Theorem islmodfg 38165

Description: Property of a finitely generated left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmodfg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islmodfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islmodfg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝐵,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islmodfg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lfig 38164	. . . 4 ⊢ LFinGen = {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))}
2	1	eleq2i 2842	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LFinGen ↔ 𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))})
3		fveq2 6332	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4		fveq2 6332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = (LSpan‘𝑊))
5		islmodfg.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	4, 5	syl6eqr 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = 𝑁)
7	3	pweqd 4302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑎) = 𝒫 (Base‘𝑊))
8	7	ineq1d 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin) = (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))
9	6, 8	imaeq12d 5608	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) = (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)))
10	3, 9	eleq12d 2844	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
11	10	elrab3 3516	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))} ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
12	2, 11	syl5bb 272	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
13		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	13, 14, 5	lspf 19187	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 (Base‘𝑊)⟶(LSubSp‘𝑊))
16		ffn 6185	. . . . 5 ⊢ (𝑁:𝒫 (Base‘𝑊)⟶(LSubSp‘𝑊) → 𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊))
18		inss1 3981	. . . 4 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
19		fvelimab 6395	. . . 4 ⊢ ((𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)))
20	17, 18, 19	sylancl 566	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)))
21		elin 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
22		islmodfg.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
23	22	eqcomi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = 𝐵
24	23	pweqi 4301	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 (Base‘𝑊) = 𝒫 𝐵
25	24	eleq2i 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)
26	25	anbi1i 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
27	21, 26	bitri 264	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
28	23	eqeq2i 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)
29	27, 28	anbi12i 604	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵))
30		anass 459	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
31	29, 30	bitri 264	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
32	31	rexbii2 3187	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵))
33	20, 32	syl6bb 276	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
34	12, 33	bitrd 268	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062  {crab 3065   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4297   “ cima 5252   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  Fincfn 8109  Basecbs 16064  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LFinGenclfig 38163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lfig 38164

This theorem is referenced by:  islssfg  38166  lnrfg  38215