MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadval 15798
Description: The full adder sequence is the half adder function applied to the inputs and the carry sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadval (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadval
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 sadval.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 sadval.c . . . 4 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
41, 2, 3sadfval 15794 . . 3 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
54eleq2d 2878 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))}))
6 sadcp1.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝐴𝑁𝐴))
8 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝐵𝑁𝐵))
9 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑁))
109eleq2d 2878 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
117, 8, 10hadbi123d 1596 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
1211elrab3 3632 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))} ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
136, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))} ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
145, 13bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  haddwhad 1594  caddwcad 1608  wcel 2112  {crab 3113  wss 3884  c0 4246  ifcif 4428  cmpt 5113  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmpo 7141  1oc1o 8082  2oc2o 8083  0cc0 10530  1c1 10531  cmin 10863  0cn0 11889  seqcseq 13368   sadd csad 15762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-1cn 10588  ax-addcl 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-had 1595  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-nn 11630  df-n0 11890  df-seq 13369  df-sad 15793
This theorem is referenced by:  sadadd2lem  15801  saddisjlem  15806
  Copyright terms: Public domain W3C validator