Theorem israg 28955

Description: Property for 3 points A, B, C to form a right angle. Definition 8.1 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
israg	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))

Proof of Theorem israg

Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
4	1, 2, 3	s3cld 14911	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5		fveqeq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((♯‘𝑤) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
6		fveq1 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
7		fveq1 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
8	6, 7	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
9		fveq1 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
10	9	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑆‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
11	10, 7	fveq12d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
12	6, 11	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
13	8, 12	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
14	5, 13	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
15	14	elrab3 3652	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
16	4, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
17		df-rag 28952	. . . 4 ⊢ ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
18		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → 𝑔 = 𝐺)
19	18	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
20		israg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
21	19, 20	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = 𝑃)
22		wrdeq 14575	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑔) = 𝑃 → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
23	21, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
24	18	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = (dist‘𝐺))
25		israg.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
26	24, 25	eqtr4di 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = − )
27	26	oveqd 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)))
28		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑤‘0) = (𝑤‘0))
29	18	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
30		israg.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
31	29, 30	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
32	31	fveq1d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(𝑤‘1)))
33	32	fveq1d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))
34	26, 28, 33	oveq123d 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))
35	27, 34	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))))
36	35	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))))
37	23, 36	rabeqbidv 3434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
38		israg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	38	elexd 3478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
40	20	fvexi 6897	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
41	40	wrdexi 14565	. . . . . 6 ⊢ Word 𝑃 ∈ V
42	41	rabex 5311	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V)
44	17, 37, 39, 43	fvmptd2 7000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∟G‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
45	44	eleq2d 2849	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
46		s3fv0 14930	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
47	1, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
48	47	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
49		s3fv2 14932	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
50	3, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
51	50	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
52	48, 51	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
53		s3fv1 14931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
54	2, 53	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
55	54	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
56	55	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
57	56, 51	fveq12d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
58	48, 57	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
59	52, 58	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
60		s3len 14933	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
62	61	biantrurd 541	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
63	59, 62	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
64	16, 45, 63	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102  2c2 12296  3c3 12297  ♯chash 14368  Word cword 14552  ⟨“cs3 14881  Basecbs 17270  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28674  Itvcitv 28680  LineGclng 28681  pInvGcmir 28907  ∟Gcrag 28951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-s3 14888  df-rag 28952

This theorem is referenced by:  ragcom  28956  ragcol  28957  ragmir  28958  mirrag  28959  ragtrivb  28960  ragflat2  28961  ragflat  28962  ragcgr  28965  footexALT  28976  footexlem1  28977  footexlem2  28978  colperpexlem1  28989  colperpexlem3  28991  mideulem2  28993  opphllem  28994  lmiisolem  29083  hypcgrlem1  29087  hypcgrlem2  29088  trgcopyeulem  29094  ragsupplcgra  29126