Theorem smuval 15885

Description: Define the addition of two bit sequences, using df-had 1595 and df-cad 1609 bit operations. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
smuval	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smuval

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		smuval.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		smuval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4	1, 2, 3	smufval 15881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))})
5	4	eleq2d 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
6		smuval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝑘 = 𝑁)
8		fvoveq1 7178	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
9	7, 8	eleq12d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
10	9	elrab3 3605	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
11	6, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
12	5, 11	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  ifcif 4423  𝒫 cpw 4497   ↦ cmpt 5115  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   − cmin 10913  ℕ₀cn0 11939  seqcseq 13423   sadd csad 15824   smul csmu 15825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-1cn 10638  ax-addcl 10640

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-nn 11680  df-n0 11940  df-seq 13424  df-smu 15880

This theorem is referenced by:  smuval2  15886  smupvallem  15887  smu01lem  15889