Theorem israg 28676

Description: Property for 3 points A, B, C to form a right angle. Definition 8.1 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
israg	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))

Proof of Theorem israg

Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
4	1, 2, 3	s3cld 14781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5		fveqeq2 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((♯‘𝑤) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
6		fveq1 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
7		fveq1 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
8	6, 7	oveq12d 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
9		fveq1 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
10	9	fveq2d 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑆‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
11	10, 7	fveq12d 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
12	6, 11	oveq12d 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
13	8, 12	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
14	5, 13	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
15	14	elrab3 3644	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
16	4, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
17		df-rag 28673	. . . 4 ⊢ ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → 𝑔 = 𝐺)
19	18	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
20		israg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
21	19, 20	eqtr4di 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = 𝑃)
22		wrdeq 14445	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑔) = 𝑃 → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
24	18	fveq2d 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = (dist‘𝐺))
25		israg.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
26	24, 25	eqtr4di 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = − )
27	26	oveqd 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)))
28		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑤‘0) = (𝑤‘0))
29	18	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
30		israg.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
31	29, 30	eqtr4di 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
32	31	fveq1d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(𝑤‘1)))
33	32	fveq1d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))
34	26, 28, 33	oveq123d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))
35	27, 34	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))))
36	35	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))))
37	23, 36	rabeqbidv 3414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
38		israg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	38	elexd 3461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
40	20	fvexi 6842	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
41	40	wrdexi 14435	. . . . . 6 ⊢ Word 𝑃 ∈ V
42	41	rabex 5279	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V)
44	17, 37, 39, 43	fvmptd2 6943	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∟G‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
45	44	eleq2d 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
46		s3fv0 14800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
47	1, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
48	47	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
49		s3fv2 14802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
50	3, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
51	50	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
52	48, 51	oveq12d 7370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
53		s3fv1 14801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
54	2, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
55	54	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
56	55	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
57	56, 51	fveq12d 6835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
58	48, 57	oveq12d 7370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
59	52, 58	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
60		s3len 14803	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
62	61	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
63	59, 62	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
64	16, 45, 63	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014  2c2 12187  3c3 12188  ♯chash 14239  Word cword 14422  ⟨“cs3 14751  Basecbs 17122  distcds 17172  TarskiGcstrkg 28406  Itvcitv 28412  LineGclng 28413  pInvGcmir 28631  ∟Gcrag 28672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-s1 14506  df-s2 14757  df-s3 14758  df-rag 28673

This theorem is referenced by:  ragcom  28677  ragcol  28678  ragmir  28679  mirrag  28680  ragtrivb  28681  ragflat2  28682  ragflat  28683  ragcgr  28686  footexALT  28697  footexlem1  28698  footexlem2  28699  colperpexlem1  28709  colperpexlem3  28711  mideulem2  28713  opphllem  28714  lmiisolem  28775  hypcgrlem1  28778  hypcgrlem2  28779  trgcopyeulem  28784