Theorem israg 27058

Description: Property for 3 points A, B, C to form a right angle. Definition 8.1 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
israg	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))

Proof of Theorem israg

Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
4	1, 2, 3	s3cld 14585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5		fveqeq2 6783	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((♯‘𝑤) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
6		fveq1 6773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
7		fveq1 6773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
8	6, 7	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
9		fveq1 6773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
10	9	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑆‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
11	10, 7	fveq12d 6781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
12	6, 11	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
13	8, 12	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
14	5, 13	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
15	14	elrab3 3625	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
16	4, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
17		df-rag 27055	. . . 4 ⊢ ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
18		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → 𝑔 = 𝐺)
19	18	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
20		israg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
21	19, 20	eqtr4di 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = 𝑃)
22		wrdeq 14239	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑔) = 𝑃 → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
24	18	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = (dist‘𝐺))
25		israg.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
26	24, 25	eqtr4di 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = − )
27	26	oveqd 7292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)))
28		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑤‘0) = (𝑤‘0))
29	18	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
30		israg.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
31	29, 30	eqtr4di 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
32	31	fveq1d 6776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(𝑤‘1)))
33	32	fveq1d 6776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))
34	26, 28, 33	oveq123d 7296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))
35	27, 34	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))))
36	35	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))))
37	23, 36	rabeqbidv 3420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
38		israg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	38	elexd 3452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
40	20	fvexi 6788	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
41	40	wrdexi 14229	. . . . . 6 ⊢ Word 𝑃 ∈ V
42	41	rabex 5256	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V)
44	17, 37, 39, 43	fvmptd2 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∟G‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
45	44	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) − (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) − ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
46		s3fv0 14604	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
47	1, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
48	47	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
49		s3fv2 14606	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
50	3, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
51	50	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
52	48, 51	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
53		s3fv1 14605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
54	2, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
55	54	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
56	55	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
57	56, 51	fveq12d 6781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
58	48, 57	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
59	52, 58	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
60		s3len 14607	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
62	61	biantrurd 533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
63	59, 62	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) − ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
64	16, 45, 63	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872  2c2 12028  3c3 12029  ♯chash 14044  Word cword 14217  ⟨“cs3 14555  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  pInvGcmir 27013  ∟Gcrag 27054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-rag 27055

This theorem is referenced by:  ragcom  27059  ragcol  27060  ragmir  27061  mirrag  27062  ragtrivb  27063  ragflat2  27064  ragflat  27065  ragcgr  27068  footexALT  27079  footexlem1  27080  footexlem2  27081  colperpexlem1  27091  colperpexlem3  27093  mideulem2  27095  opphllem  27096  lmiisolem  27157  hypcgrlem1  27160  hypcgrlem2  27161  trgcopyeulem  27166