Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negn0 11107
 Description: The image under negation of a nonempty set of reals is nonempty. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
negn0 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅)
Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem negn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4245 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 ssel 3885 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
3 renegcl 10987 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4 negeq 10916 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
54eleq1d 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
65elrab3 3603 . . . . . . . . . 10 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
73, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
8 recn 10665 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
98negnegd 11026 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
109eleq1d 2836 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
117, 10bitrd 282 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ 𝑥𝐴))
1211biimprd 251 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
132, 12syli 39 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
14 elex2 3432 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
1513, 14syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
16 n0 4245 . . . . 5 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
1715, 16syl6ibr 255 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅))
1817exlimdv 1934 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 𝑥𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅))
191, 18syl5bi 245 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅))
2019imp 410 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  {crab 3074   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  ℝcr 10574  -cneg 10909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-ltxr 10718  df-sub 10910  df-neg 10911 This theorem is referenced by:  supminf  12375  supminfxr  42469
 Copyright terms: Public domain W3C validator