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Theorem ftalem5 27134
Description: Lemma for fta 27137: Main proof. We have already shifted the minimum found in ftalem3 27132 to zero by a change of variables, and now we show that the minimum value is zero. Expanding in a series about the minimum value, let 𝐾 be the lowest term in the polynomial that is nonzero, and let 𝑇 be a 𝐾-th root of -𝐹(0) / 𝐴(𝐾). Then an evaluation of 𝐹(𝑇𝑋) where 𝑋 is a sufficiently small positive number yields 𝐹(0) for the first term and -𝐹(0) · 𝑋𝐾 for the 𝐾-th term, and all higher terms are bounded because 𝑋 is small. Thus, abs(𝐹(𝑇𝑋)) ≤ abs(𝐹(0))(1 − 𝑋𝐾) < abs(𝐹(0)), in contradiction to our choice of 𝐹(0) as the minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem4.5 (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
ftalem4.6 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
ftalem4.7 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))
ftalem4.8 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
ftalem4.9 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
Assertion
Ref Expression
ftalem5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘,𝑥   𝑥,𝑈   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem ftalem5
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . . . . 6 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 ftalem.2 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
3 ftalem.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 ftalem.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 ftalem4.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
6 ftalem4.6 . . . . . 6 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
7 ftalem4.7 . . . . . 6 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))
8 ftalem4.8 . . . . . 6 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
9 ftalem4.9 . . . . . 6 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftalem4 27133 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0) ∧ (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+)))
1110simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+))
1211simp1d 1141 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1311simp3d 1143 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
1413rpred 13074 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1514recnd 11286 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1612, 15mulcld 11278 . 2 (𝜑 → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ)
17 plyf 26251 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
183, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
1918, 16ffvelcdmd 7104 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) ∈ ℂ)
2019abscld 15471 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) ∈ ℝ)
21 0cn 11250 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
22 ffvelcdm 7100 . . . . . . 7 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
2318, 21, 22sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
2423abscld 15471 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
2510simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0))
2625simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 12584 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
2814, 27reexpcld 14199 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐾) ∈ ℝ)
2924, 28remulcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾)) ∈ ℝ)
3024, 29resubcld 11688 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) ∈ ℝ)
31 fzfid 14010 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
321coef3 26285 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
333, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
3527, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
36 elfzuz 13556 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
37 eluznn0 12956 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3835, 36, 37syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39 ffvelcdm 7100 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4033, 38, 39syl2an2r 685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4116adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ)
4241, 38expcld 14182 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
4340, 42mulcld 11278 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
4431, 43fsumcl 15765 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
4544abscld 15471 . . . 4 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ∈ ℝ)
4630, 45readdcld 11287 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) ∈ ℝ)
47 fzfid 14010 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝐾) ∈ Fin)
48 elfznn0 13656 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4933, 48, 39syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝐾)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
50 expcl 14116 . . . . . . . 8 (((𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
5116, 48, 50syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝐾)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
5249, 51mulcld 11278 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝐾)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
5347, 52fsumcl 15765 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
5453, 44abstrid 15491 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) ≤ ((abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
551, 2coeid2 26292 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))
563, 16, 55syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))
5726nnred 12278 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
5857ltp1d 12195 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 < (𝐾 + 1))
59 fzdisj 13587 . . . . . . . 8 (𝐾 < (𝐾 + 1) → ((0...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
61 ssrab2 4089 . . . . . . . . . . . 12 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ ℕ
62 nnuz 12918 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
6361, 62sseqtri 4031 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1)
64 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑁))
6564neeq1d 2997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐴𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑁) ≠ 0))
664nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
672, 1dgreq0 26319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
683, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
69 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
70 dgr0 26316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (deg‘0𝑝) = 0
7169, 70eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
722, 71eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
7368, 72biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
7473necon3d 2958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴𝑁) ≠ 0))
7566, 74mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
7665, 4, 75elrabd 3696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
77 infssuzle 12970 . . . . . . . . . . 11 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
7863, 76, 77sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
796, 78eqbrtrid 5182 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑁)
80 nn0uz 12917 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
8127, 80eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘0))
824nnzd 12637 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
83 elfz5 13552 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
8481, 82, 83syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
8579, 84mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁))
86 fzsplit 13586 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
8785, 86syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
88 fzfid 14010 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
89 elfznn0 13656 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9033, 89, 39syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9116, 89, 50syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
9290, 91mulcld 11278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
9360, 87, 88, 92fsumsplit 15773 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
9456, 93eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
9594fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
961coefv0 26301 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
973, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
9897eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐹‘0))
9916exp0d 14176 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇 · 𝑋)↑0) = 1)
10098, 99oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) = ((𝐹‘0) · 1))
10123mulridd 11275 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹‘0) · 1) = (𝐹‘0))
102100, 101eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) = (𝐹‘0))
103 1e0p1 12772 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
104103oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝐾) = ((0 + 1)...𝐾)
105104sumeq1i 15729 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))
10626, 62eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘1))
107 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ)
108107nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10933, 108, 39syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
11016, 108, 50syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
111109, 110mulcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
112 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐾 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝐾))
113 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) = ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))
114112, 113oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐾 → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)))
115106, 111, 114fsumm1 15783 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))))
116105, 115eqtr3id 2788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))))
117 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
119118nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
12057adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
121 peano2rem 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
123 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
124123adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
125120ltm1d 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
126119, 122, 120, 124, 125lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝐾)
127119, 120ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑘 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑘))
128126, 127mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ¬ 𝐾𝑘)
129 infssuzle 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
1306, 129eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}) → 𝐾𝑘)
13163, 130mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} → 𝐾𝑘)
132128, 131nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
133 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
134133neeq1d 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
135134elrab3 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
136118, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
137136necon2bbid 2981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝐴𝑘) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}))
138132, 137mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐴𝑘) = 0)
139138oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (0 · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))
140117nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14116, 140, 50syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
142141mul02d 11456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (0 · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = 0)
143139, 142eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = 0)
144143sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))0)
145 fzfi 14009 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(𝐾 − 1)) ∈ Fin
146145olci 866 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...(𝐾 − 1)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
147 sumz 15754 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...(𝐾 − 1)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(𝐾 − 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))0 = 0)
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))0 = 0
149144, 148eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = 0)
15012, 15, 27mulexpd 14197 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾) = ((𝑇𝐾) · (𝑋𝐾)))
151150oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)) = ((𝐴𝐾) · ((𝑇𝐾) · (𝑋𝐾))))
15233, 27ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
15312, 27expcld 14182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇𝐾) ∈ ℂ)
15428recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋𝐾) ∈ ℂ)
155152, 153, 154mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴𝐾) · (𝑇𝐾)) · (𝑋𝐾)) = ((𝐴𝐾) · ((𝑇𝐾) · (𝑋𝐾))))
156151, 155eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)) = (((𝐴𝐾) · (𝑇𝐾)) · (𝑋𝐾)))
1577oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝐾) = ((-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))↑𝐾)
15857recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
15926nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ≠ 0)
160158, 159recid2d 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((1 / 𝐾) · 𝐾) = 1)
161160oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐((1 / 𝐾) · 𝐾)) = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐1))
16225simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴𝐾) ≠ 0)
16323, 152, 162divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
164163negcld 11604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
16526nnrecred 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℝ)
166165recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℂ)
167164, 166, 27cxpmul2d 26765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐((1 / 𝐾) · 𝐾)) = ((-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))↑𝐾))
168164cxp1d 26762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐1) = -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)))
169161, 167, 1683eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))↑𝐾) = -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)))
170157, 169eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇𝐾) = -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)))
171170oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · (𝑇𝐾)) = ((𝐴𝐾) · -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))))
172152, 163mulneg2d 11714 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))) = -((𝐴𝐾) · ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))))
17323, 152, 162divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))) = (𝐹‘0))
174173negeqd 11499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -((𝐴𝐾) · ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))) = -(𝐹‘0))
175171, 172, 1743eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · (𝑇𝐾)) = -(𝐹‘0))
176175oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) · (𝑇𝐾)) · (𝑋𝐾)) = (-(𝐹‘0) · (𝑋𝐾)))
17723, 154mulneg1d 11713 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-(𝐹‘0) · (𝑋𝐾)) = -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)))
178156, 176, 1773eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)) = -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)))
179149, 178oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))) = (0 + -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
18023, 154mulcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)) ∈ ℂ)
181180negcld 11604 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)) ∈ ℂ)
182181addlidd 11459 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))) = -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)))
183116, 179, 1823eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)))
184102, 183oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = ((𝐹‘0) + -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
185 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘0))
186 oveq2 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) = ((𝑇 · 𝑋)↑0))
187185, 186oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)))
18881, 52, 187fsum1p 15785 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
189101oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹‘0) · 1) − ((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))) = ((𝐹‘0) − ((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
190 1cnd 11253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19123, 190, 154subdid 11716 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹‘0) · (1 − (𝑋𝐾))) = (((𝐹‘0) · 1) − ((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
19223, 180negsubd 11623 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹‘0) + -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))) = ((𝐹‘0) − ((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
193189, 191, 1923eqtr4d 2784 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹‘0) · (1 − (𝑋𝐾))) = ((𝐹‘0) + -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
194184, 188, 1933eqtr4d 2784 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐹‘0) · (1 − (𝑋𝐾))))
195194fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = (abs‘((𝐹‘0) · (1 − (𝑋𝐾)))))
196 1re 11258 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
197 resubcl 11570 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋𝐾) ∈ ℝ) → (1 − (𝑋𝐾)) ∈ ℝ)
198196, 28, 197sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (𝑋𝐾)) ∈ ℝ)
199198recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (𝑋𝐾)) ∈ ℂ)
20023, 199absmuld 15489 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘0) · (1 − (𝑋𝐾)))) = ((abs‘(𝐹‘0)) · (abs‘(1 − (𝑋𝐾)))))
20113rpge0d 13078 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
20211simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
203202rpred 13074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
204 min1 13227 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 1)
205196, 203, 204sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 1)
2069, 205eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ≤ 1)
207 exple1 14212 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑋𝐾) ≤ 1)
20814, 201, 206, 27, 207syl31anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐾) ≤ 1)
209 subge0 11773 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋𝐾) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (𝑋𝐾)) ↔ (𝑋𝐾) ≤ 1))
210196, 28, 209sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (1 − (𝑋𝐾)) ↔ (𝑋𝐾) ≤ 1))
211208, 210mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 − (𝑋𝐾)))
212198, 211absidd 15457 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(1 − (𝑋𝐾))) = (1 − (𝑋𝐾)))
213212oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (abs‘(1 − (𝑋𝐾)))) = ((abs‘(𝐹‘0)) · (1 − (𝑋𝐾))))
21424recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℂ)
215214, 190, 154subdid 11716 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (1 − (𝑋𝐾))) = (((abs‘(𝐹‘0)) · 1) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))))
216214mulridd 11275 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · 1) = (abs‘(𝐹‘0)))
217216oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) · 1) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) = ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))))
218213, 215, 2173eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (abs‘(1 − (𝑋𝐾)))) = ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))))
219195, 200, 2183eqtrrd 2779 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
220219oveq1d 7445 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) = ((abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
22154, 95, 2203brtr4d 5179 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) ≤ (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
22243abscld 15471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ∈ ℝ)
22331, 222fsumrecl 15766 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ∈ ℝ)
22431, 43fsumabs 15833 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
225 expcl 14116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
22612, 38, 225syl2an2r 685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
22740, 226mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) ∈ ℂ)
228227abscld 15471 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ)
22931, 228fsumrecl 15766 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ)
23014, 35reexpcld 14199 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
231229, 230remulcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) ∈ ℝ)
232230adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
233228, 232remulcld 11288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) ∈ ℝ)
23412adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
23515adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
236234, 235, 38mulexpd 14197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) = ((𝑇𝑘) · (𝑋𝑘)))
237236oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐴𝑘) · ((𝑇𝑘) · (𝑋𝑘))))
23814adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
239238, 38reexpcld 14199 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ)
240239recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
24140, 226, 240mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) · (𝑋𝑘)) = ((𝐴𝑘) · ((𝑇𝑘) · (𝑋𝑘))))
242237, 241eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) · (𝑋𝑘)))
243242fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = (abs‘(((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) · (𝑋𝑘))))
244227, 240absmuld 15489 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘(((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) · (𝑋𝑘))) = ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (abs‘(𝑋𝑘))))
245 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
246 rpexpcl 14117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ+)
24713, 245, 246syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ+)
248247rpge0d 13078 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝑋𝑘))
249239, 248absidd 15457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
250249oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (abs‘(𝑋𝑘))) = ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋𝑘)))
251243, 244, 2503eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋𝑘)))
252227absge0d 15479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))))
25335adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
25436adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
255201adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ 𝑋)
256206adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑋 ≤ 1)
257238, 253, 254, 255, 256leexp2rd 14290 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋𝑘) ≤ (𝑋↑(𝐾 + 1)))
258239, 232, 228, 252, 257lemul2ad 12205 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋𝑘)) ≤ ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
259251, 258eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
26031, 222, 233, 259fsumle 15831 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
261230recnd 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
262228recnd 11286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℂ)
26331, 261, 262fsummulc1 15817 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
264260, 263breqtrrd 5175 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
26515, 27expp1d 14183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) = ((𝑋𝐾) · 𝑋))
266154, 15mulcomd 11279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝐾) · 𝑋) = (𝑋 · (𝑋𝐾)))
267265, 266eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) = (𝑋 · (𝑋𝐾)))
268267oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋 · (𝑋𝐾))))
269229recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℂ)
270269, 15, 154mulassd 11281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) · (𝑋𝐾)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋 · (𝑋𝐾))))
271268, 270eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) = ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) · (𝑋𝐾)))
272229, 14remulcld 11288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) ∈ ℝ)
273 nnssz 12632 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ⊆ ℤ
27461, 273sstri 4004 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ ℤ
27576ne0d 4347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅)
276 infssuzcl 12971 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
27763, 275, 276sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
2786, 277eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
279274, 278sselid 3992 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
28013, 279rpexpcld 14282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐾) ∈ ℝ+)
281 peano2re 11431 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) ∈ ℝ)
282229, 281syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) ∈ ℝ)
283282, 14remulcld 11288 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) · 𝑋) ∈ ℝ)
284229ltp1d 12195 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) < (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
285229, 282, 13, 284ltmul1dd 13129 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) < ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) · 𝑋))
286 min2 13228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 𝑈)
287196, 203, 286sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 𝑈)
2889, 287eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑈)
289288, 8breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1)))
290 0red 11261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29131, 228, 252fsumge0 15827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))))
292290, 229, 282, 291, 284lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
293 lemuldiv2 12146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))) → (((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) · 𝑋) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ↔ 𝑋 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))))
29414, 24, 282, 292, 293syl112anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) · 𝑋) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ↔ 𝑋 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))))
295289, 294mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) · 𝑋) ≤ (abs‘(𝐹‘0)))
296272, 283, 24, 285, 295ltletrd 11418 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) < (abs‘(𝐹‘0)))
297272, 24, 280, 296ltmul1dd 13129 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) · (𝑋𝐾)) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾)))
298271, 297eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾)))
299223, 231, 29, 264, 298lelttrd 11416 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾)))
30045, 223, 29, 224, 299lelttrd 11416 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾)))
30145, 29, 24, 300ltsub2dd 11873 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) < ((abs‘(𝐹‘0)) − (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
30230, 45, 24ltaddsubd 11860 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) < (abs‘(𝐹‘0)) ↔ ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) < ((abs‘(𝐹‘0)) − (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))))
303301, 302mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) < (abs‘(𝐹‘0)))
30420, 46, 24, 221, 303lelttrd 11416 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘0)))
305 2fveq3 6911 . . . 4 (𝑥 = (𝑇 · 𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))))
306305breq1d 5157 . . 3 (𝑥 = (𝑇 · 𝑋) → ((abs‘(𝐹𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘0))))
307306rspcev 3621 . 2 (((𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘0))) → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))
30816, 304, 307syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  {crab 3432  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  infcinf 9478  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  cexp 14098  abscabs 15269  Σcsu 15718  0𝑝c0p 25717  Polycply 26237  coeffccoe 26239  degcdgr 26240  𝑐ccxp 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ply 26241  df-coe 26243  df-dgr 26244  df-log 26612  df-cxp 26613
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