Theorem negn0 11570

Description: The image under negation of a nonempty set of reals is nonempty. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
negn0	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅)

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem negn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4306	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		ssel 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ))
3		renegcl 11448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4		negeq 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
5	4	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
6	5	elrab3 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
8		recn 11120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
9	8	negnegd 11487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
10	9	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
11	7, 10	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
12	11	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
13	2, 12	syli 39	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
14		elex2 2814	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})
15	13, 14	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
16		n0 4306	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})
17	15, 16	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅))
18	17	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅))
19	1, 18	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅))
20	19	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3400   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ℝcr 11029  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  supminf  12852  supminfxr  45744