MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supminf 12020
Description: The supremum of a bounded-above set of reals is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) ( Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
supminf ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem supminf
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negn0 10751 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅)
2 ublbneg 12018 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
3 ssrab2 3883 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ⊆ ℝ
4 infrenegsup 11298 . . . . . 6 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ))
53, 4mp3an1 1573 . . . . 5 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ))
61, 2, 5syl2an 590 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ))
763impa 1137 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ))
8 elrabi 3551 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantl 474 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 ssel2 3793 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 negeq 10564 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → -𝑤 = -𝑥)
1211eleq1d 2863 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (-𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
1312elrab3 3558 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
14 renegcl 10636 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
15 negeq 10564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
1615eleq1d 2863 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1716elrab3 3558 . . . . . . . . . 10 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
1814, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
19 recn 10314 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2019negnegd 10675 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
2120eleq1d 2863 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
2213, 18, 213bitrd 297 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
2322adantl 474 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
249, 10, 23eqrdav 2798 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} = 𝐴)
2524supeq1d 8594 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
26253ad2ant1 1164 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2726negeqd 10566 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
287, 27eqtrd 2833 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
29 infrecl 11297 . . . . . 6 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
303, 29mp3an1 1573 . . . . 5 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
311, 2, 30syl2an 590 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32313impa 1137 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
33 suprcl 11275 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
34 recn 10314 . . . 4 (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
35 recn 10314 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
36 negcon2 10626 . . . 4 ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < )))
3734, 35, 36syl2an 590 . . 3 ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < )))
3832, 33, 37syl2anc 580 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < )))
3928, 38mpbid 224 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  {crab 3093  wss 3769  c0 4115   class class class wbr 4843  supcsup 8588  infcinf 8589  cc 10222  cr 10223   < clt 10363  cle 10364  -cneg 10557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559
This theorem is referenced by:  supminfrnmpt  40415
  Copyright terms: Public domain W3C validator