Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgt 31833
Description: Odd integers greater than (10↑27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70 , expressed using the set 𝐺 of odd numbers which can be written as a sum of three odd primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgt.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgt.g 𝐺 = {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))}
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgt 𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐺   𝑚,𝑂,𝑝,𝑞,𝑟,𝑧   𝑚,𝑛,𝑝,𝑞,𝑟,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem tgoldbachgt
Dummy variables 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 10nn 12102 . . 3 10 ∈ ℕ
2 2nn0 11902 . . . 4 2 ∈ ℕ0
3 7nn0 11907 . . . 4 7 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12101 . . 3 27 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13430 . . 3 ((10 ∈ ℕ ∧ 27 ∈ ℕ0) → (10↑27) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 688 . 2 (10↑27) ∈ ℕ
76nnrei 11635 . . . 4 (10↑27) ∈ ℝ
87leidi 11162 . . 3 (10↑27) ≤ (10↑27)
9 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛𝑂)
10 inss2 4203 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
11 prmssnn 16008 . . . . . . . . . . . . . 14 ℙ ⊆ ℕ
1210, 11sstri 3973 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
14 tgoldbachgt.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
1514eleq2i 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑂𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
16 elrabi 3672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑛 ∈ ℤ)
1715, 16sylbi 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑂𝑛 ∈ ℤ)
1817ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
19 3nn0 11903 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 3 ∈ ℕ0)
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
2213, 18, 20, 21reprf 31782 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑐:(0..^3)⟶(𝑂 ∩ ℙ))
23 c0ex 10623 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
2423tpid1 4696 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ {0, 1, 2}
25 fzo0to3tp 13111 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^3) = {0, 1, 2}
2624, 25eleqtrri 2909 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0..^3)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ∈ (0..^3))
2822, 27ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
2928elin2d 4173 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℙ)
30 1ex 10625 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
3130tpid2 4698 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
3231, 25eleqtrri 2909 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ∈ (0..^3))
3422, 33ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
3534elin2d 4173 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℙ)
36 2ex 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
3736tpid3 4701 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {0, 1, 2}
3837, 25eleqtrri 2909 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (0..^3)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 2 ∈ (0..^3))
4022, 39ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
4140elin2d 4173 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℙ)
4228elin1d 4172 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ 𝑂)
4334elin1d 4172 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ 𝑂)
4440elin1d 4172 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ 𝑂)
4542, 43, 443jca 1120 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂))
4625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (0..^3) = {0, 1, 2})
4746sumeq1d 15046 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ (0..^3)(𝑐𝑖) = Σ𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑖))
4813, 18, 20, 21reprsum 31783 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ (0..^3)(𝑐𝑖) = 𝑛)
49 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘0))
50 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘1))
51 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 2 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘2))
5212, 28sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℕ)
5352nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℂ)
5412, 34sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℕ)
5554nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℂ)
5612, 40sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℕ)
5756nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℂ)
5853, 55, 573jca 1120 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ((𝑐‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘2) ∈ ℂ))
5923a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ∈ V)
6030a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ∈ V)
6136a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 2 ∈ V)
6259, 60, 613jca 1120 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
63 0ne1 11696 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≠ 1
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ≠ 1)
65 0ne2 11832 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≠ 2
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ≠ 2)
67 1ne2 11833 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 2
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ≠ 2)
6949, 50, 51, 58, 62, 64, 66, 68sumtp 15092 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑖) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
7047, 48, 693eqtr3d 2861 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
7145, 70jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2))))
72 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑝𝑂 ↔ (𝑐‘0) ∈ 𝑂))
73723anbi1d 1431 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑐‘0) → ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂)))
74 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑝 + 𝑞) = ((𝑐‘0) + 𝑞))
7574oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑐‘0) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟))
7675eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟)))
7773, 76anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑐‘0) → (((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟))))
78 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = (𝑐‘1) → (𝑞𝑂 ↔ (𝑐‘1) ∈ 𝑂))
79783anbi2d 1432 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = (𝑐‘1) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂)))
80 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = (𝑐‘1) → ((𝑐‘0) + 𝑞) = ((𝑐‘0) + (𝑐‘1)))
8180oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = (𝑐‘1) → (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟))
8281eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = (𝑐‘1) → (𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟)))
8379, 82anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = (𝑐‘1) → ((((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟))))
84 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑐‘2) → (𝑟𝑂 ↔ (𝑐‘2) ∈ 𝑂))
85843anbi3d 1433 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑐‘2) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂)))
86 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑐‘2) → (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
8786eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑐‘2) → (𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2))))
8885, 87anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑐‘2) → ((((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))))
8977, 83, 88rspc3ev 3634 . . . . . . . . 9 ((((𝑐‘0) ∈ ℙ ∧ (𝑐‘1) ∈ ℙ ∧ (𝑐‘2) ∈ ℙ) ∧ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
9029, 35, 41, 71, 89syl31anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
9190adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ∧ ⊤) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ∈ ℕ)
9392nnred 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ∈ ℝ)
9417zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑂𝑛 ∈ ℝ)
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
96 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) < 𝑛)
9793, 95, 96ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ≤ 𝑛)
9814, 9, 97tgoldbachgtd 31832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
99 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∈ V
100 hashneq0 13713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∈ V → (0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅)
10298, 101sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅)
103102neneqd 3018 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ¬ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) = ∅)
104 neq0 4306 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
105103, 104sylib 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
106 tru 1532 . . . . . . . . . . 11
107105, 106jctil 520 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (⊤ ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
108 19.42v 1945 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ (⊤ ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
109107, 108sylibr 235 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
110 exancom 1852 . . . . . . . . 9 (∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
111109, 110sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
112 df-rex 3141 . . . . . . . 8 (∃𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)⊤ ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
113111, 112sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)⊤)
11491, 113r19.29a 3286 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
115 tgoldbachgt.g . . . . . . . . 9 𝐺 = {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))}
116115eleq2i 2901 . . . . . . . 8 (𝑛𝐺𝑛 ∈ {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))})
117 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑛 → (𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
118117anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑛 → (((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
119118rexbidv 3294 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
120119rexbidv 3294 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
121120rexbidv 3294 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
122121elrab3 3678 . . . . . . . 8 (𝑛𝑂 → (𝑛 ∈ {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))} ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
123116, 122syl5bb 284 . . . . . . 7 (𝑛𝑂 → (𝑛𝐺 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
124123biimpar 478 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 𝑛𝐺)
1259, 114, 124syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛𝐺)
126125ex 413 . . . 4 (𝑛𝑂 → ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))
127126rgen 3145 . . 3 𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)
1288, 127pm3.2i 471 . 2 ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))
129 breq1 5060 . . . 4 (𝑚 = (10↑27) → (𝑚 ≤ (10↑27) ↔ (10↑27) ≤ (10↑27)))
130 breq1 5060 . . . . . 6 (𝑚 = (10↑27) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (10↑27) < 𝑛))
131130imbi1d 343 . . . . 5 (𝑚 = (10↑27) → ((𝑚 < 𝑛𝑛𝐺) ↔ ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)))
132131ralbidv 3194 . . . 4 (𝑚 = (10↑27) → (∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺) ↔ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)))
133129, 132anbi12d 630 . . 3 (𝑚 = (10↑27) → ((𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺)) ↔ ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))))
134133rspcev 3620 . 2 (((10↑27) ∈ ℕ ∧ ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺)))
1356, 128, 134mp2an 688 1 𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wtru 1529  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {ctp 4561   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  7c7 11685  0cn0 11885  cz 11969  cdc 12086  ..^cfzo 13021  cexp 13417  chash 13678  Σcsu 15030  cdvds 15595  cprime 16003  reprcrepr 31778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hgt749 31814  ax-ros335 31815  ax-ros336 31816
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-symdif 4216  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-r1 9181  df-rank 9182  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-prod 15248  df-ef 15409  df-e 15410  df-sin 15411  df-cos 15412  df-tan 15413  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-pmtr 18499  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-itg 24151  df-0p 24198  df-limc 24391  df-dv 24392  df-ulm 24892  df-log 25067  df-cxp 25068  df-atan 25372  df-cht 25601  df-vma 25602  df-chp 25603  df-dp2 30475  df-dp 30492  df-repr 31779  df-vts 31806
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator