MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negn0 11673
Description: The image under negation of a nonempty set of reals is nonempty. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
negn0 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅)
Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem negn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4347 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 ssel 3973 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
3 renegcl 11553 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4 negeq 11482 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
54eleq1d 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
65elrab3 3683 . . . . . . . . . 10 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
73, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
8 recn 11228 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
98negnegd 11592 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
109eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
117, 10bitrd 279 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ 𝑥𝐴))
1211biimprd 247 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
132, 12syli 39 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
14 elex2 2808 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
1513, 14syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
16 n0 4347 . . . . 5 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
1715, 16imbitrrdi 251 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅))
1817exlimdv 1929 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 𝑥𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅))
191, 18biimtrid 241 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅))
2019imp 406 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2937  {crab 3429  wss 3947  c0 4323  cr 11137  -cneg 11475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sub 11476  df-neg 11477
This theorem is referenced by:  supminf  12949  supminfxr  44846
  Copyright terms: Public domain W3C validator