MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  israg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem israg 28573
Description: Property for 3 points A, B, C to form a right angle. Definition 8.1 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
Assertion
Ref Expression
israg (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))

Proof of Theorem israg
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
2 israg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
3 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
41, 2, 3s3cld 14859 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5 fveqeq2 6905 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((♯‘𝑤) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
6 fveq1 6895 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
7 fveq1 6895 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
86, 7oveq12d 7437 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
9 fveq1 6895 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
109fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑆‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
1110, 7fveq12d 6903 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
126, 11oveq12d 7437 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
138, 12eqeq12d 2741 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
145, 13anbi12d 630 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
1514elrab3 3680 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
164, 15syl 17 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
17 df-rag 28570 . . . 4 ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
18 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → 𝑔 = 𝐺)
1918fveq2d 6900 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
20 israg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2119, 20eqtr4di 2783 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = 𝑃)
22 wrdeq 14522 . . . . . 6 ((Base‘𝑔) = 𝑃 → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
2418fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = (dist‘𝐺))
25 israg.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
2624, 25eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = )
2726oveqd 7436 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) (𝑤‘2)))
28 eqidd 2726 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (𝑤‘0) = (𝑤‘0))
2918fveq2d 6900 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
30 israg.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
3129, 30eqtr4di 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
3231fveq1d 6898 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(𝑤‘1)))
3332fveq1d 6898 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))
3426, 28, 33oveq123d 7440 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))
3527, 34eqeq12d 2741 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))))
3635anbi2d 628 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))))
3723, 36rabeqbidv 3436 . . . 4 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
38 israg.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
3938elexd 3483 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ V)
4020fvexi 6910 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
4140wrdexi 14512 . . . . . 6 Word 𝑃 ∈ V
4241rabex 5335 . . . . 5 {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V)
4417, 37, 39, 43fvmptd2 7012 . . 3 (𝜑 → (∟G‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
4544eleq2d 2811 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
46 s3fv0 14878 . . . . . . 7 (𝐴𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
471, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
4847eqcomd 2731 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
49 s3fv2 14880 . . . . . . 7 (𝐶𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
503, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
5150eqcomd 2731 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
5248, 51oveq12d 7437 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
53 s3fv1 14879 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
542, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
5554eqcomd 2731 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
5655fveq2d 6900 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
5756, 51fveq12d 6903 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐶) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
5848, 57oveq12d 7437 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
5952, 58eqeq12d 2741 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
60 s3len 14881 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
6160a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
6261biantrurd 531 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
6359, 62bitrd 278 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
6416, 45, 633bitr4d 310 1 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141  2c2 12300  3c3 12301  chash 14325  Word cword 14500  ⟨“cs3 14829  Basecbs 17183  distcds 17245  TarskiGcstrkg 28303  Itvcitv 28309  LineGclng 28310  pInvGcmir 28528  ∟Gcrag 28569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835  df-s3 14836  df-rag 28570
This theorem is referenced by:  ragcom  28574  ragcol  28575  ragmir  28576  mirrag  28577  ragtrivb  28578  ragflat2  28579  ragflat  28580  ragcgr  28583  footexALT  28594  footexlem1  28595  footexlem2  28596  colperpexlem1  28606  colperpexlem3  28608  mideulem2  28610  opphllem  28611  lmiisolem  28672  hypcgrlem1  28675  hypcgrlem2  28676  trgcopyeulem  28681
  Copyright terms: Public domain W3C validator