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Theorem eupth2lem3lem4 29175
Description: Lemma for eupth2lem3 29180, formerly part of proof of eupth2lem3 29180: If an edge (not a loop) is added to a trail, the degree of the end vertices of this edge remains odd if it was odd before (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 25-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u (𝜑𝑈𝑉)
trlsegvdeg.w (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
eupth2lem3lem3.e (𝜑 → if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
eupth2lem3lem4.i (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3lem4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3lem4
StepHypRef Expression
1 fvexd 6857 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (𝐹𝑁) ∈ V)
2 trlsegvdeg.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝑉)
32ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → 𝑈𝑉)
4 trlsegvdeg.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 trlsegvdeg.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6 trlsegvdeg.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Fun 𝐼)
7 trlsegvdeg.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8 trlsegvdeg.w . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
94, 5, 6, 7, 2, 8trlsegvdeglem1 29164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
109simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
12 neeq1 3006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃𝑁) = 𝑈 → ((𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
1312biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃𝑁) = 𝑈𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃𝑁) = 𝑈𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
1514imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
16 eupth2lem3lem4.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (𝐼‘(𝐹𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
18 trlsegvdeg.iy . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
20 eupth2lem3lem3.e . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
22 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ ¬ (𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
23 ifpfal 1075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))) ↔ {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
2422, 23sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))) ↔ {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))) ↔ {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
26 preq1 4694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑁) = 𝑈 → {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} = {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))})
2726sseq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑁) = 𝑈 → ({(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)) ↔ {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
2827biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ({(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)) → ((𝑃𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
2925, 28syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))) → ((𝑃𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)))))
3021, 29mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
3130imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)))
32 trlsegvdeg.vy . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
341, 3, 11, 15, 17, 19, 31, 331hegrvtxdg1 28455 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 1)
3534oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
3635breq2d 5117 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
3736notbid 317 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
38 trlsegvdeg.vx . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
39 trlsegvdeg.vz . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
40 trlsegvdeg.ix . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
41 trlsegvdeg.iz . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
424, 5, 6, 7, 2, 8, 38, 32, 39, 40, 18, 41eupth2lem3lem1 29172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ0)
4342nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
44 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
46 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < 2)
48 ndvdsp1 16293 . . . . . . . . . . . . 13 ((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
4943, 45, 47, 48syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
5049con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) → ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
51 1z 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
52 n2dvds1 16250 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 2 ∥ 1
53 opoe 16245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
5451, 52, 53mpanr12 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
5554ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
5643, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
5750, 56impbid 211 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
58 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
5958breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
6059notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
6160elrab3 3646 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
622, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
63 eupth2lem3.o . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
6463eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)})))
6557, 62, 643bitr2d 306 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)})))
6665notbid 317 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)})))
6766ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)})))
68 fvex 6855 . . . . . . . . 9 (𝑃𝑁) ∈ V
6968eupth2lem2 29163 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
7069adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
7137, 67, 703bitrd 304 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
7271expcom 414 . . . . 5 ((𝑃𝑁) = 𝑈 → ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
7372eqcoms 2744 . . . 4 (𝑈 = (𝑃𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
74 fvexd 6857 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝐹𝑁) ∈ V)
759simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ 𝑉)
7675ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃𝑁) ∈ 𝑉)
772ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → 𝑈𝑉)
78 neeq2 3007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ((𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃𝑁) ≠ 𝑈))
7978biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → (𝑃𝑁) ≠ 𝑈))
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → (𝑃𝑁) ≠ 𝑈))
8180imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃𝑁) ≠ 𝑈)
8216ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝐼‘(𝐹𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
8318ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
84 preq2 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃𝑁), 𝑈})
8584sseq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ({(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)) ↔ {(𝑃𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
8685biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ({(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
8725, 86syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)))))
8821, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
8988imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → {(𝑃𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)))
9032ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
9174, 76, 77, 81, 82, 83, 89, 901hegrvtxdg1r 28456 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 1)
9291oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
9392breq2d 5117 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
9493notbid 317 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
9566ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)})))
96 necom 2997 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝑃𝑁))
97 fvex 6855 . . . . . . . . . . 11 (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ V
9897eupth2lem2 29163 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝑃𝑁) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)})))
9996, 98sylanb 581 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)})))
10099con1bid 355 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
101100adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
10294, 95, 1013bitrd 304 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
103102expcom 414 . . . . 5 ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
104103eqcoms 2744 . . . 4 (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
10573, 104jaoi 855 . . 3 ((𝑈 = (𝑃𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
106105com12 32 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑈 = (𝑃𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
1071063impia 1117 1 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  if-wif 1061  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  {cpr 4588  cop 4592   class class class wbr 5105  cres 5635  cima 5636  Fun wfun 6490  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  chash 14230  cdvds 16136  Vtxcvtx 27947  iEdgciedg 27948  VtxDegcvtxdg 28413  Trailsctrls 28638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-vtxdg 28414  df-wlks 28547  df-trls 28640
This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem7  29178
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