Theorem israg 28790

Description: Property for 3 points A, B, C to form a right angle. Definition 8.1 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
israg	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))

Proof of Theorem israg

Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
4	1, 2, 3	s3cld 14832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5		fveqeq2 6843	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((♯‘𝑤) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
6		fveq1 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
7		fveq1 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
8	6, 7	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
9		fveq1 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
10	9	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑆‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
11	10, 7	fveq12d 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
12	6, 11	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
13	8, 12	eqeq12d 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
14	5, 13	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
15	14	elrab3 3637	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
16	4, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
17		df-rag 28787	. . . 4 ⊢ ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
18		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → 𝑔 = 𝐺)
19	18	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
20		israg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
21	19, 20	eqtr4di 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = 𝑃)
22		wrdeq 14496	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑔) = 𝑃 → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
24	18	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = (dist‘𝐺))
25		israg.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
26	24, 25	eqtr4di 2793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = − )
27	26	oveqd 7380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)))
28		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑤‘0) = (𝑤‘0))
29	18	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
30		israg.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
31	29, 30	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
32	31	fveq1d 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(𝑤‘1)))
33	32	fveq1d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))
34	26, 28, 33	oveq123d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))
35	27, 34	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))))
36	35	anbi2d 636	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))))
37	23, 36	rabeqbidv 3410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
38		israg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	38	elexd 3456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
40	20	fvexi 6848	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
41	40	wrdexi 14486	. . . . . 6 ⊢ Word 𝑃 ∈ V
42	41	rabex 5274	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V)
44	17, 37, 39, 43	fvmptd2 6951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∟G‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
45	44	eleq2d 2826	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
46		s3fv0 14851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
47	1, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
48	47	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
49		s3fv2 14853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
50	3, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
51	50	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
52	48, 51	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
53		s3fv1 14852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
54	2, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
55	54	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
56	55	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
57	56, 51	fveq12d 6841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
58	48, 57	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
59	52, 58	eqeq12d 2756	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
60		s3len 14854	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
62	61	biantrurd 537	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
63	59, 62	bitrd 280	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
64	16, 45, 63	3bitr4d 312	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037  2c2 12234  3c3 12235  ♯chash 14290  Word cword 14473  ⟨“cs3 14802  Basecbs 17177  distcds 17227  TarskiGcstrkg 28520  Itvcitv 28526  LineGclng 28527  pInvGcmir 28745  ∟Gcrag 28786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808  df-s3 14809  df-rag 28787

This theorem is referenced by:  ragcom  28791  ragcol  28792  ragmir  28793  mirrag  28794  ragtrivb  28795  ragflat2  28796  ragflat  28797  ragcgr  28800  footexALT  28811  footexlem1  28812  footexlem2  28813  colperpexlem1  28823  colperpexlem3  28825  mideulem2  28827  opphllem  28828  lmiisolem  28889  hypcgrlem1  28892  hypcgrlem2  28893  trgcopyeulem  28898