Theorem negn0 11666

Description: The image under negation of a nonempty set of reals is nonempty. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
negn0	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅)

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem negn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4328	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		ssel 3952	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ))
3		renegcl 11546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4		negeq 11474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
5	4	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
6	5	elrab3 3672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
8		recn 11219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
9	8	negnegd 11585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
10	9	eleq1d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
11	7, 10	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
12	11	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
13	2, 12	syli 39	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
14		elex2 2811	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})
15	13, 14	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
16		n0 4328	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})
17	15, 16	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅))
18	17	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅))
19	1, 18	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅))
20	19	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {crab 3415   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ℝcr 11128  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  supminf  12951  supminfxr  45491