Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgt 34138
Description: Odd integers greater than (10↑27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70 , expressed using the set 𝐺 of odd numbers which can be written as a sum of three odd primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgt.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgt.g 𝐺 = {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))}
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgt 𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐺   𝑚,𝑂,𝑝,𝑞,𝑟,𝑧   𝑚,𝑛,𝑝,𝑞,𝑟,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem tgoldbachgt
Dummy variables 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 10nn 12700 . . 3 10 ∈ ℕ
2 2nn0 12496 . . . 4 2 ∈ ℕ0
3 7nn0 12501 . . . 4 7 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12699 . . 3 27 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 14047 . . 3 ((10 ∈ ℕ ∧ 27 ∈ ℕ0) → (10↑27) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 689 . 2 (10↑27) ∈ ℕ
76nnrei 12228 . . . 4 (10↑27) ∈ ℝ
87leidi 11755 . . 3 (10↑27) ≤ (10↑27)
9 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛𝑂)
10 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
11 prmssnn 16620 . . . . . . . . . . . . . 14 ℙ ⊆ ℕ
1210, 11sstri 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
14 tgoldbachgt.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
1514eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑂𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
16 elrabi 3677 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑛 ∈ ℤ)
1715, 16sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑂𝑛 ∈ ℤ)
1817ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
19 3nn0 12497 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 3 ∈ ℕ0)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
2213, 18, 20, 21reprf 34087 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑐:(0..^3)⟶(𝑂 ∩ ℙ))
23 c0ex 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
2423tpid1 4772 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ {0, 1, 2}
25 fzo0to3tp 13725 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^3) = {0, 1, 2}
2624, 25eleqtrri 2831 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0..^3)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ∈ (0..^3))
2822, 27ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
2928elin2d 4199 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℙ)
30 1ex 11217 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
3130tpid2 4774 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
3231, 25eleqtrri 2831 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ∈ (0..^3))
3422, 33ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
3534elin2d 4199 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℙ)
36 2ex 12296 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
3736tpid3 4777 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {0, 1, 2}
3837, 25eleqtrri 2831 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (0..^3)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 2 ∈ (0..^3))
4022, 39ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
4140elin2d 4199 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℙ)
4228elin1d 4198 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ 𝑂)
4334elin1d 4198 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ 𝑂)
4440elin1d 4198 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ 𝑂)
4542, 43, 443jca 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂))
4625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (0..^3) = {0, 1, 2})
4746sumeq1d 15654 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ (0..^3)(𝑐𝑖) = Σ𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑖))
4813, 18, 20, 21reprsum 34088 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ (0..^3)(𝑐𝑖) = 𝑛)
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘0))
50 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘1))
51 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 2 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘2))
5212, 28sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℕ)
5352nncnd 12235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℂ)
5412, 34sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℕ)
5554nncnd 12235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℂ)
5612, 40sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℕ)
5756nncnd 12235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℂ)
5853, 55, 573jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ((𝑐‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘2) ∈ ℂ))
5923a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ∈ V)
6030a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ∈ V)
6136a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 2 ∈ V)
6259, 60, 613jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
63 0ne1 12290 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≠ 1
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ≠ 1)
65 0ne2 12426 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≠ 2
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ≠ 2)
67 1ne2 12427 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 2
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ≠ 2)
6949, 50, 51, 58, 62, 64, 66, 68sumtp 15702 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑖) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
7047, 48, 693eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
7145, 70jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2))))
72 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑝𝑂 ↔ (𝑐‘0) ∈ 𝑂))
73723anbi1d 1439 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑐‘0) → ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂)))
74 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑝 + 𝑞) = ((𝑐‘0) + 𝑞))
7574oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑐‘0) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟))
7675eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟)))
7773, 76anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑐‘0) → (((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟))))
78 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = (𝑐‘1) → (𝑞𝑂 ↔ (𝑐‘1) ∈ 𝑂))
79783anbi2d 1440 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = (𝑐‘1) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂)))
80 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = (𝑐‘1) → ((𝑐‘0) + 𝑞) = ((𝑐‘0) + (𝑐‘1)))
8180oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = (𝑐‘1) → (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟))
8281eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = (𝑐‘1) → (𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟)))
8379, 82anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = (𝑐‘1) → ((((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟))))
84 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑐‘2) → (𝑟𝑂 ↔ (𝑐‘2) ∈ 𝑂))
85843anbi3d 1441 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑐‘2) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂)))
86 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑐‘2) → (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
8786eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑐‘2) → (𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2))))
8885, 87anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑐‘2) → ((((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))))
8977, 83, 88rspc3ev 3628 . . . . . . . . 9 ((((𝑐‘0) ∈ ℙ ∧ (𝑐‘1) ∈ ℙ ∧ (𝑐‘2) ∈ ℙ) ∧ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
9029, 35, 41, 71, 89syl31anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
9190adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ∧ ⊤) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ∈ ℕ)
9392nnred 12234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ∈ ℝ)
9417zred 12673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑂𝑛 ∈ ℝ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
96 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) < 𝑛)
9793, 95, 96ltled 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ≤ 𝑛)
9814, 9, 97tgoldbachgtd 34137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
99 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∈ V
100 hashneq0 14331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∈ V → (0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅)
10298, 101sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅)
103102neneqd 2944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ¬ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) = ∅)
104 neq0 4345 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
105103, 104sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
106 tru 1544 . . . . . . . . . . 11
107105, 106jctil 519 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (⊤ ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
108 19.42v 1956 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ (⊤ ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
109107, 108sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
110 exancom 1863 . . . . . . . . 9 (∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
111109, 110sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
112 df-rex 3070 . . . . . . . 8 (∃𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)⊤ ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
113111, 112sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)⊤)
11491, 113r19.29a 3161 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
115 tgoldbachgt.g . . . . . . . . 9 𝐺 = {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))}
116115eleq2i 2824 . . . . . . . 8 (𝑛𝐺𝑛 ∈ {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))})
117 eqeq1 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑛 → (𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
118117anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑛 → (((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
119118rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
120119rexbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
121120rexbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
122121elrab3 3684 . . . . . . . 8 (𝑛𝑂 → (𝑛 ∈ {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))} ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
123116, 122bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑛𝑂 → (𝑛𝐺 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
124123biimpar 477 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 𝑛𝐺)
1259, 114, 124syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛𝐺)
126125ex 412 . . . 4 (𝑛𝑂 → ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))
127126rgen 3062 . . 3 𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)
1288, 127pm3.2i 470 . 2 ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))
129 breq1 5151 . . . 4 (𝑚 = (10↑27) → (𝑚 ≤ (10↑27) ↔ (10↑27) ≤ (10↑27)))
130 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑚 = (10↑27) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (10↑27) < 𝑛))
131130imbi1d 341 . . . . 5 (𝑚 = (10↑27) → ((𝑚 < 𝑛𝑛𝐺) ↔ ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)))
132131ralbidv 3176 . . . 4 (𝑚 = (10↑27) → (∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺) ↔ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)))
133129, 132anbi12d 630 . . 3 (𝑚 = (10↑27) → ((𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺)) ↔ ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))))
134133rspcev 3612 . 2 (((10↑27) ∈ ℕ ∧ ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺)))
1356, 128, 134mp2an 689 1 𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wtru 1541  wex 1780  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  cin 3947  wss 3948  c0 4322  {ctp 4632   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   < clt 11255  cle 11256  cn 12219  2c2 12274  3c3 12275  7c7 12279  0cn0 12479  cz 12565  cdc 12684  ..^cfzo 13634  cexp 14034  chash 14297  Σcsu 15639  cdvds 16204  cprime 16615  reprcrepr 34083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-reg 9593  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-ac2 10464  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-hgt749 34119  ax-ros335 34120  ax-ros336 34121
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-r1 9765  df-rank 9766  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-s2 14806  df-s3 14807  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-prod 15857  df-ef 16018  df-e 16019  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022  df-pi 16023  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16777  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-pmtr 19358  df-cmn 19698  df-psmet 21224  df-xmet 21225  df-met 21226  df-bl 21227  df-mopn 21228  df-fbas 21229  df-fg 21230  df-cnfld 21233  df-top 22715  df-topon 22732  df-topsp 22754  df-bases 22768  df-cld 22842  df-ntr 22843  df-cls 22844  df-nei 22921  df-lp 22959  df-perf 22960  df-cn 23050  df-cnp 23051  df-haus 23138  df-cmp 23210  df-tx 23385  df-hmeo 23578  df-fil 23669  df-fm 23761  df-flim 23762  df-flf 23763  df-xms 24145  df-ms 24146  df-tms 24147  df-cncf 24717  df-ovol 25312  df-vol 25313  df-mbf 25467  df-itg1 25468  df-itg2 25469  df-ibl 25470  df-itg 25471  df-0p 25518  df-limc 25714  df-dv 25715  df-ulm 26227  df-log 26404  df-cxp 26405  df-atan 26712  df-cht 26941  df-vma 26942  df-chp 26943  df-dp2 32470  df-dp 32487  df-repr 34084  df-vts 34111
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator