ftalem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem ftalem5 25013

Description: Lemma for fta 25016: Main proof. We have already shifted the minimum found in ftalem3 25011 to zero by a change of variables, and now we show that the minimum value is zero. Expanding in a series about the minimum value, let 𝐾 be the lowest term in the polynomial that is nonzero, and let 𝑇 be a 𝐾-th root of -𝐹(0) / 𝐴(𝐾). Then an evaluation of 𝐹(𝑇𝑋) where 𝑋 is a sufficiently small positive number yields 𝐹(0) for the first term and -𝐹(0) · 𝑋↑𝐾 for the 𝐾-th term, and all higher terms are bounded because 𝑋 is small. Thus, abs(𝐹(𝑇𝑋)) ≤ abs(𝐹(0))(1 − 𝑋↑𝐾) < abs(𝐹(0)), in contradiction to our choice of 𝐹(0) as the minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ftalem.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ftalem4.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
ftalem4.6	⊢ 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
ftalem4.7	⊢ 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))↑_𝑐(1 / 𝐾))
ftalem4.8	⊢ 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1))
ftalem4.9	⊢ 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)

**Assertion**
Ref	Expression
ftalem5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝑥,𝐴 𝑘,𝐾,𝑛 𝑘,𝑁,𝑛,𝑥 𝑘,𝐹,𝑛,𝑥 𝜑,𝑘,𝑥 𝑆,𝑘 𝑇,𝑘,𝑥 𝑥,𝑈 𝑘,𝑋,𝑛,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑛) 𝑆(𝑥,𝑛) 𝑇(𝑛) 𝑈(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑥)

**Proof of Theorem ftalem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftalem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		ftalem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
3		ftalem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		ftalem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		ftalem4.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
6		ftalem4.6	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
7		ftalem4.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))↑_𝑐(1 / 𝐾))
8		ftalem4.8	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1))
9		ftalem4.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ftalem4 25012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝐾) ≠ 0) ∧ (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑋 ∈ ℝ⁺)))
11	10	simprd 485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑋 ∈ ℝ⁺))
12	11	simp1d 1165	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
13	11	simp3d 1167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ⁺)
14	13	rpred 12082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	recnd 10349	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
16	12, 15	mulcld 10341	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ)
17		plyf 24164	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
18	3, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
19	18, 16	ffvelrnd 6578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) ∈ ℂ)
20	19	abscld 14394	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) ∈ ℝ)
21		0cn 10313	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
22		ffvelrn 6575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
23	18, 21, 22	sylancl 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
24	23	abscld 14394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
25	10	simpld 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝐾) ≠ 0))
26	25	simpld 484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 11613	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ₀)
28	14, 27	reexpcld 13244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝐾) ∈ ℝ)
29	24, 28	remulcld 10351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾)) ∈ ℝ)
30	24, 29	resubcld 10739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))) ∈ ℝ)
31		fzfid 12992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
32		peano2nn0 11595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐾 + 1) ∈ ℕ₀)
33	27, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ₀)
34		elfzuz 12557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝐾 + 1)))
35		eluznn0 11972	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
36	33, 34, 35	syl2an 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
37	1	coef3 24198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
38	3, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
39		ffvelrn 6575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ₀⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
40	38, 39	sylan 571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
41	36, 40	syldan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
42	16	adantr 468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ)
43	42, 36	expcld 13227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
44	41, 43	mulcld 10341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
45	31, 44	fsumcl 14683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
46	45	abscld 14394	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ∈ ℝ)
47	30, 46	readdcld 10350	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) ∈ ℝ)
48		fzfid 12992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝐾) ∈ Fin)
49		elfznn0 12652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
50	38, 49, 39	syl2an 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐾)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
51		expcl 13097	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
52	16, 49, 51	syl2an 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐾)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
53	50, 52	mulcld 10341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐾)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
54	48, 53	fsumcl 14683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
55	54, 45	abstrid 14414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) ≤ ((abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
56	1, 2	coeid2 24205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))
57	3, 16, 56	syl2anc 575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))
58	26	nnred 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
59	58	ltp1d 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝐾 + 1))
60		fzdisj 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < (𝐾 + 1) → ((0...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
62		ssrab2 3884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ⊆ ℕ
63		nnuz 11937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
64	62, 63	sseqtri 3834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ_≥‘1)
65	4	nnne0d 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
66	2, 1	dgreq0 24231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0_𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))
67	3, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0_𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))
68		fveq2 6404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 = 0_𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0_𝑝))
69		dgr0 24228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (deg‘0_𝑝) = 0
70	68, 69	syl6eq 2856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 = 0_𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
71	2, 70	syl5eq 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 = 0_𝑝 → 𝑁 = 0)
72	67, 71	syl6bir 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
73	72	necon3d 2999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴‘𝑁) ≠ 0))
74	65, 73	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ≠ 0)
75		fveq2 6404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑁))
76	75	neeq1d 3037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐴‘𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴‘𝑁) ≠ 0))
77	76	elrab 3559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑁) ≠ 0))
78	4, 74, 77	sylanbrc 574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0})
79		infssuzle 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
80	64, 78, 79	sylancr 577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
81	6, 80	syl5eqbr 4879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
82		nn0uz 11936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
83	27, 82	syl6eleq 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0))
84	4	nnzd 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
85		elfz5 12553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
86	83, 84, 85	syl2anc 575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
87	81, 86	mpbird 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
88		fzsplit 12586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
89	87, 88	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((0...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
90		fzfid 12992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
91		elfznn0 12652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
92	38, 91, 39	syl2an 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
93	16, 91, 51	syl2an 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
94	92, 93	mulcld 10341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
95	61, 89, 90, 94	fsumsplit 14690	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
96	57, 95	eqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
97	96	fveq2d 6408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
98	1	coefv0 24214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
99	3, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
100	99	eqcomd 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐹‘0))
101	16	exp0d 13221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝑋)↑0) = 1)
102	100, 101	oveq12d 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) = ((𝐹‘0) · 1))
103	23	mulid1d 10338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) · 1) = (𝐹‘0))
104	102, 103	eqtrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) = (𝐹‘0))
105		1e0p1 11797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (0 + 1)
106	105	oveq1i 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝐾) = ((0 + 1)...𝐾)
107	106	sumeq1i 14647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))
108	26, 63	syl6eleq 2895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1))
109		elfznn 12589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ)
110	109	nnnn0d 11613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
111	38, 110, 39	syl2an 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
112	16, 110, 51	syl2an 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
113	111, 112	mulcld 10341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
114		fveq2 6404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝐾))
115		oveq2 6878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) = ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))
116	114, 115	oveq12d 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐴‘𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)))
117	108, 113, 116	fsumm1 14699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + ((𝐴‘𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))))
118	107, 117	syl5eqr 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + ((𝐴‘𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))))
119		elfznn 12589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
120	119	adantl 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
121	120	nnred 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
122	58	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
123		peano2rem 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
125		elfzle2 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
126	125	adantl 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
127	122	ltm1d 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
128	121, 124, 122, 126, 127	lelttrd 10476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝐾)
129	121, 122	ltnled 10465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑘 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑘))
130	128, 129	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ¬ 𝐾 ≤ 𝑘)
131		infssuzle 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
132	6, 131	syl5eqbr 4879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}) → 𝐾 ≤ 𝑘)
133	64, 132	mpan 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} → 𝐾 ≤ 𝑘)
134	130, 133	nsyl 137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0})
135		fveq2 6404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
136	135	neeq1d 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴‘𝑘) ≠ 0))
137	136	elrab3 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ↔ (𝐴‘𝑘) ≠ 0))
138	120, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ↔ (𝐴‘𝑘) ≠ 0))
139	138	necon2bbid 3021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝐴‘𝑘) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}))
140	134, 139	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
141	140	oveq1d 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (0 · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))
142	119	nnnn0d 11613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
143	16, 142, 51	syl2an 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
144	143	mul02d 10515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (0 · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = 0)
145	141, 144	eqtrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = 0)
146	145	sumeq2dv 14652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))0)
147		fzfi 12991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...(𝐾 − 1)) ∈ Fin
148	147	olci 884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...(𝐾 − 1)) ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ (1...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
149		sumz 14672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...(𝐾 − 1)) ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ (1...(𝐾 − 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))0 = 0)
150	148, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))0 = 0
151	146, 150	syl6eq 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = 0)
152	12, 15, 27	mulexpd 13242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾) = ((𝑇↑𝐾) · (𝑋↑𝐾)))
153	152	oveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)) = ((𝐴‘𝐾) · ((𝑇↑𝐾) · (𝑋↑𝐾))))
154	38, 27	ffvelrnd 6578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ ℂ)
155	12, 27	expcld 13227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝐾) ∈ ℂ)
156	28	recnd 10349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝐾) ∈ ℂ)
157	154, 155, 156	mulassd 10344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐾) · (𝑇↑𝐾)) · (𝑋↑𝐾)) = ((𝐴‘𝐾) · ((𝑇↑𝐾) · (𝑋↑𝐾))))
158	153, 157	eqtr4d 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)) = (((𝐴‘𝐾) · (𝑇↑𝐾)) · (𝑋↑𝐾)))
159	7	oveq1i 6880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇↑𝐾) = ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))↑_𝑐(1 / 𝐾))↑𝐾)
160	58	recnd 10349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
161	26	nnne0d 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
162	160, 161	recid2d 11078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐾) · 𝐾) = 1)
163	162	oveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))↑_𝑐((1 / 𝐾) · 𝐾)) = (-((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))↑_𝑐1))
164	25	simprd 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ≠ 0)
165	23, 154, 164	divcld 11082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾)) ∈ ℂ)
166	165	negcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾)) ∈ ℂ)
167	26	nnrecred 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℝ)
168	167	recnd 10349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℂ)
169	166, 168, 27	cxpmul2d 24665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))↑_𝑐((1 / 𝐾) · 𝐾)) = ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))↑_𝑐(1 / 𝐾))↑𝐾))
170	166	cxp1d 24662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))↑_𝑐1) = -((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾)))
171	163, 169, 170	3eqtr3d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))↑_𝑐(1 / 𝐾))↑𝐾) = -((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾)))
172	159, 171	syl5eq 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝐾) = -((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾)))
173	172	oveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) · (𝑇↑𝐾)) = ((𝐴‘𝐾) · -((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))))
174	154, 165	mulneg2d 10765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) · -((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))) = -((𝐴‘𝐾) · ((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))))
175	23, 154, 164	divcan2d 11084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) · ((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))) = (𝐹‘0))
176	175	negeqd 10556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -((𝐴‘𝐾) · ((𝐹‘0) / (𝐴‘𝐾))) = -(𝐹‘0))
177	173, 174, 176	3eqtrd 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) · (𝑇↑𝐾)) = -(𝐹‘0))
178	177	oveq1d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐾) · (𝑇↑𝐾)) · (𝑋↑𝐾)) = (-(𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾)))
179	23, 156	mulneg1d 10764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-(𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾)) = -((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾)))
180	158, 178, 179	3eqtrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)) = -((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾)))
181	151, 180	oveq12d 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + ((𝐴‘𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))) = (0 + -((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾))))
182	23, 156	mulcld 10341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾)) ∈ ℂ)
183	182	negcld 10660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾)) ∈ ℂ)
184	183	addid2d 10518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 + -((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾))) = -((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾)))
185	118, 181, 184	3eqtrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = -((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾)))
186	104, 185	oveq12d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = ((𝐹‘0) + -((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾))))
187		fveq2 6404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘0))
188		oveq2 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) = ((𝑇 · 𝑋)↑0))
189	187, 188	oveq12d 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)))
190	83, 53, 189	fsum1p 14701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
191	103	oveq1d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘0) · 1) − ((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾))) = ((𝐹‘0) − ((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾))))
192		1cnd 10316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
193	23, 192, 156	subdid 10767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) · (1 − (𝑋↑𝐾))) = (((𝐹‘0) · 1) − ((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾))))
194	23, 182	negsubd 10679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) + -((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾))) = ((𝐹‘0) − ((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾))))
195	191, 193, 194	3eqtr4d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) · (1 − (𝑋↑𝐾))) = ((𝐹‘0) + -((𝐹‘0) · (𝑋↑𝐾))))
196	186, 190, 195	3eqtr4d 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐹‘0) · (1 − (𝑋↑𝐾))))
197	196	fveq2d 6408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = (abs‘((𝐹‘0) · (1 − (𝑋↑𝐾)))))
198		1re 10321	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
199		resubcl 10626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋↑𝐾) ∈ ℝ) → (1 − (𝑋↑𝐾)) ∈ ℝ)
200	198, 28, 199	sylancr 577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝑋↑𝐾)) ∈ ℝ)
201	200	recnd 10349	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝑋↑𝐾)) ∈ ℂ)
202	23, 201	absmuld 14412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘0) · (1 − (𝑋↑𝐾)))) = ((abs‘(𝐹‘0)) · (abs‘(1 − (𝑋↑𝐾)))))
203	13	rpge0d 12086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
204	11	simp2d 1166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
205	204	rpred 12082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
206		min1 12234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 1)
207	198, 205, 206	sylancr 577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 1)
208	9, 207	syl5eqbr 4879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 1)
209		exple1 13139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑𝐾) ≤ 1)
210	14, 203, 208, 27, 209	syl31anc 1485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝐾) ≤ 1)
211		subge0 10822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋↑𝐾) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (𝑋↑𝐾)) ↔ (𝑋↑𝐾) ≤ 1))
212	198, 28, 211	sylancr 577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (1 − (𝑋↑𝐾)) ↔ (𝑋↑𝐾) ≤ 1))
213	210, 212	mpbird 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 − (𝑋↑𝐾)))
214	200, 213	absidd 14380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − (𝑋↑𝐾))) = (1 − (𝑋↑𝐾)))
215	214	oveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (abs‘(1 − (𝑋↑𝐾)))) = ((abs‘(𝐹‘0)) · (1 − (𝑋↑𝐾))))
216	24	recnd 10349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℂ)
217	216, 192, 156	subdid 10767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (1 − (𝑋↑𝐾))) = (((abs‘(𝐹‘0)) · 1) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))))
218	216	mulid1d 10338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · 1) = (abs‘(𝐹‘0)))
219	218	oveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) · 1) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))) = ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))))
220	215, 217, 219	3eqtrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (abs‘(1 − (𝑋↑𝐾)))) = ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))))
221	197, 202, 220	3eqtrrd 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
222	221	oveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) = ((abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
223	55, 97, 222	3brtr4d 4876	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) ≤ (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
224	44	abscld 14394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ∈ ℝ)
225	31, 224	fsumrecl 14684	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ∈ ℝ)
226	31, 44	fsumabs 14751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
227		expcl 13097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑇↑𝑘) ∈ ℂ)
228	12, 227	sylan 571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑇↑𝑘) ∈ ℂ)
229	36, 228	syldan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑇↑𝑘) ∈ ℂ)
230	41, 229	mulcld 10341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘)) ∈ ℂ)
231	230	abscld 14394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) ∈ ℝ)
232	31, 231	fsumrecl 14684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) ∈ ℝ)
233	14, 33	reexpcld 13244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
234	232, 233	remulcld 10351	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) ∈ ℝ)
235	233	adantr 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
236	231, 235	remulcld 10351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) ∈ ℝ)
237	12	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
238	15	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
239	237, 238, 36	mulexpd 13242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) = ((𝑇↑𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
240	239	oveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇↑𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
241	14	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
242	241, 36	reexpcld 13244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℝ)
243	242	recnd 10349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
244	41, 229, 243	mulassd 10344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘)) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇↑𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
245	240, 244	eqtr4d 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘)) · (𝑋↑𝑘)))
246	245	fveq2d 6408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = (abs‘(((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘)) · (𝑋↑𝑘))))
247	230, 243	absmuld 14412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘(((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘)) · (𝑋↑𝑘))) = ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (abs‘(𝑋↑𝑘))))
248		elfzelz 12561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
249		rpexpcl 13098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℝ⁺)
250	13, 248, 249	syl2an 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℝ⁺)
251	250	rpge0d 12086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝑋↑𝑘))
252	242, 251	absidd 14380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝑋↑𝑘)) = (𝑋↑𝑘))
253	252	oveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (abs‘(𝑋↑𝑘))) = ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑𝑘)))
254	246, 247, 253	3eqtrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑𝑘)))
255	230	absge0d 14402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))))
256	33	adantr 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ₀)
257	34	adantl 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝐾 + 1)))
258	203	adantr 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ 𝑋)
259	208	adantr 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑋 ≤ 1)
260	241, 256, 257, 258, 259	leexp2rd 13261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋↑𝑘) ≤ (𝑋↑(𝐾 + 1)))
261	242, 235, 231, 255, 260	lemul2ad 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑𝑘)) ≤ ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
262	254, 261	eqbrtrd 4866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
263	31, 224, 236, 262	fsumle 14749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
264	233	recnd 10349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
265	231	recnd 10349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) ∈ ℂ)
266	31, 264, 265	fsummulc1 14735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
267	263, 266	breqtrrd 4872	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
268	15, 27	expp1d 13228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) = ((𝑋↑𝐾) · 𝑋))
269	156, 15	mulcomd 10342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑𝐾) · 𝑋) = (𝑋 · (𝑋↑𝐾)))
270	268, 269	eqtrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) = (𝑋 · (𝑋↑𝐾)))
271	270	oveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋 · (𝑋↑𝐾))))
272	232	recnd 10349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) ∈ ℂ)
273	272, 15, 156	mulassd 10344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · 𝑋) · (𝑋↑𝐾)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋 · (𝑋↑𝐾))))
274	271, 273	eqtr4d 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) = ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · 𝑋) · (𝑋↑𝐾)))
275	232, 14	remulcld 10351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · 𝑋) ∈ ℝ)
276		nnssz 11659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
277	62, 276	sstri 3807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ⊆ ℤ
278	78	ne0d 4123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ≠ ∅)
279		infssuzcl 11987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0})
280	64, 278, 279	sylancr 577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0})
281	6, 280	syl5eqel 2889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0})
282	277, 281	sseldi 3796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
283	13, 282	rpexpcld 13251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝐾) ∈ ℝ⁺)
284		peano2re 10490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) ∈ ℝ → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1) ∈ ℝ)
285	232, 284	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1) ∈ ℝ)
286	285, 14	remulcld 10351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1) · 𝑋) ∈ ℝ)
287	232	ltp1d 11235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) < (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1))
288	232, 285, 13, 287	ltmul1dd 12137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · 𝑋) < ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1) · 𝑋))
289		min2 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 𝑈)
290	198, 205, 289	sylancr 577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 𝑈)
291	9, 290	syl5eqbr 4879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑈)
292	291, 8	syl6breq 4885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1)))
293		0red 10324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
294	31, 231, 255	fsumge0 14745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))))
295	293, 232, 285, 294, 287	lelttrd 10476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1))
296		lemuldiv2 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1))) → (((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1) · 𝑋) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ↔ 𝑋 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1))))
297	14, 24, 285, 295, 296	syl112anc 1486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1) · 𝑋) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ↔ 𝑋 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1))))
298	292, 297	mpbird 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) + 1) · 𝑋) ≤ (abs‘(𝐹‘0)))
299	275, 286, 24, 288, 298	ltletrd 10478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · 𝑋) < (abs‘(𝐹‘0)))
300	275, 24, 283, 299	ltmul1dd 12137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · 𝑋) · (𝑋↑𝐾)) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾)))
301	274, 300	eqbrtrd 4866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑇↑𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾)))
302	225, 234, 29, 267, 301	lelttrd 10476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾)))
303	46, 225, 29, 226, 302	lelttrd 10476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾)))
304	46, 29, 24, 303	ltsub2dd 10921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))) < ((abs‘(𝐹‘0)) − (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
305	30, 46, 24	ltaddsubd 10908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) < (abs‘(𝐹‘0)) ↔ ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))) < ((abs‘(𝐹‘0)) − (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))))
306	304, 305	mpbird 248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋↑𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) < (abs‘(𝐹‘0)))
307	20, 47, 24, 223, 306	lelttrd 10476	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘0)))
308		2fveq3 6409	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑇 · 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))))
309	308	breq1d 4854	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑇 · 𝑋) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘0))))
310	309	rspcev 3502	. 2 ⊢ (((𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘0))) → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))
311	16, 307, 310	syl2anc 575	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 197 ∧ wa 384 ∨ wo 865 ∧ w3a 1100 = wceq 1637 ∈ wcel 2156 ≠ wne 2978 ∃wrex 3097 {crab 3100 ∪ cun 3767 ∩ cin 3768 ⊆ wss 3769 ∅c0 4116 ifcif 4279 class class class wbr 4844 ⟶wf 6093 ‘cfv 6097 (class class class)co 6870 Fincfn 8188 infcinf 8582 ℂcc 10215 ℝcr 10216 0cc0 10217 1c1 10218 + caddc 10220 · cmul 10222 < clt 10355 ≤ cle 10356 − cmin 10547 -cneg 10548 / cdiv 10965 ℕcn 11301 ℕ₀cn0 11555 ℤcz 11639 ℤ_≥cuz 11900 ℝ⁺crp 12042 ...cfz 12545 ↑cexp 13079 abscabs 14193 Σcsu 14635 0_𝑝c0p 23646 Polycply 24150 coeffccoe 24152 degcdgr 24153 ↑_𝑐ccxp 24512

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1877 ax-4 1894 ax-5 2001 ax-6 2068 ax-7 2104 ax-8 2158 ax-9 2165 ax-10 2185 ax-11 2201 ax-12 2214 ax-13 2420 ax-ext 2784 ax-rep 4964 ax-sep 4975 ax-nul 4983 ax-pow 5035 ax-pr 5096 ax-un 7175 ax-inf2 8781 ax-cnex 10273 ax-resscn 10274 ax-1cn 10275 ax-icn 10276 ax-addcl 10277 ax-addrcl 10278 ax-mulcl 10279 ax-mulrcl 10280 ax-mulcom 10281 ax-addass 10282 ax-mulass 10283 ax-distr 10284 ax-i2m1 10285 ax-1ne0 10286 ax-1rid 10287 ax-rnegex 10288 ax-rrecex 10289 ax-cnre 10290 ax-pre-lttri 10291 ax-pre-lttrn 10292 ax-pre-ltadd 10293 ax-pre-mulgt0 10294 ax-pre-sup 10295 ax-addf 10296 ax-mulf 10297

This theorem depends on definitions: df-bi 198 df-an 385 df-or 866 df-3or 1101 df-3an 1102 df-tru 1641 df-fal 1651 df-ex 1860 df-nf 1864 df-sb 2061 df-eu 2634 df-mo 2635 df-clab 2793 df-cleq 2799 df-clel 2802 df-nfc 2937 df-ne 2979 df-nel 3082 df-ral 3101 df-rex 3102 df-reu 3103 df-rmo 3104 df-rab 3105 df-v 3393 df-sbc 3634 df-csb 3729 df-dif 3772 df-un 3774 df-in 3776 df-ss 3783 df-pss 3785 df-nul 4117 df-if 4280 df-pw 4353 df-sn 4371 df-pr 4373 df-tp 4375 df-op 4377 df-uni 4631 df-int 4670 df-iun 4714 df-iin 4715 df-br 4845 df-opab 4907 df-mpt 4924 df-tr 4947 df-id 5219 df-eprel 5224 df-po 5232 df-so 5233 df-fr 5270 df-se 5271 df-we 5272 df-xp 5317 df-rel 5318 df-cnv 5319 df-co 5320 df-dm 5321 df-rn 5322 df-res 5323 df-ima 5324 df-pred 5893 df-ord 5939 df-on 5940 df-lim 5941 df-suc 5942 df-iota 6060 df-fun 6099 df-fn 6100 df-f 6101 df-f1 6102 df-fo 6103 df-f1o 6104 df-fv 6105 df-isom 6106 df-riota 6831 df-ov 6873 df-oprab 6874 df-mpt2 6875 df-of 7123 df-om 7292 df-1st 7394 df-2nd 7395 df-supp 7526 df-wrecs 7638 df-recs 7700 df-rdg 7738 df-1o 7792 df-2o 7793 df-oadd 7796 df-er 7975 df-map 8090 df-pm 8091 df-ixp 8142 df-en 8189 df-dom 8190 df-sdom 8191 df-fin 8192 df-fsupp 8511 df-fi 8552 df-sup 8583 df-inf 8584 df-oi 8650 df-card 9044 df-cda 9271 df-pnf 10357 df-mnf 10358 df-xr 10359 df-ltxr 10360 df-le 10361 df-sub 10549 df-neg 10550 df-div 10966 df-nn 11302 df-2 11360 df-3 11361 df-4 11362 df-5 11363 df-6 11364 df-7 11365 df-8 11366 df-9 11367 df-n0 11556 df-z 11640 df-dec 11756 df-uz 11901 df-q 12004 df-rp 12043 df-xneg 12158 df-xadd 12159 df-xmul 12160 df-ioo 12393 df-ioc 12394 df-ico 12395 df-icc 12396 df-fz 12546 df-fzo 12686 df-fl 12813 df-mod 12889 df-seq 13021 df-exp 13080 df-fac 13277 df-bc 13306 df-hash 13334 df-shft 14026 df-cj 14058 df-re 14059 df-im 14060 df-sqrt 14194 df-abs 14195 df-limsup 14421 df-clim 14438 df-rlim 14439 df-sum 14636 df-ef 15014 df-sin 15016 df-cos 15017 df-pi 15019 df-struct 16066 df-ndx 16067 df-slot 16068 df-base 16070 df-sets 16071 df-ress 16072 df-plusg 16162 df-mulr 16163 df-starv 16164 df-sca 16165 df-vsca 16166 df-ip 16167 df-tset 16168 df-ple 16169 df-ds 16171 df-unif 16172 df-hom 16173 df-cco 16174 df-rest 16284 df-topn 16285 df-0g 16303 df-gsum 16304 df-topgen 16305 df-pt 16306 df-prds 16309 df-xrs 16363 df-qtop 16368 df-imas 16369 df-xps 16371 df-mre 16447 df-mrc 16448 df-acs 16450 df-mgm 17443 df-sgrp 17485 df-mnd 17496 df-submnd 17537 df-mulg 17742 df-cntz 17947 df-cmn 18392 df-psmet 19942 df-xmet 19943 df-met 19944 df-bl 19945 df-mopn 19946 df-fbas 19947 df-fg 19948 df-cnfld 19951 df-top 20908 df-topon 20925 df-topsp 20947 df-bases 20960 df-cld 21033 df-ntr 21034 df-cls 21035 df-nei 21112 df-lp 21150 df-perf 21151 df-cn 21241 df-cnp 21242 df-haus 21329 df-tx 21575 df-hmeo 21768 df-fil 21859 df-fm 21951 df-flim 21952 df-flf 21953 df-xms 22334 df-ms 22335 df-tms 22336 df-cncf 22890 df-0p 23647 df-limc 23840 df-dv 23841 df-ply 24154 df-coe 24156 df-dgr 24157 df-log 24513 df-cxp 24514

This theorem is referenced by: ftalem6 25014

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