Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supminf 12375
 Description: The supremum of a bounded-above set of reals is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) ( Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
supminf ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem supminf
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3984 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ⊆ ℝ
2 negn0 11107 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅)
3 ublbneg 12373 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
4 infrenegsup 11660 . . . . 5 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ))
51, 2, 3, 4mp3an3an 1464 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ))
653impa 1107 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ))
7 elrabi 3596 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 ssel2 3887 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 negeq 10916 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → -𝑤 = -𝑥)
1110eleq1d 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (-𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
1211elrab3 3603 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
13 renegcl 10987 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14 negeq 10916 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
1514eleq1d 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1615elrab3 3603 . . . . . . . . . 10 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
1713, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
18 recn 10665 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1918negnegd 11026 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
2019eleq1d 2836 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
2112, 17, 203bitrd 308 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
2221adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} ↔ 𝑥𝐴))
238, 9, 22eqrdav 2757 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}} = 𝐴)
2423supeq1d 8943 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
25243ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2625negeqd 10918 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
276, 26eqtrd 2793 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
28 infrecl 11659 . . . . 5 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
291, 2, 3, 28mp3an3an 1464 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30293impa 1107 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
31 suprcl 11637 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32 recn 10665 . . . 4 (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
33 recn 10665 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
34 negcon2 10977 . . . 4 ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < )))
3532, 33, 34syl2an 598 . . 3 ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < )))
3630, 31, 35syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < )))
3727, 36mpbid 235 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225   class class class wbr 5032  supcsup 8937  infcinf 8938  ℂcc 10573  ℝcr 10574   < clt 10713   ≤ cle 10714  -cneg 10909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911 This theorem is referenced by:  supminfrnmpt  42448
 Copyright terms: Public domain W3C validator