Proof of Theorem eupth2lem3lem4
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fvexd 6789 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝐹‘𝑁) ∈ V) |
2 | | trlsegvdeg.u |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉) |
3 | 2 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑉) |
4 | | trlsegvdeg.v |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺) |
5 | | trlsegvdeg.i |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺) |
6 | | trlsegvdeg.f |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → Fun 𝐼) |
7 | | trlsegvdeg.n |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) |
8 | | trlsegvdeg.w |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) |
9 | 4, 5, 6, 7, 2, 8 | trlsegvdeglem1 28584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)) |
10 | 9 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉) |
11 | 10 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉) |
12 | | neeq1 3006 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) |
13 | 12 | biimpcd 248 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) |
14 | 13 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) |
15 | 14 | imp 407 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) |
16 | | eupth2lem3lem4.i |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉) |
17 | 16 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉) |
18 | | trlsegvdeg.iy |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {〈(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))〉}) |
19 | 18 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (iEdg‘𝑌) = {〈(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))〉}) |
20 | | eupth2lem3lem3.e |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
21 | 20 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
22 | | df-ne 2944 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ ¬ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) |
23 | | ifpfal 1074 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (¬
(𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
24 | 22, 23 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
25 | 24 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
26 | | preq1 4669 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} = {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))}) |
27 | 26 | sseq1d 3952 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
28 | 27 | biimpcd 248 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
29 | 25, 28 | syl6bi 252 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))) |
30 | 21, 29 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
31 | 30 | imp 407 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) |
32 | | trlsegvdeg.vy |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉) |
33 | 32 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉) |
34 | 1, 3, 11, 15, 17, 19, 31, 33 | 1hegrvtxdg1 27874 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 1) |
35 | 34 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)) |
36 | 35 | breq2d 5086 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))) |
37 | 36 | notbid 318 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))) |
38 | | trlsegvdeg.vx |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉) |
39 | | trlsegvdeg.vz |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉) |
40 | | trlsegvdeg.ix |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))) |
41 | | trlsegvdeg.iz |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁)))) |
42 | 4, 5, 6, 7, 2, 8, 38, 32, 39, 40, 18, 41 | eupth2lem3lem1 28592 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈
ℕ0) |
43 | 42 | nn0zd 12424 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ) |
44 | | 2nn 12046 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 2 ∈
ℕ |
45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℕ) |
46 | | 1lt2 12144 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 <
2 |
47 | 46 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 1 < 2) |
48 | | ndvdsp1 16120 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ
∧ 1 < 2) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → ¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))) |
49 | 43, 45, 47, 48 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → ¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))) |
50 | 49 | con2d 134 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) → ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
51 | | 1z 12350 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℤ |
52 | | n2dvds1 16077 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ¬ 2
∥ 1 |
53 | | opoe 16072 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2
∥ 1)) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)) |
54 | 51, 52, 53 | mpanr12 702 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)) |
55 | 54 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))) |
56 | 43, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))) |
57 | 50, 56 | impbid 211 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
58 | | fveq2 6774 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) |
59 | 58 | breq2d 5086 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
60 | 59 | notbid 318 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
61 | 60 | elrab3 3625 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
62 | 2, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
63 | | eupth2lem3.o |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})) |
64 | 63 | eleq2d 2824 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))) |
65 | 57, 62, 64 | 3bitr2d 307 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))) |
66 | 65 | notbid 318 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))) |
67 | 66 | ad2antrr 723 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))) |
68 | | fvex 6787 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑃‘𝑁) ∈ V |
69 | 68 | eupth2lem2 28583 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))) |
70 | 69 | adantll 711 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))) |
71 | 37, 67, 70 | 3bitrd 305 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))) |
72 | 71 | expcom 414 |
. . . . 5
⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))) |
73 | 72 | eqcoms 2746 |
. . . 4
⊢ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))) |
74 | | fvexd 6789 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝐹‘𝑁) ∈ V) |
75 | 9 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉) |
76 | 75 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉) |
77 | 2 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑉) |
78 | | neeq2 3007 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈)) |
79 | 78 | biimpcd 248 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈)) |
80 | 79 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈)) |
81 | 80 | imp 407 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈) |
82 | 16 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉) |
83 | 18 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (iEdg‘𝑌) = {〈(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))〉}) |
84 | | preq2 4670 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), 𝑈}) |
85 | 84 | sseq1d 3952 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
86 | 85 | biimpcd 248 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
87 | 25, 86 | syl6bi 252 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))) |
88 | 21, 87 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
89 | 88 | imp 407 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) |
90 | 32 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉) |
91 | 74, 76, 77, 81, 82, 83, 89, 90 | 1hegrvtxdg1r 27875 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 1) |
92 | 91 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)) |
93 | 92 | breq2d 5086 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))) |
94 | 93 | notbid 318 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))) |
95 | 66 | ad2antrr 723 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))) |
96 | | necom 2997 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝑃‘𝑁)) |
97 | | fvex 6787 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ V |
98 | 97 | eupth2lem2 28583 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))) |
99 | 96, 98 | sylanb 581 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))) |
100 | 99 | con1bid 356 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))) |
101 | 100 | adantll 711 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))) |
102 | 94, 95, 101 | 3bitrd 305 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))) |
103 | 102 | expcom 414 |
. . . . 5
⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))) |
104 | 103 | eqcoms 2746 |
. . . 4
⊢ (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))) |
105 | 73, 104 | jaoi 854 |
. . 3
⊢ ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))) |
106 | 105 | com12 32 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))) |
107 | 106 | 3impia 1116 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))) |