MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3lem4 29178
Description: Lemma for eupth2lem3 29183, formerly part of proof of eupth2lem3 29183: If an edge (not a loop) is added to a trail, the degree of the end vertices of this edge remains odd if it was odd before (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 25-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
trlsegvdeg.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
trlsegvdeg.vx (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
trlsegvdeg.iz (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
eupth2lem3lem3.e (πœ‘ β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
eupth2lem3lem4.i (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ 𝒫 𝑉)
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3lem4 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem eupth2lem3lem4
StepHypRef Expression
1 fvexd 6858 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ V)
2 trlsegvdeg.u . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 trlsegvdeg.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
5 trlsegvdeg.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
6 trlsegvdeg.f . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
7 trlsegvdeg.n . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
8 trlsegvdeg.w . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
94, 5, 6, 7, 2, 8trlsegvdeglem1 29167 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
109simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
12 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
1312biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
1514imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
16 eupth2lem3lem4.i . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ 𝒫 𝑉)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ 𝒫 𝑉)
18 trlsegvdeg.iy . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
20 eupth2lem3lem3.e . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
22 df-ne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
23 ifpfal 1076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
2422, 23sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
2524adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
26 preq1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} = {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
2726sseq1d 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ↔ {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
2827biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ({(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
2925, 28syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))))
3021, 29mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
3130imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
32 trlsegvdeg.vy . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
341, 3, 11, 15, 17, 19, 31, 331hegrvtxdg1 28458 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ) = 1)
3534oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) = (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1))
3635breq2d 5118 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
3736notbid 318 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
38 trlsegvdeg.vx . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
39 trlsegvdeg.vz . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
40 trlsegvdeg.ix . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
41 trlsegvdeg.iz . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
424, 5, 6, 7, 2, 8, 38, 32, 39, 40, 18, 41eupth2lem3lem1 29175 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
4342nn0zd 12526 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„€)
44 2nn 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
46 1lt2 12325 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
48 ndvdsp1 16294 . . . . . . . . . . . . 13 ((((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„• ∧ 1 < 2) β†’ (2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
4943, 45, 47, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
5049con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
51 1z 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„€
52 n2dvds1 16251 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 2 βˆ₯ 1
53 opoe 16246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„€ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)) ∧ (1 ∈ β„€ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 1)) β†’ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1))
5451, 52, 53mpanr12 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„€ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)) β†’ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1))
5554ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) β†’ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
5643, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) β†’ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
5750, 56impbid 211 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
58 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯) = ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ))
5958breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯) ↔ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
6059notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
6160elrab3 3647 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
622, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
63 eupth2lem3.o . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
6463eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
6557, 62, 643bitr2d 307 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
6665notbid 318 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) ↔ Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
6766ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) ↔ Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
68 fvex 6856 . . . . . . . . 9 (π‘ƒβ€˜π‘) ∈ V
6968eupth2lem2 29166 . . . . . . . 8 (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
7069adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
7137, 67, 703bitrd 305 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
7271expcom 415 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
7372eqcoms 2745 . . . 4 (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
74 fvexd 6858 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ V)
759simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) ∈ 𝑉)
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) ∈ 𝑉)
772ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
78 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  π‘ˆ))
7978biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  π‘ˆ))
8079adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  π‘ˆ))
8180imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  π‘ˆ)
8216ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ 𝒫 𝑉)
8318ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
84 preq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ})
8584sseq1d 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
8685biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ({(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
8725, 86syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))))
8821, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
8988imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
9032ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
9174, 76, 77, 81, 82, 83, 89, 901hegrvtxdg1r 28459 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ) = 1)
9291oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) = (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1))
9392breq2d 5118 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
9493notbid 318 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
9566ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) ↔ Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
96 necom 2998 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘))
97 fvex 6856 . . . . . . . . . . 11 (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ V
9897eupth2lem2 29166 . . . . . . . . . 10 (((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
9996, 98sylanb 582 . . . . . . . . 9 (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
10099con1bid 356 . . . . . . . 8 (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
101100adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
10294, 95, 1013bitrd 305 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
103102expcom 415 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
104103eqcoms 2745 . . . 4 (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
10573, 104jaoi 856 . . 3 ((π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
106105com12 32 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
1071063impia 1118 1 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846  if-wif 1062   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3408  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  π’« cpw 4561  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190  β„•cn 12154  2c2 12209  β„€cz 12500  ...cfz 13425  ..^cfzo 13568  β™―chash 14231   βˆ₯ cdvds 16137  Vtxcvtx 27950  iEdgciedg 27951  VtxDegcvtxdg 28416  Trailsctrls 28641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-word 14404  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-vtxdg 28417  df-wlks 28550  df-trls 28643
This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem7  29181
  Copyright terms: Public domain W3C validator