Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islmodfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmodfg 42389
Description: Property of a finitely generated left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmodfg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islmodfg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islmodfg (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Š ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝐡(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘Š,𝑏   𝐡,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islmodfg
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lfig 42388 . . . 4 LFinGen = {π‘Ž ∈ LMod ∣ (Baseβ€˜π‘Ž) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Ž) β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin))}
21eleq2i 2819 . . 3 (π‘Š ∈ LFinGen ↔ π‘Š ∈ {π‘Ž ∈ LMod ∣ (Baseβ€˜π‘Ž) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Ž) β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin))})
3 fveq2 6885 . . . . 5 (π‘Ž = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘Š))
4 fveq2 6885 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘Š β†’ (LSpanβ€˜π‘Ž) = (LSpanβ€˜π‘Š))
5 islmodfg.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
64, 5eqtr4di 2784 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘Š β†’ (LSpanβ€˜π‘Ž) = 𝑁)
73pweqd 4614 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘Š β†’ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) = 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
87ineq1d 4206 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘Š β†’ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin) = (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))
96, 8imaeq12d 6054 . . . . 5 (π‘Ž = π‘Š β†’ ((LSpanβ€˜π‘Ž) β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin)) = (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)))
103, 9eleq12d 2821 . . . 4 (π‘Ž = π‘Š β†’ ((Baseβ€˜π‘Ž) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Ž) β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin)) ↔ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))))
1110elrab3 3679 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Š ∈ {π‘Ž ∈ LMod ∣ (Baseβ€˜π‘Ž) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Ž) β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Ž) ∩ Fin))} ↔ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))))
122, 11bitrid 283 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Š ∈ LFinGen ↔ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))))
13 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
14 eqid 2726 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1513, 14, 5lspf 20821 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁:𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)⟢(LSubSpβ€˜π‘Š))
1615ffnd 6712 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁 Fn 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
17 inss1 4223 . . . 4 (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)
18 fvelimab 6958 . . . 4 ((𝑁 Fn 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)(π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š)))
1916, 17, 18sylancl 585 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)(π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š)))
20 elin 3959 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
21 islmodfg.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2221eqcomi 2735 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Š) = 𝐡
2322pweqi 4613 . . . . . . . . 9 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) = 𝒫 𝐡
2423eleq2i 2819 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐡)
2524anbi1i 623 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
2620, 25bitri 275 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
2722eqeq2i 2739 . . . . . 6 ((π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š) ↔ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)
2826, 27anbi12i 626 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š)) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡))
29 anass 468 . . . . 5 (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)))
3028, 29bitri 275 . . . 4 ((𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)))
3130rexbii2 3084 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)(π‘β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝐡(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡))
3219, 31bitrdi 287 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((Baseβ€˜π‘Š) ∈ (𝑁 β€œ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝐡(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)))
3312, 32bitrd 279 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Š ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝐡(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  Fincfn 8941  Basecbs 17153  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LFinGenclfig 42387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lfig 42388
This theorem is referenced by:  islssfg  42390  lnrfg  42439
  Copyright terms: Public domain W3C validator