MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3lem4 30028
Description: Lemma for eupth2lem3 30033, formerly part of proof of eupth2lem3 30033: If an edge (not a loop) is added to a trail, the degree of the end vertices of this edge remains odd if it was odd before (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 25-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
trlsegvdeg.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
trlsegvdeg.vx (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
trlsegvdeg.iz (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
eupth2lem3lem3.e (πœ‘ β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
eupth2lem3lem4.i (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ 𝒫 𝑉)
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3lem4 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem eupth2lem3lem4
StepHypRef Expression
1 fvexd 6906 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ V)
2 trlsegvdeg.u . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 trlsegvdeg.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
5 trlsegvdeg.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
6 trlsegvdeg.f . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
7 trlsegvdeg.n . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
8 trlsegvdeg.w . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
94, 5, 6, 7, 2, 8trlsegvdeglem1 30017 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
109simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
12 neeq1 2998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
1312biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
1514imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
16 eupth2lem3lem4.i . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ 𝒫 𝑉)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ 𝒫 𝑉)
18 trlsegvdeg.iy . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
20 eupth2lem3lem3.e . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
22 df-ne 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
23 ifpfal 1074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
2422, 23sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
26 preq1 4733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} = {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
2726sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ↔ {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
2827biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ({(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
2925, 28biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))))
3021, 29mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
3130imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ {π‘ˆ, (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
32 trlsegvdeg.vy . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
341, 3, 11, 15, 17, 19, 31, 331hegrvtxdg1 29308 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ) = 1)
3534oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) = (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1))
3635breq2d 5154 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
3736notbid 318 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
38 trlsegvdeg.vx . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
39 trlsegvdeg.vz . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
40 trlsegvdeg.ix . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
41 trlsegvdeg.iz . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
424, 5, 6, 7, 2, 8, 38, 32, 39, 40, 18, 41eupth2lem3lem1 30025 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
4342nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„€)
44 2nn 12307 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
46 1lt2 12405 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
48 ndvdsp1 16379 . . . . . . . . . . . . 13 ((((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„• ∧ 1 < 2) β†’ (2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
4943, 45, 47, 48syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
5049con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
51 1z 12614 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„€
52 n2dvds1 16336 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 2 βˆ₯ 1
53 opoe 16331 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„€ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)) ∧ (1 ∈ β„€ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 1)) β†’ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1))
5451, 52, 53mpanr12 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„€ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)) β†’ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1))
5554ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) β†’ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
5643, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) β†’ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
5750, 56impbid 211 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
58 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯) = ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ))
5958breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯) ↔ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
6059notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
6160elrab3 3681 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
622, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
63 eupth2lem3.o . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
6463eleq2d 2814 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
6557, 62, 643bitr2d 307 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
6665notbid 318 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) ↔ Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
6766ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) ↔ Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
68 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (π‘ƒβ€˜π‘) ∈ V
6968eupth2lem2 30016 . . . . . . . 8 (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
7069adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
7137, 67, 703bitrd 305 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
7271expcom 413 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜π‘) = π‘ˆ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
7372eqcoms 2735 . . . 4 (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
74 fvexd 6906 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ V)
759simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) ∈ 𝑉)
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) ∈ 𝑉)
772ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
78 neeq2 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  π‘ˆ))
7978biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  π‘ˆ))
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  π‘ˆ))
8180imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  π‘ˆ)
8216ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ 𝒫 𝑉)
8318ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
84 preq2 4734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ})
8584sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
8685biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ({(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
8725, 86biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))))
8821, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
8988imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), π‘ˆ} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
9032ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
9174, 76, 77, 81, 82, 83, 89, 901hegrvtxdg1r 29309 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ) = 1)
9291oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) = (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1))
9392breq2d 5154 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
9493notbid 318 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1)))
9566ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 1) ↔ Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
96 necom 2989 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘))
97 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ V
9897eupth2lem2 30016 . . . . . . . . . 10 (((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
9996, 98sylanb 580 . . . . . . . . 9 (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
10099con1bid 355 . . . . . . . 8 (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
101100adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
10294, 95, 1013bitrd 305 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
103102expcom 413 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) = π‘ˆ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
104103eqcoms 2735 . . . 4 (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
10573, 104jaoi 856 . . 3 ((π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
106105com12 32 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
1071063impia 1115 1 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846  if-wif 1061   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  {crab 3427  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  π’« cpw 4598  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270  β„•cn 12234  2c2 12289  β„€cz 12580  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313   βˆ₯ cdvds 16222  Vtxcvtx 28796  iEdgciedg 28797  VtxDegcvtxdg 29266  Trailsctrls 29491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-xadd 13117  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-word 14489  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-vtxdg 29267  df-wlks 29400  df-trls 29493
This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem7  30031
  Copyright terms: Public domain W3C validator