eupth2lem3lem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem eupth2lem3lem4 28595

Description: Lemma for eupth2lem3 28600, formerly part of proof of eupth2lem3 28600: If an edge (not a loop) is added to a trail, the degree of the end vertices of this edge remains odd if it was odd before (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 25-Feb-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
eupth2lem3lem3.e	⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
eupth2lem3lem4.i	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)

**Assertion**
Ref	Expression
eupth2lem3lem4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑈 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝑃(𝑥) 𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥) 𝐼(𝑥) 𝑁(𝑥) 𝑌(𝑥) 𝑍(𝑥)

**Proof of Theorem eupth2lem3lem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
2		trlsegvdeg.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		trlsegvdeg.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		trlsegvdeg.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6		trlsegvdeg.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
7		trlsegvdeg.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8		trlsegvdeg.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
9	4, 5, 6, 7, 2, 8	trlsegvdeglem1 28584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
10	9	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
11	10	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
12		neeq1 3006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
13	12	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
15	14	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
16		eupth2lem3lem4.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
17	16	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
18		trlsegvdeg.iy	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
19	18	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
20		eupth2lem3lem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
22		df-ne 2944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ ¬ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
23		ifpfal 1074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
24	22, 23	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
26		preq1 4669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} = {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))})
27	26	sseq1d 3952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
28	27	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
29	25, 28	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))))
30	21, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
31	30	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
32		trlsegvdeg.vy	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
33	32	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
34	1, 3, 11, 15, 17, 19, 31, 33	1hegrvtxdg1 27874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 1)
35	34	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
36	35	breq2d 5086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
37	36	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
38		trlsegvdeg.vx	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
39		trlsegvdeg.vz	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
40		trlsegvdeg.ix	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
41		trlsegvdeg.iz	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
42	4, 5, 6, 7, 2, 8, 38, 32, 39, 40, 18, 41	eupth2lem3lem1 28592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ₀)
43	42	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
44		2nn 12046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
46		1lt2 12144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
48		ndvdsp1 16120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
49	43, 45, 47, 48	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
50	49	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) → ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
51		1z 12350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
52		n2dvds1 16077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
53		opoe 16072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
54	51, 52, 53	mpanr12 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
55	54	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
56	43, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
57	50, 56	impbid 211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
58		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
59	58	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
60	59	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
61	60	elrab3 3625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
62	2, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
63		eupth2lem3.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
64	63	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
65	57, 62, 64	3bitr2d 307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
66	65	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
67	66	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
68		fvex 6787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃‘𝑁) ∈ V
69	68	eupth2lem2 28583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
70	69	adantll 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
71	37, 67, 70	3bitrd 305	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
72	71	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
73	72	eqcoms 2746	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
74		fvexd 6789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
75	9	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
76	75	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
77	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑉)
78		neeq2 3007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈))
79	78	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈))
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈))
81	80	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈)
82	16	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
83	18	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
84		preq2 4670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), 𝑈})
85	84	sseq1d 3952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
86	85	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
87	25, 86	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))))
88	21, 87	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
89	88	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
90	32	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
91	74, 76, 77, 81, 82, 83, 89, 90	1hegrvtxdg1r 27875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 1)
92	91	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
93	92	breq2d 5086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
94	93	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
95	66	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
96		necom 2997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝑃‘𝑁))
97		fvex 6787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ V
98	97	eupth2lem2 28583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
99	96, 98	sylanb 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
100	99	con1bid 356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
101	100	adantll 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
102	94, 95, 101	3bitrd 305	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
103	102	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
104	103	eqcoms 2746	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
105	73, 104	jaoi 854	. . 3 ⊢ ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
106	105	com12 32	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
107	106	3impia 1116	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 844 if-wif 1060 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 {crab 3068 Vcvv 3432 ⊆ wss 3887 ∅c0 4256 ifcif 4459 𝒫 cpw 4533 {csn 4561 {cpr 4563 ⟨cop 4567 class class class wbr 5074 ↾ cres 5591 “ cima 5592 Fun wfun 6427 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 < clt 11009 ℕcn 11973 2c2 12028 ℤcz 12319 ...cfz 13239 ..^cfzo 13382 ♯chash 14044 ∥ cdvds 15963 Vtxcvtx 27366 iEdgciedg 27367 VtxDegcvtxdg 27832 Trailsctrls 28058

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-ifp 1061 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-oadd 8301 df-er 8498 df-map 8617 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-inf 9202 df-dju 9659 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-xnn0 12306 df-z 12320 df-uz 12583 df-rp 12731 df-xadd 12849 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-word 14218 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-dvds 15964 df-vtxdg 27833 df-wlks 27966 df-trls 28060

This theorem is referenced by: eupth2lem3lem7 28598

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