) = (LSpanβ€˜π‘Š))
5 islmodfg.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
64, 5eqtr4di 2795 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘Š β†’ (LSpanβ€˜π‘Ž) = 𝑁)
73pweqd 4582 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘Š β†’ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) = 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
87ineq1d 4176 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘Š β†’ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin) = (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))
96, 8imaeq12d 6019 . . . . 5 (π‘Ž = π‘Š β†’ ((LSpanβ€˜π‘Ž) β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin)) = (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)))
103, 9eleq12d 2832 . . . 4 (π‘Ž = π‘Š β†’ ((Baseβ€˜π‘Ž) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Ž) β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin)) ↔ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))))
1110elrab3 3651 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Š ∈ {π‘Ž ∈ LMod ∣ (Baseβ€˜π‘Ž) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Ž) β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin))} ↔ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))))
122, 11bitrid 283 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Š ∈ LFinGen ↔ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))))
13 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1513, 14, 5lspf 20451 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁:𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)⟢(LSubSpβ€˜π‘Š))
1615ffnd 6674 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁 Fn 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
17 inss1 4193 . . . 4 (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)
18 fvelimab 6919 . . . 4 ((𝑁 Fn 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)(π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š)))
1916, 17, 18sylancl 587 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)(π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š)))
20 elin 3931 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
21 islmodfg.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2221eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Š) = 𝐡
2322pweqi 4581 . . . . . . . . 9 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) = 𝒫 𝐡
2423eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐡)
2524anbi1i 625 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
2620, 25bitri 275 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
2722eqeq2i 2750 . . . . . 6 ((π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)
2826, 27anbi12i 628 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š)) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡))
29 anass 470 . . . . 5 (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)))
3028, 29bitri 275 . . . 4 ((𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)))
3130rexbii2 3094 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)(π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝐡(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡))
3219, 31bitrdi 287 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝐡(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)))
3312, 32bitrd 279 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Š ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝐡(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  β€˜cfv 6501  Fincfn 8890  Basecbs 17090  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LFinGenclfig 41423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lfig 41424
This theorem is referenced by:  islssfg  41426  lnrfg  41475
  Copyright terms: Public domain W3C validator