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Theorem tgoldbachgt 33675
Description: Odd integers greater than (10↑27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70 , expressed using the set 𝐺 of odd numbers which can be written as a sum of three odd primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgt.o 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
tgoldbachgt.g 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝑂 ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))}
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgt βˆƒπ‘š ∈ β„• (π‘š ≀ (10↑27) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑂 (π‘š < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺))
Distinct variable groups:   π‘š,𝐺   π‘š,𝑂,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ,𝑧   π‘š,𝑛,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑛,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem tgoldbachgt
Dummy variables 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 10nn 12693 . . 3 10 ∈ β„•
2 2nn0 12489 . . . 4 2 ∈ β„•0
3 7nn0 12494 . . . 4 7 ∈ β„•0
42, 3deccl 12692 . . 3 27 ∈ β„•0
5 nnexpcl 14040 . . 3 ((10 ∈ β„• ∧ 27 ∈ β„•0) β†’ (10↑27) ∈ β„•)
61, 4, 5mp2an 691 . 2 (10↑27) ∈ β„•
76nnrei 12221 . . . 4 (10↑27) ∈ ℝ
87leidi 11748 . . 3 (10↑27) ≀ (10↑27)
9 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ 𝑂)
10 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„™
11 prmssnn 16613 . . . . . . . . . . . . . 14 β„™ βŠ† β„•
1210, 11sstri 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„•
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„•)
14 tgoldbachgt.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
1514eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝑂 ↔ 𝑛 ∈ {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧})
16 elrabi 3678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧} β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1715, 16sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑂 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
19 3nn0 12490 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„•0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 3 ∈ β„•0)
21 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛))
2213, 18, 20, 21reprf 33624 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 𝑐:(0..^3)⟢(𝑂 ∩ β„™))
23 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
2423tpid1 4773 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ {0, 1, 2}
25 fzo0to3tp 13718 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^3) = {0, 1, 2}
2624, 25eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0..^3)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 0 ∈ (0..^3))
2822, 27ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™))
2928elin2d 4200 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜0) ∈ β„™)
30 1ex 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
3130tpid2 4775 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
3231, 25eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 1 ∈ (0..^3))
3422, 33ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜1) ∈ (𝑂 ∩ β„™))
3534elin2d 4200 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„™)
36 2ex 12289 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
3736tpid3 4778 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {0, 1, 2}
3837, 25eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (0..^3)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 2 ∈ (0..^3))
4022, 39ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜2) ∈ (𝑂 ∩ β„™))
4140elin2d 4200 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„™)
4228elin1d 4199 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜0) ∈ 𝑂)
4334elin1d 4199 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂)
4440elin1d 4199 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜2) ∈ 𝑂)
4542, 43, 443jca 1129 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ ((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜2) ∈ 𝑂))
4625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (0..^3) = {0, 1, 2})
4746sumeq1d 15647 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^3)(π‘β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ {0, 1, 2} (π‘β€˜π‘–))
4813, 18, 20, 21reprsum 33625 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^3)(π‘β€˜π‘–) = 𝑛)
49 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜0))
50 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜1))
51 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 2 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜2))
5212, 28sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜0) ∈ β„•)
5352nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜0) ∈ β„‚)
5412, 34sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„•)
5554nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„‚)
5612, 40sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„•)
5756nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„‚)
5853, 55, 573jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ ((π‘β€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜1) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜2) ∈ β„‚))
5923a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 0 ∈ V)
6030a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 1 ∈ V)
6136a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 2 ∈ V)
6259, 60, 613jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
63 0ne1 12283 . . . . . . . . . . . . 13 0 β‰  1
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 0 β‰  1)
65 0ne2 12419 . . . . . . . . . . . . 13 0 β‰  2
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 0 β‰  2)
67 1ne2 12420 . . . . . . . . . . . . 13 1 β‰  2
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 1 β‰  2)
6949, 50, 51, 58, 62, 64, 66, 68sumtp 15695 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ Σ𝑖 ∈ {0, 1, 2} (π‘β€˜π‘–) = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + (π‘β€˜2)))
7047, 48, 693eqtr3d 2781 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + (π‘β€˜2)))
7145, 70jca 513 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ (((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + (π‘β€˜2))))
72 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (π‘β€˜0) β†’ (𝑝 ∈ 𝑂 ↔ (π‘β€˜0) ∈ 𝑂))
73723anbi1d 1441 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (π‘β€˜0) β†’ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ↔ ((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂)))
74 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = (π‘β€˜0) β†’ (𝑝 + π‘ž) = ((π‘β€˜0) + π‘ž))
7574oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (π‘β€˜0) β†’ ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = (((π‘β€˜0) + π‘ž) + π‘Ÿ))
7675eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (π‘β€˜0) β†’ (𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) ↔ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + π‘ž) + π‘Ÿ)))
7773, 76anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (π‘β€˜0) β†’ (((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) ↔ (((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + π‘ž) + π‘Ÿ))))
78 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = (π‘β€˜1) β†’ (π‘ž ∈ 𝑂 ↔ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂))
79783anbi2d 1442 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = (π‘β€˜1) β†’ (((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ↔ ((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂)))
80 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž = (π‘β€˜1) β†’ ((π‘β€˜0) + π‘ž) = ((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)))
8180oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = (π‘β€˜1) β†’ (((π‘β€˜0) + π‘ž) + π‘Ÿ) = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + π‘Ÿ))
8281eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = (π‘β€˜1) β†’ (𝑛 = (((π‘β€˜0) + π‘ž) + π‘Ÿ) ↔ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + π‘Ÿ)))
8379, 82anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = (π‘β€˜1) β†’ ((((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + π‘ž) + π‘Ÿ)) ↔ (((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + π‘Ÿ))))
84 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = (π‘β€˜2) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑂 ↔ (π‘β€˜2) ∈ 𝑂))
85843anbi3d 1443 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = (π‘β€˜2) β†’ (((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ↔ ((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜2) ∈ 𝑂)))
86 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = (π‘β€˜2) β†’ (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + π‘Ÿ) = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + (π‘β€˜2)))
8786eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = (π‘β€˜2) β†’ (𝑛 = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + π‘Ÿ) ↔ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + (π‘β€˜2))))
8885, 87anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (π‘β€˜2) β†’ ((((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + π‘Ÿ)) ↔ (((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + (π‘β€˜2)))))
8977, 83, 88rspc3ev 3629 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜0) ∈ β„™ ∧ (π‘β€˜1) ∈ β„™ ∧ (π‘β€˜2) ∈ β„™) ∧ (((π‘β€˜0) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜1) ∈ 𝑂 ∧ (π‘β€˜2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + (π‘β€˜2)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))
9029, 35, 41, 71, 89syl31anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))
9190adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) ∧ ⊀) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))
926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ (10↑27) ∈ β„•)
9392nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ (10↑27) ∈ ℝ)
9417zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ 𝑂 β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
9594adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
96 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ (10↑27) < 𝑛)
9793, 95, 96ltled 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ (10↑27) ≀ 𝑛)
9814, 9, 97tgoldbachgtd 33674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ 0 < (β™―β€˜((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)))
99 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛) ∈ V
100 hashneq0 14324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛) ∈ V β†’ (0 < (β™―β€˜((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) ↔ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛) β‰  βˆ…))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < (β™―β€˜((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) ↔ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛) β‰  βˆ…)
10298, 101sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛) β‰  βˆ…)
103102neneqd 2946 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ Β¬ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛) = βˆ…)
104 neq0 4346 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛))
105103, 104sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛))
106 tru 1546 . . . . . . . . . . 11 ⊀
107105, 106jctil 521 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ (⊀ ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)))
108 19.42v 1958 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘(⊀ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) ↔ (⊀ ∧ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)))
109107, 108sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ βˆƒπ‘(⊀ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)))
110 exancom 1865 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘(⊀ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)) ↔ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛) ∧ ⊀))
111109, 110sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛) ∧ ⊀))
112 df-rex 3072 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)⊀ ↔ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛) ∧ ⊀))
113111, 112sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑛)⊀)
11491, 113r19.29a 3163 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))
115 tgoldbachgt.g . . . . . . . . 9 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝑂 ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))}
116115eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝐺 ↔ 𝑛 ∈ {𝑧 ∈ 𝑂 ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))})
117 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑛 β†’ (𝑧 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) ↔ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))
118117anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑛 β†’ (((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
119118rexbidv 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑛 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
120119rexbidv 3179 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑛 β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
121120rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑛 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
122121elrab3 3685 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑂 β†’ (𝑛 ∈ {𝑧 ∈ 𝑂 ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))} ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
123116, 122bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑂 β†’ (𝑛 ∈ 𝐺 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
124123biimpar 479 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ 𝑂 ∧ π‘ž ∈ 𝑂 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))) β†’ 𝑛 ∈ 𝐺)
1259, 114, 124syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑛 ∈ 𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ 𝐺)
126125ex 414 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑂 β†’ ((10↑27) < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺))
127126rgen 3064 . . 3 βˆ€π‘› ∈ 𝑂 ((10↑27) < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺)
1288, 127pm3.2i 472 . 2 ((10↑27) ≀ (10↑27) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑂 ((10↑27) < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺))
129 breq1 5152 . . . 4 (π‘š = (10↑27) β†’ (π‘š ≀ (10↑27) ↔ (10↑27) ≀ (10↑27)))
130 breq1 5152 . . . . . 6 (π‘š = (10↑27) β†’ (π‘š < 𝑛 ↔ (10↑27) < 𝑛))
131130imbi1d 342 . . . . 5 (π‘š = (10↑27) β†’ ((π‘š < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺) ↔ ((10↑27) < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺)))
132131ralbidv 3178 . . . 4 (π‘š = (10↑27) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑂 (π‘š < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑂 ((10↑27) < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺)))
133129, 132anbi12d 632 . . 3 (π‘š = (10↑27) β†’ ((π‘š ≀ (10↑27) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑂 (π‘š < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺)) ↔ ((10↑27) ≀ (10↑27) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑂 ((10↑27) < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺))))
134133rspcev 3613 . 2 (((10↑27) ∈ β„• ∧ ((10↑27) ≀ (10↑27) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑂 ((10↑27) < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• (π‘š ≀ (10↑27) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑂 (π‘š < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺)))
1356, 128, 134mp2an 691 1 βˆƒπ‘š ∈ β„• (π‘š ≀ (10↑27) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑂 (π‘š < 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {ctp 4633   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  7c7 12272  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  cdc 12677  ..^cfzo 13627  β†‘cexp 14027  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608  reprcrepr 33620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hgt749 33656  ax-ros335 33657  ax-ros336 33658
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-r1 9759  df-rank 9760  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-pmtr 19310  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-cxp 26066  df-atan 26372  df-cht 26601  df-vma 26602  df-chp 26603  df-dp2 32038  df-dp 32055  df-repr 33621  df-vts 33648
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