Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  israg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem israg 26467
 Description: Property for 3 points A, B, C to form a right angle. Definition 8.1 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
Assertion
Ref Expression
israg (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))

Proof of Theorem israg
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
2 israg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
3 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
41, 2, 3s3cld 14212 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5 fveqeq2 6653 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((♯‘𝑤) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
6 fveq1 6643 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
7 fveq1 6643 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
86, 7oveq12d 7149 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
9 fveq1 6643 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
109fveq2d 6648 . . . . . . . 8 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑆‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
1110, 7fveq12d 6651 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
126, 11oveq12d 7149 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
138, 12eqeq12d 2836 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
145, 13anbi12d 632 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
1514elrab3 3660 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
164, 15syl 17 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
17 df-rag 26464 . . . 4 ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
18 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → 𝑔 = 𝐺)
1918fveq2d 6648 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
20 israg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2119, 20syl6eqr 2873 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = 𝑃)
22 wrdeq 13866 . . . . . 6 ((Base‘𝑔) = 𝑃 → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
2418fveq2d 6648 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = (dist‘𝐺))
25 israg.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
2624, 25syl6eqr 2873 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = )
2726oveqd 7148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) (𝑤‘2)))
28 eqidd 2821 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (𝑤‘0) = (𝑤‘0))
2918fveq2d 6648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
30 israg.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
3129, 30syl6eqr 2873 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
3231fveq1d 6646 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(𝑤‘1)))
3332fveq1d 6646 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))
3426, 28, 33oveq123d 7152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))
3527, 34eqeq12d 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))))
3635anbi2d 630 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))))
3723, 36rabeqbidv 3464 . . . 4 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
38 israg.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
3938elexd 3493 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ V)
4020fvexi 6658 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
4140wrdexi 13856 . . . . . 6 Word 𝑃 ∈ V
4241rabex 5209 . . . . 5 {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V)
4417, 37, 39, 43fvmptd2 6750 . . 3 (𝜑 → (∟G‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
4544eleq2d 2896 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
46 s3fv0 14231 . . . . . . 7 (𝐴𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
471, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
4847eqcomd 2826 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
49 s3fv2 14233 . . . . . . 7 (𝐶𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
503, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
5150eqcomd 2826 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
5248, 51oveq12d 7149 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
53 s3fv1 14232 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
542, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
5554eqcomd 2826 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
5655fveq2d 6648 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
5756, 51fveq12d 6651 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐶) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
5848, 57oveq12d 7149 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
5952, 58eqeq12d 2836 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
60 s3len 14234 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
6160a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
6261biantrurd 535 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
6359, 62bitrd 281 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
6416, 45, 633bitr4d 313 1 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3129  Vcvv 3473  ‘cfv 6329  (class class class)co 7131  0cc0 10513  1c1 10514  2c2 11669  3c3 11670  ♯chash 13673  Word cword 13844  ⟨“cs3 14182  Basecbs 16459  distcds 16550  TarskiGcstrkg 26200  Itvcitv 26206  LineGclng 26207  pInvGcmir 26422  ∟Gcrag 26463 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-hash 13674  df-word 13845  df-concat 13901  df-s1 13928  df-s2 14188  df-s3 14189  df-rag 26464 This theorem is referenced by:  ragcom  26468  ragcol  26469  ragmir  26470  mirrag  26471  ragtrivb  26472  ragflat2  26473  ragflat  26474  ragcgr  26477  footexALT  26488  footexlem1  26489  footexlem2  26490  colperpexlem1  26500  colperpexlem3  26502  mideulem2  26504  opphllem  26505  lmiisolem  26566  hypcgrlem1  26569  hypcgrlem2  26570  trgcopyeulem  26575
 Copyright terms: Public domain W3C validator