MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supminf 12971
Description: The supremum of a bounded-above set of reals is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) ( Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
supminf ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem supminf
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4076 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ⊆ ℝ
2 negn0 11693 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅)
3 ublbneg 12969 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
4 infrenegsup 12249 . . . . 5 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ))
51, 2, 3, 4mp3an3an 1464 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ))
653impa 1107 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ))
7 elrabi 3675 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 ssel2 3974 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 negeq 11502 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → -𝑤 = -𝑥)
1110eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (-𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
1211elrab3 3682 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
13 renegcl 11573 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14 negeq 11502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
1514eleq1d 2811 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1615elrab3 3682 . . . . . . . . . 10 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
1713, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
18 recn 11248 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1918negnegd 11612 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
2019eleq1d 2811 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
2112, 17, 203bitrd 304 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
2221adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
238, 9, 22eqrdav 2725 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} = 𝐴)
2423supeq1d 9489 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
25243ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2625negeqd 11504 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
276, 26eqtrd 2766 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
28 infrecl 12248 . . . . 5 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
291, 2, 3, 28mp3an3an 1464 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30293impa 1107 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
31 suprcl 12226 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32 recn 11248 . . . 4 (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33 recn 11248 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
34 negcon2 11563 . . . 4 ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < )))
3532, 33, 34syl2an 594 . . 3 ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < )))
3630, 31, 35syl2anc 582 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < )))
3727, 36mpbid 231 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  wss 3947  c0 4325   class class class wbr 5153  supcsup 9483  infcinf 9484  cc 11156  cr 11157   < clt 11298  cle 11299  -cneg 11495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497
This theorem is referenced by:  supminfrnmpt  45060
  Copyright terms: Public domain W3C validator