Theorem islmodfg 42542

Description: Property of a finitely generated left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmodfg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islmodfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islmodfg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝐵,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islmodfg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lfig 42541	. . . 4 ⊢ LFinGen = {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))}
2	1	eleq2i 2821	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LFinGen ↔ 𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))})
3		fveq2 6902	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4		fveq2 6902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = (LSpan‘𝑊))
5		islmodfg.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	4, 5	eqtr4di 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = 𝑁)
7	3	pweqd 4623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑎) = 𝒫 (Base‘𝑊))
8	7	ineq1d 4213	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin) = (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))
9	6, 8	imaeq12d 6069	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) = (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)))
10	3, 9	eleq12d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
11	10	elrab3 3685	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))} ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
12	2, 11	bitrid 282	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
13		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	13, 14, 5	lspf 20872	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 (Base‘𝑊)⟶(LSubSp‘𝑊))
16	15	ffnd 6728	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊))
17		inss1 4231	. . . 4 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
18		fvelimab 6976	. . . 4 ⊢ ((𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)))
19	16, 17, 18	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)))
20		elin 3965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
21		islmodfg.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
22	21	eqcomi 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = 𝐵
23	22	pweqi 4622	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 (Base‘𝑊) = 𝒫 𝐵
24	23	eleq2i 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)
25	24	anbi1i 622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
26	20, 25	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
27	22	eqeq2i 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)
28	26, 27	anbi12i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵))
29		anass 467	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
30	28, 29	bitri 274	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
31	30	rexbii2 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵))
32	19, 31	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))
33	12, 32	bitrd 278	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067  {crab 3430   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4606   “ cima 5685   Fn wfn 6548  ‘cfv 6553  Fincfn 8972  Basecbs 17189  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829  LSpanclspn 20869  LFinGenclfig 42540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lfig 42541

This theorem is referenced by:  islssfg  42543  lnrfg  42592