Theorem supminf 12020

Description: The supremum of a bounded-above set of reals is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) ( Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
supminf	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem supminf

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negn0 10751	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
2		ublbneg 12018	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
3		ssrab2 3883	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
4		infrenegsup 11298	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
5	3, 4	mp3an1 1573	. . . . 5 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
6	1, 2, 5	syl2an 590	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
7	6	3impa 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
8		elrabi 3551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		ssel2 3793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		negeq 10564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -𝑤 = -𝑥)
12	11	eleq1d 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (-𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
13	12	elrab3 3558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} ↔ -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
14		renegcl 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
15		negeq 10564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
16	15	eleq1d 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
17	16	elrab3 3558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
19		recn 10314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
20	19	negnegd 10675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
21	20	eleq1d 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
22	13, 18, 21	3bitrd 297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
23	22	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
24	9, 10, 23	eqrdav 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}} = 𝐴)
25	24	supeq1d 8594	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
26	25	3ad2ant1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
27	26	negeqd 10566	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
28	7, 27	eqtrd 2833	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
29		infrecl 11297	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30	3, 29	mp3an1 1573	. . . . 5 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
31	1, 2, 30	syl2an 590	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
32	31	3impa 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
33		suprcl 11275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
34		recn 10314	. . . 4 ⊢ (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ → inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
35		recn 10314	. . . 4 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
36		negcon2 10626	. . . 4 ⊢ ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
37	34, 35, 36	syl2an 590	. . 3 ⊢ ((inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
38	32, 33, 37	syl2anc 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
39	28, 38	mpbid 224	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  {crab 3093   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115   class class class wbr 4843  supcsup 8588  infcinf 8589  ℂcc 10222  ℝcr 10223   < clt 10363   ≤ cle 10364  -cneg 10557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559

This theorem is referenced by:  supminfrnmpt  40415