MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negn0 11058
Description: The image under negation of a nonempty set of reals is nonempty. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
negn0 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅)
Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem negn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4314 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 ssel 3965 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
3 renegcl 10938 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4 negeq 10867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
54eleq1d 2902 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
65elrab3 3685 . . . . . . . . . 10 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
73, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
8 recn 10616 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
98negnegd 10977 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
109eleq1d 2902 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
117, 10bitrd 280 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ 𝑥𝐴))
1211biimprd 249 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
132, 12syli 39 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
14 elex2 3522 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
1513, 14syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
16 n0 4314 . . . . 5 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
1715, 16syl6ibr 253 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅))
1817exlimdv 1927 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 𝑥𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅))
191, 18syl5bi 243 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅))
2019imp 407 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3021  {crab 3147  wss 3940  c0 4295  cr 10525  -cneg 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by:  fiminreOLD  11579  supminf  12324  supminfxr  41605
  Copyright terms: Public domain W3C validator