eupth2lem3lem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem eupth2lem3lem4 30097

Description: Lemma for eupth2lem3 30102, formerly part of proof of eupth2lem3 30102: If an edge (not a loop) is added to a trail, the degree of the end vertices of this edge remains odd if it was odd before (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 25-Feb-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
eupth2lem3lem3.e	⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
eupth2lem3lem4.i	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)

**Assertion**
Ref	Expression
eupth2lem3lem4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑈 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝑃(𝑥) 𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥) 𝐼(𝑥) 𝑁(𝑥) 𝑌(𝑥) 𝑍(𝑥)

**Proof of Theorem eupth2lem3lem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
2		trlsegvdeg.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		trlsegvdeg.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		trlsegvdeg.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6		trlsegvdeg.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
7		trlsegvdeg.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8		trlsegvdeg.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
9	4, 5, 6, 7, 2, 8	trlsegvdeglem1 30086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
10	9	simprd 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
11	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
12		neeq1 2993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
13	12	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
14	13	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
15	14	imp 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
16		eupth2lem3lem4.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
17	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
18		trlsegvdeg.iy	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
20		eupth2lem3lem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
21	20	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
22		df-ne 2931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ ¬ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
23		ifpfal 1073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
24	22, 23	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
25	24	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
26		preq1 4738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} = {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))})
27	26	sseq1d 4009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
28	27	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
29	25, 28	biimtrdi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))))
30	21, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
31	30	imp 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
32		trlsegvdeg.vy	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
33	32	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
34	1, 3, 11, 15, 17, 19, 31, 33	1hegrvtxdg1 29377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 1)
35	34	oveq2d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
36	35	breq2d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
37	36	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
38		trlsegvdeg.vx	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
39		trlsegvdeg.vz	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
40		trlsegvdeg.ix	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
41		trlsegvdeg.iz	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
42	4, 5, 6, 7, 2, 8, 38, 32, 39, 40, 18, 41	eupth2lem3lem1 30094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ₀)
43	42	nn0zd 12614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
44		2nn 12315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
46		1lt2 12413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
48		ndvdsp1 16387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
49	43, 45, 47, 48	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
50	49	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) → ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
51		1z 12622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
52		n2dvds1 16344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
53		opoe 16339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
54	51, 52, 53	mpanr12 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
55	54	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
56	43, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
57	50, 56	impbid 211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
58		fveq2 6894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
59	58	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
60	59	notbid 317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
61	60	elrab3 3681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
62	2, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
63		eupth2lem3.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
64	63	eleq2d 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
65	57, 62, 64	3bitr2d 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
66	65	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
67	66	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
68		fvex 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃‘𝑁) ∈ V
69	68	eupth2lem2 30085	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
70	69	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
71	37, 67, 70	3bitrd 304	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
72	71	expcom 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
73	72	eqcoms 2733	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
74		fvexd 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
75	9	simpld 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
76	75	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
77	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑉)
78		neeq2 2994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈))
79	78	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈))
80	79	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈))
81	80	imp 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈)
82	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
83	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
84		preq2 4739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), 𝑈})
85	84	sseq1d 4009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
86	85	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
87	25, 86	biimtrdi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))))
88	21, 87	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
89	88	imp 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
90	32	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
91	74, 76, 77, 81, 82, 83, 89, 90	1hegrvtxdg1r 29378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 1)
92	91	oveq2d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
93	92	breq2d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
94	93	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
95	66	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
96		necom 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝑃‘𝑁))
97		fvex 6907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ V
98	97	eupth2lem2 30085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
99	96, 98	sylanb 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
100	99	con1bid 354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
101	100	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
102	94, 95, 101	3bitrd 304	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
103	102	expcom 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
104	103	eqcoms 2733	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
105	73, 104	jaoi 855	. . 3 ⊢ ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
106	105	com12 32	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
107	106	3impia 1114	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∨ wo 845 if-wif 1060 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2930 {crab 3419 Vcvv 3463 ⊆ wss 3945 ∅c0 4323 ifcif 4529 𝒫 cpw 4603 {csn 4629 {cpr 4631 ⟨cop 4635 class class class wbr 5148 ↾ cres 5679 “ cima 5680 Fun wfun 6541 ‘cfv 6547 (class class class)co 7417 0cc0 11138 1c1 11139 + caddc 11141 < clt 11278 ℕcn 12242 2c2 12297 ℤcz 12588 ...cfz 13516 ..^cfzo 13659 ♯chash 14321 ∥ cdvds 16230 Vtxcvtx 28865 iEdgciedg 28866 VtxDegcvtxdg 29335 Trailsctrls 29560

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7739 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-ifp 1061 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3775 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3965 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6499 df-fun 6549 df-fn 6550 df-f 6551 df-f1 6552 df-fo 6553 df-f1o 6554 df-fv 6555 df-riota 7373 df-ov 7420 df-oprab 7421 df-mpo 7422 df-om 7870 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-oadd 8489 df-er 8723 df-map 8845 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-fin 8966 df-sup 9465 df-inf 9466 df-dju 9924 df-card 9962 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-n0 12503 df-xnn0 12575 df-z 12589 df-uz 12853 df-rp 13007 df-xadd 13125 df-fz 13517 df-fzo 13660 df-seq 13999 df-exp 14059 df-hash 14322 df-word 14497 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 df-sqrt 15214 df-abs 15215 df-dvds 16231 df-vtxdg 29336 df-wlks 29469 df-trls 29562

This theorem is referenced by: eupth2lem3lem7 30100

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