Theorem supminf 12883

Description: The supremum of a bounded-above set of reals is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) ( Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
supminf	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem supminf

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4018	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
2		negn0 11577	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
3		ublbneg 12881	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
4		infrenegsup 12137	. . . . 5 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
5	1, 2, 3, 4	mp3an3an 1475	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
6	5	3impa 1115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
7		elrabi 3632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		ssel2 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		negeq 11383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -𝑤 = -𝑥)
11	10	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (-𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
12	11	elrab3 3637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
13		renegcl 11455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14		negeq 11383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
15	14	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	elrab3 3637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
17	13, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
18		recn 11126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	18	negnegd 11494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
20	19	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
21	12, 17, 20	3bitrd 306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
22	21	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
23	8, 9, 22	eqrdav 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} = 𝐴)
24	23	supeq1d 9356	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
25	24	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
26	25	negeqd 11385	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
27	6, 26	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
28		infrecl 12136	. . . . 5 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
29	1, 2, 3, 28	mp3an3an 1475	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30	29	3impa 1115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
31		suprcl 12114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32		recn 11126	. . . 4 ⊢ (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33		recn 11126	. . . 4 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
34		negcon2 11445	. . . 4 ⊢ ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
35	32, 33, 34	syl2an 602	. . 3 ⊢ ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
36	30, 31, 35	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
37	27, 36	mpbid 233	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  supcsup 9350  infcinf 9351  ℂcc 11034  ℝcr 11035   < clt 11177   ≤ cle 11178  -cneg 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  supminfrnmpt  45895