Theorem supminf 12323

Description: The supremum of a bounded-above set of reals is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) ( Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
supminf	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem supminf

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4007	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
2		negn0 11058	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
3		ublbneg 12321	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
4		infrenegsup 11611	. . . . 5 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
5	1, 2, 3, 4	mp3an3an 1464	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
6	5	3impa 1107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
7		elrabi 3623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		ssel2 3910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		negeq 10867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -𝑤 = -𝑥)
11	10	eleq1d 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (-𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
12	11	elrab3 3629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
13		renegcl 10938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14		negeq 10867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
15	14	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	elrab3 3629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
17	13, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
18		recn 10616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	18	negnegd 10977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
20	19	eleq1d 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
21	12, 17, 20	3bitrd 308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
22	21	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
23	8, 9, 22	eqrdav 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} = 𝐴)
24	23	supeq1d 8894	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
25	24	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
26	25	negeqd 10869	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27	6, 26	eqtrd 2833	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
28		infrecl 11610	. . . . 5 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
29	1, 2, 3, 28	mp3an3an 1464	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30	29	3impa 1107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
31		suprcl 11588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32		recn 10616	. . . 4 ⊢ (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33		recn 10616	. . . 4 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
34		negcon2 10928	. . . 4 ⊢ ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
35	32, 33, 34	syl2an 598	. . 3 ⊢ ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
36	30, 31, 35	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
37	27, 36	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  supcsup 8888  infcinf 8889  ℂcc 10524  ℝcr 10525   < clt 10664   ≤ cle 10665  -cneg 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  supminfrnmpt  42082