Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgt 34656
Description: Odd integers greater than (10↑27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70 , expressed using the set 𝐺 of odd numbers which can be written as a sum of three odd primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgt.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgt.g 𝐺 = {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))}
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgt 𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐺   𝑚,𝑂,𝑝,𝑞,𝑟,𝑧   𝑚,𝑛,𝑝,𝑞,𝑟,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem tgoldbachgt
Dummy variables 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 10nn 12746 . . 3 10 ∈ ℕ
2 2nn0 12540 . . . 4 2 ∈ ℕ0
3 7nn0 12545 . . . 4 7 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12745 . . 3 27 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 14111 . . 3 ((10 ∈ ℕ ∧ 27 ∈ ℕ0) → (10↑27) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 692 . 2 (10↑27) ∈ ℕ
76nnrei 12272 . . . 4 (10↑27) ∈ ℝ
87leidi 11794 . . 3 (10↑27) ≤ (10↑27)
9 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛𝑂)
10 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
11 prmssnn 16709 . . . . . . . . . . . . . 14 ℙ ⊆ ℕ
1210, 11sstri 4004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
14 tgoldbachgt.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
1514eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑂𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
16 elrabi 3689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑛 ∈ ℤ)
1715, 16sylbi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑂𝑛 ∈ ℤ)
1817ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
19 3nn0 12541 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 3 ∈ ℕ0)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
2213, 18, 20, 21reprf 34605 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑐:(0..^3)⟶(𝑂 ∩ ℙ))
23 c0ex 11252 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
2423tpid1 4772 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ {0, 1, 2}
25 fzo0to3tp 13787 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^3) = {0, 1, 2}
2624, 25eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0..^3)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ∈ (0..^3))
2822, 27ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
2928elin2d 4214 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℙ)
30 1ex 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
3130tpid2 4774 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
3231, 25eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ∈ (0..^3))
3422, 33ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
3534elin2d 4214 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℙ)
36 2ex 12340 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
3736tpid3 4777 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {0, 1, 2}
3837, 25eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (0..^3)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 2 ∈ (0..^3))
4022, 39ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
4140elin2d 4214 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℙ)
4228elin1d 4213 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ 𝑂)
4334elin1d 4213 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ 𝑂)
4440elin1d 4213 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ 𝑂)
4542, 43, 443jca 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂))
4625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (0..^3) = {0, 1, 2})
4746sumeq1d 15732 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ (0..^3)(𝑐𝑖) = Σ𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑖))
4813, 18, 20, 21reprsum 34606 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ (0..^3)(𝑐𝑖) = 𝑛)
49 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘0))
50 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘1))
51 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 2 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘2))
5212, 28sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℕ)
5352nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℂ)
5412, 34sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℕ)
5554nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℂ)
5612, 40sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℕ)
5756nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℂ)
5853, 55, 573jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ((𝑐‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘2) ∈ ℂ))
5923a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ∈ V)
6030a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ∈ V)
6136a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 2 ∈ V)
6259, 60, 613jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
63 0ne1 12334 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≠ 1
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ≠ 1)
65 0ne2 12470 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≠ 2
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ≠ 2)
67 1ne2 12471 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 2
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ≠ 2)
6949, 50, 51, 58, 62, 64, 66, 68sumtp 15781 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑖) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
7047, 48, 693eqtr3d 2782 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
7145, 70jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2))))
72 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑝𝑂 ↔ (𝑐‘0) ∈ 𝑂))
73723anbi1d 1439 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑐‘0) → ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂)))
74 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑝 + 𝑞) = ((𝑐‘0) + 𝑞))
7574oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑐‘0) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟))
7675eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟)))
7773, 76anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑐‘0) → (((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟))))
78 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = (𝑐‘1) → (𝑞𝑂 ↔ (𝑐‘1) ∈ 𝑂))
79783anbi2d 1440 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = (𝑐‘1) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂)))
80 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = (𝑐‘1) → ((𝑐‘0) + 𝑞) = ((𝑐‘0) + (𝑐‘1)))
8180oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = (𝑐‘1) → (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟))
8281eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = (𝑐‘1) → (𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟)))
8379, 82anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = (𝑐‘1) → ((((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟))))
84 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑐‘2) → (𝑟𝑂 ↔ (𝑐‘2) ∈ 𝑂))
85843anbi3d 1441 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑐‘2) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂)))
86 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑐‘2) → (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
8786eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑐‘2) → (𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2))))
8885, 87anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑐‘2) → ((((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))))
8977, 83, 88rspc3ev 3638 . . . . . . . . 9 ((((𝑐‘0) ∈ ℙ ∧ (𝑐‘1) ∈ ℙ ∧ (𝑐‘2) ∈ ℙ) ∧ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
9029, 35, 41, 71, 89syl31anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
9190adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ∧ ⊤) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ∈ ℕ)
9392nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ∈ ℝ)
9417zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑂𝑛 ∈ ℝ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
96 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) < 𝑛)
9793, 95, 96ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ≤ 𝑛)
9814, 9, 97tgoldbachgtd 34655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
99 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∈ V
100 hashneq0 14399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∈ V → (0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅)
10298, 101sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅)
103102neneqd 2942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ¬ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) = ∅)
104 neq0 4357 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
105103, 104sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
106 tru 1540 . . . . . . . . . . 11
107105, 106jctil 519 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (⊤ ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
108 19.42v 1950 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ (⊤ ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
109107, 108sylibr 234 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
110 exancom 1858 . . . . . . . . 9 (∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
111109, 110sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
112 df-rex 3068 . . . . . . . 8 (∃𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)⊤ ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
113111, 112sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)⊤)
11491, 113r19.29a 3159 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
115 tgoldbachgt.g . . . . . . . . 9 𝐺 = {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))}
116115eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (𝑛𝐺𝑛 ∈ {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))})
117 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑛 → (𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
118117anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑛 → (((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
119118rexbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
120119rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
121120rexbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
122121elrab3 3695 . . . . . . . 8 (𝑛𝑂 → (𝑛 ∈ {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))} ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
123116, 122bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑛𝑂 → (𝑛𝐺 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
124123biimpar 477 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 𝑛𝐺)
1259, 114, 124syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛𝐺)
126125ex 412 . . . 4 (𝑛𝑂 → ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))
127126rgen 3060 . . 3 𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)
1288, 127pm3.2i 470 . 2 ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))
129 breq1 5150 . . . 4 (𝑚 = (10↑27) → (𝑚 ≤ (10↑27) ↔ (10↑27) ≤ (10↑27)))
130 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑚 = (10↑27) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (10↑27) < 𝑛))
131130imbi1d 341 . . . . 5 (𝑚 = (10↑27) → ((𝑚 < 𝑛𝑛𝐺) ↔ ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)))
132131ralbidv 3175 . . . 4 (𝑚 = (10↑27) → (∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺) ↔ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)))
133129, 132anbi12d 632 . . 3 (𝑚 = (10↑27) → ((𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺)) ↔ ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))))
134133rspcev 3621 . 2 (((10↑27) ∈ ℕ ∧ ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺)))
1356, 128, 134mp2an 692 1 𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wtru 1537  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {ctp 4634   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  7c7 12323  0cn0 12523  cz 12610  cdc 12730  ..^cfzo 13690  cexp 14098  chash 14365  Σcsu 15718  cdvds 16286  cprime 16704  reprcrepr 34601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-reg 9629  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-hgt749 34637  ax-ros335 34638  ax-ros336 34639
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-r1 9801  df-rank 9802  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-prod 15936  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-pmtr 19474  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ulm 26434  df-log 26612  df-cxp 26613  df-atan 26924  df-cht 27154  df-vma 27155  df-chp 27156  df-dp2 32838  df-dp 32855  df-repr 34602  df-vts 34629
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator