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Theorem ftalem5 26426
Description: Lemma for fta 26429: Main proof. We have already shifted the minimum found in ftalem3 26424 to zero by a change of variables, and now we show that the minimum value is zero. Expanding in a series about the minimum value, let 𝐾 be the lowest term in the polynomial that is nonzero, and let 𝑇 be a 𝐾-th root of -𝐹(0) / 𝐴(𝐾). Then an evaluation of 𝐹(𝑇𝑋) where 𝑋 is a sufficiently small positive number yields 𝐹(0) for the first term and -𝐹(0) · 𝑋𝐾 for the 𝐾-th term, and all higher terms are bounded because 𝑋 is small. Thus, abs(𝐹(𝑇𝑋)) ≤ abs(𝐹(0))(1 − 𝑋𝐾) < abs(𝐹(0)), in contradiction to our choice of 𝐹(0) as the minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem4.5 (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
ftalem4.6 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
ftalem4.7 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))
ftalem4.8 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
ftalem4.9 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
Assertion
Ref Expression
ftalem5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘,𝑥   𝑥,𝑈   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem ftalem5
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . . . . 6 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 ftalem.2 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
3 ftalem.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 ftalem.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 ftalem4.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
6 ftalem4.6 . . . . . 6 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
7 ftalem4.7 . . . . . 6 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))
8 ftalem4.8 . . . . . 6 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
9 ftalem4.9 . . . . . 6 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftalem4 26425 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0) ∧ (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+)))
1110simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+))
1211simp1d 1142 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1311simp3d 1144 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
1413rpred 12957 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1514recnd 11183 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1612, 15mulcld 11175 . 2 (𝜑 → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ)
17 plyf 25559 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
183, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
1918, 16ffvelcdmd 7036 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) ∈ ℂ)
2019abscld 15321 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) ∈ ℝ)
21 0cn 11147 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
22 ffvelcdm 7032 . . . . . . 7 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
2318, 21, 22sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
2423abscld 15321 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
2510simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0))
2625simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 12473 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
2814, 27reexpcld 14068 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐾) ∈ ℝ)
2924, 28remulcld 11185 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾)) ∈ ℝ)
3024, 29resubcld 11583 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) ∈ ℝ)
31 fzfid 13878 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
321coef3 25593 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
333, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
3527, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
36 elfzuz 13437 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
37 eluznn0 12842 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3835, 36, 37syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39 ffvelcdm 7032 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4033, 38, 39syl2an2r 683 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4116adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ)
4241, 38expcld 14051 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
4340, 42mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
4431, 43fsumcl 15618 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
4544abscld 15321 . . . 4 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ∈ ℝ)
4630, 45readdcld 11184 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) ∈ ℝ)
47 fzfid 13878 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝐾) ∈ Fin)
48 elfznn0 13534 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4933, 48, 39syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝐾)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
50 expcl 13985 . . . . . . . 8 (((𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
5116, 48, 50syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝐾)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
5249, 51mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝐾)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
5347, 52fsumcl 15618 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
5453, 44abstrid 15341 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) ≤ ((abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
551, 2coeid2 25600 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))
563, 16, 55syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))
5726nnred 12168 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
5857ltp1d 12085 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 < (𝐾 + 1))
59 fzdisj 13468 . . . . . . . 8 (𝐾 < (𝐾 + 1) → ((0...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
61 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . 12 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ ℕ
62 nnuz 12806 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
6361, 62sseqtri 3980 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1)
64 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑁))
6564neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐴𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑁) ≠ 0))
664nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
672, 1dgreq0 25626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
683, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
69 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
70 dgr0 25623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (deg‘0𝑝) = 0
7169, 70eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
722, 71eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
7368, 72syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
7473necon3d 2964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴𝑁) ≠ 0))
7566, 74mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
7665, 4, 75elrabd 3647 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
77 infssuzle 12856 . . . . . . . . . . 11 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
7863, 76, 77sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
796, 78eqbrtrid 5140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑁)
80 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
8127, 80eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘0))
824nnzd 12526 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
83 elfz5 13433 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
8481, 82, 83syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
8579, 84mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁))
86 fzsplit 13467 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
8785, 86syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
88 fzfid 13878 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
89 elfznn0 13534 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9033, 89, 39syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9116, 89, 50syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
9290, 91mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
9360, 87, 88, 92fsumsplit 15626 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
9456, 93eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝑇 · 𝑋)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
9594fveq2d 6846 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
961coefv0 25609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
973, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
9897eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐹‘0))
9916exp0d 14045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇 · 𝑋)↑0) = 1)
10098, 99oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) = ((𝐹‘0) · 1))
10123mulid1d 11172 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹‘0) · 1) = (𝐹‘0))
102100, 101eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) = (𝐹‘0))
103 1e0p1 12660 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
104103oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝐾) = ((0 + 1)...𝐾)
105104sumeq1i 15583 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))
10626, 62eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘1))
107 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ)
108107nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10933, 108, 39syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
11016, 108, 50syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
111109, 110mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) ∈ ℂ)
112 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐾 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝐾))
113 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) = ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))
114112, 113oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐾 → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)))
115106, 111, 114fsumm1 15636 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))))
116105, 115eqtr3id 2790 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))))
117 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
119118nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
12057adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
121 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
123 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
124123adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
125120ltm1d 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
126119, 122, 120, 124, 125lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝐾)
127119, 120ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑘 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑘))
128126, 127mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ¬ 𝐾𝑘)
129 infssuzle 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
1306, 129eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}) → 𝐾𝑘)
13163, 130mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} → 𝐾𝑘)
132128, 131nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
133 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
134133neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
135134elrab3 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
136118, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
137136necon2bbid 2987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝐴𝑘) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}))
138132, 137mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐴𝑘) = 0)
139138oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (0 · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))
140117nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14116, 140, 50syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) ∈ ℂ)
142141mul02d 11353 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (0 · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = 0)
143139, 142eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = 0)
144143sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))0)
145 fzfi 13877 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(𝐾 − 1)) ∈ Fin
146145olci 864 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...(𝐾 − 1)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
147 sumz 15607 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...(𝐾 − 1)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(𝐾 − 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))0 = 0)
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))0 = 0
149144, 148eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = 0)
15012, 15, 27mulexpd 14066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾) = ((𝑇𝐾) · (𝑋𝐾)))
151150oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)) = ((𝐴𝐾) · ((𝑇𝐾) · (𝑋𝐾))))
15233, 27ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
15312, 27expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇𝐾) ∈ ℂ)
15428recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋𝐾) ∈ ℂ)
155152, 153, 154mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴𝐾) · (𝑇𝐾)) · (𝑋𝐾)) = ((𝐴𝐾) · ((𝑇𝐾) · (𝑋𝐾))))
156151, 155eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)) = (((𝐴𝐾) · (𝑇𝐾)) · (𝑋𝐾)))
1577oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝐾) = ((-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))↑𝐾)
15857recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
15926nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ≠ 0)
160158, 159recid2d 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((1 / 𝐾) · 𝐾) = 1)
161160oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐((1 / 𝐾) · 𝐾)) = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐1))
16225simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴𝐾) ≠ 0)
16323, 152, 162divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
164163negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
16526nnrecred 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℝ)
166165recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℂ)
167164, 166, 27cxpmul2d 26064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐((1 / 𝐾) · 𝐾)) = ((-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))↑𝐾))
168164cxp1d 26061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐1) = -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)))
169161, 167, 1683eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))↑𝐾) = -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)))
170157, 169eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇𝐾) = -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)))
171170oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · (𝑇𝐾)) = ((𝐴𝐾) · -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))))
172152, 163mulneg2d 11609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))) = -((𝐴𝐾) · ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))))
17323, 152, 162divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))) = (𝐹‘0))
174173negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -((𝐴𝐾) · ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))) = -(𝐹‘0))
175171, 172, 1743eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · (𝑇𝐾)) = -(𝐹‘0))
176175oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) · (𝑇𝐾)) · (𝑋𝐾)) = (-(𝐹‘0) · (𝑋𝐾)))
17723, 154mulneg1d 11608 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-(𝐹‘0) · (𝑋𝐾)) = -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)))
178156, 176, 1773eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾)) = -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)))
179149, 178oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) + ((𝐴𝐾) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝐾))) = (0 + -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
18023, 154mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)) ∈ ℂ)
181180negcld 11499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)) ∈ ℂ)
182181addid2d 11356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))) = -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)))
183116, 179, 1823eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾)))
184102, 183oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = ((𝐹‘0) + -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
185 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘0))
186 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) = ((𝑇 · 𝑋)↑0))
187185, 186oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)))
18881, 52, 187fsum1p 15638 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (((𝐴‘0) · ((𝑇 · 𝑋)↑0)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
189101oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹‘0) · 1) − ((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))) = ((𝐹‘0) − ((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
190 1cnd 11150 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19123, 190, 154subdid 11611 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹‘0) · (1 − (𝑋𝐾))) = (((𝐹‘0) · 1) − ((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
19223, 180negsubd 11518 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹‘0) + -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))) = ((𝐹‘0) − ((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
193189, 191, 1923eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹‘0) · (1 − (𝑋𝐾))) = ((𝐹‘0) + -((𝐹‘0) · (𝑋𝐾))))
194184, 188, 1933eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐹‘0) · (1 − (𝑋𝐾))))
195194fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = (abs‘((𝐹‘0) · (1 − (𝑋𝐾)))))
196 1re 11155 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
197 resubcl 11465 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋𝐾) ∈ ℝ) → (1 − (𝑋𝐾)) ∈ ℝ)
198196, 28, 197sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (𝑋𝐾)) ∈ ℝ)
199198recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (𝑋𝐾)) ∈ ℂ)
20023, 199absmuld 15339 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘0) · (1 − (𝑋𝐾)))) = ((abs‘(𝐹‘0)) · (abs‘(1 − (𝑋𝐾)))))
20113rpge0d 12961 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
20211simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
203202rpred 12957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
204 min1 13108 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 1)
205196, 203, 204sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 1)
2069, 205eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ≤ 1)
207 exple1 14081 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑋𝐾) ≤ 1)
20814, 201, 206, 27, 207syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐾) ≤ 1)
209 subge0 11668 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋𝐾) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (𝑋𝐾)) ↔ (𝑋𝐾) ≤ 1))
210196, 28, 209sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (1 − (𝑋𝐾)) ↔ (𝑋𝐾) ≤ 1))
211208, 210mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 − (𝑋𝐾)))
212198, 211absidd 15307 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(1 − (𝑋𝐾))) = (1 − (𝑋𝐾)))
213212oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (abs‘(1 − (𝑋𝐾)))) = ((abs‘(𝐹‘0)) · (1 − (𝑋𝐾))))
21424recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℂ)
215214, 190, 154subdid 11611 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (1 − (𝑋𝐾))) = (((abs‘(𝐹‘0)) · 1) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))))
216214mulid1d 11172 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · 1) = (abs‘(𝐹‘0)))
217216oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) · 1) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) = ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))))
218213, 215, 2173eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) · (abs‘(1 − (𝑋𝐾)))) = ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))))
219195, 200, 2183eqtrrd 2781 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
220219oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) = ((abs‘Σ𝑘 ∈ (0...𝐾)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
22154, 95, 2203brtr4d 5137 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) ≤ (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
22243abscld 15321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ∈ ℝ)
22331, 222fsumrecl 15619 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ∈ ℝ)
22431, 43fsumabs 15686 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))
225 expcl 13985 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
22612, 38, 225syl2an2r 683 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
22740, 226mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) ∈ ℂ)
228227abscld 15321 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ)
22931, 228fsumrecl 15619 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ)
23014, 35reexpcld 14068 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
231229, 230remulcld 11185 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) ∈ ℝ)
232230adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
233228, 232remulcld 11185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) ∈ ℝ)
23412adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
23515adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
236234, 235, 38mulexpd 14066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘) = ((𝑇𝑘) · (𝑋𝑘)))
237236oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = ((𝐴𝑘) · ((𝑇𝑘) · (𝑋𝑘))))
23814adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
239238, 38reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ)
240239recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
24140, 226, 240mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) · (𝑋𝑘)) = ((𝐴𝑘) · ((𝑇𝑘) · (𝑋𝑘))))
242237, 241eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) · (𝑋𝑘)))
243242fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = (abs‘(((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) · (𝑋𝑘))))
244227, 240absmuld 15339 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘(((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) · (𝑋𝑘))) = ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (abs‘(𝑋𝑘))))
245 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
246 rpexpcl 13986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ+)
24713, 245, 246syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ+)
248247rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝑋𝑘))
249239, 248absidd 15307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘(𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
250249oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (abs‘(𝑋𝑘))) = ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋𝑘)))
251243, 244, 2503eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) = ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋𝑘)))
252227absge0d 15329 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))))
25335adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
25436adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
255201adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ 𝑋)
256206adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑋 ≤ 1)
257238, 253, 254, 255, 256leexp2rd 14158 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑋𝑘) ≤ (𝑋↑(𝐾 + 1)))
258239, 232, 228, 252, 257lemul2ad 12095 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋𝑘)) ≤ ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
259251, 258eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ ((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
26031, 222, 233, 259fsumle 15684 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
261230recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
262228recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℂ)
26331, 261, 262fsummulc1 15670 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
264260, 263breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) ≤ (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))))
26515, 27expp1d 14052 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) = ((𝑋𝐾) · 𝑋))
266154, 15mulcomd 11176 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝐾) · 𝑋) = (𝑋 · (𝑋𝐾)))
267265, 266eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑(𝐾 + 1)) = (𝑋 · (𝑋𝐾)))
268267oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋 · (𝑋𝐾))))
269229recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℂ)
270269, 15, 154mulassd 11178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) · (𝑋𝐾)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋 · (𝑋𝐾))))
271268, 270eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) = ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) · (𝑋𝐾)))
272229, 14remulcld 11185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) ∈ ℝ)
273 nnssz 12521 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ⊆ ℤ
27461, 273sstri 3953 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ ℤ
27576ne0d 4295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅)
276 infssuzcl 12857 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
27763, 275, 276sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
2786, 277eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
279274, 278sselid 3942 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
28013, 279rpexpcld 14150 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐾) ∈ ℝ+)
281 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) ∈ ℝ)
282229, 281syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) ∈ ℝ)
283282, 14remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) · 𝑋) ∈ ℝ)
284229ltp1d 12085 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) < (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
285229, 282, 13, 284ltmul1dd 13012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) < ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) · 𝑋))
286 min2 13109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 𝑈)
287196, 203, 286sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ≤ 𝑈)
2889, 287eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑈)
289288, 8breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1)))
290 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29131, 228, 252fsumge0 15680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))))
292290, 229, 282, 291, 284lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
293 lemuldiv2 12036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))) → (((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) · 𝑋) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ↔ 𝑋 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))))
29414, 24, 282, 292, 293syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) · 𝑋) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ↔ 𝑋 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))))
295289, 294mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) · 𝑋) ≤ (abs‘(𝐹‘0)))
296272, 283, 24, 285, 295ltletrd 11315 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) < (abs‘(𝐹‘0)))
297272, 24, 280, 296ltmul1dd 13012 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · 𝑋) · (𝑋𝐾)) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾)))
298271, 297eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) · (𝑋↑(𝐾 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾)))
299223, 231, 29, 264, 298lelttrd 11313 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾)))
30045, 223, 29, 224, 299lelttrd 11313 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))) < ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾)))
30145, 29, 24, 300ltsub2dd 11768 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) < ((abs‘(𝐹‘0)) − (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))))
30230, 45, 24ltaddsubd 11755 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) < (abs‘(𝐹‘0)) ↔ ((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) < ((abs‘(𝐹‘0)) − (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘))))))
303301, 302mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘0)) − ((abs‘(𝐹‘0)) · (𝑋𝐾))) + (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)((𝐴𝑘) · ((𝑇 · 𝑋)↑𝑘)))) < (abs‘(𝐹‘0)))
30420, 46, 24, 221, 303lelttrd 11313 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘0)))
305 2fveq3 6847 . . . 4 (𝑥 = (𝑇 · 𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))))
306305breq1d 5115 . . 3 (𝑥 = (𝑇 · 𝑋) → ((abs‘(𝐹𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘0))))
307306rspcev 3581 . 2 (((𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘(𝑇 · 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘0))) → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))
30816, 304, 307syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  cexp 13967  abscabs 15119  Σcsu 15570  0𝑝c0p 25033  Polycply 25545  coeffccoe 25547  degcdgr 25548  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-log 25912  df-cxp 25913
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