Theorem dvdslcmf 15974

Description: The least common multiple of a set of integers is divisible by each of its elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dvdslcmf	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))

Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Proof of Theorem dvdslcmf

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
2	1	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
3	2	imp 409	. . . . 5 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		dvds0 15624	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∥ 0)
6		lcmf0val 15965	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = 0)
7	6	ad4ant13 749	. . . 4 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = 0)
8	5, 7	breqtrrd 5093	. . 3 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
9	8	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
10		df-nel 3124	. . . 4 ⊢ (0 ∉ 𝑍 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑍)
11		lcmfcllem 15968	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
12	11	3expa 1114	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
13	10, 12	sylan2br 596	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
14		lcmfn0cl 15969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
15	14	3expa 1114	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
16	10, 15	sylan2br 596	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
17		breq2 5069	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (lcm‘𝑍) → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
18	17	ralbidv 3197	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (lcm‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
19	18	elrab3 3680	. . . 4 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ → ((lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
21	13, 20	mpbid 234	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
22	9, 21	pm2.61dan 811	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3123  ∀wral 3138  {crab 3142   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  Fincfn 8508  0cc0 10536  ℕcn 11637  ℤcz 11980   ∥ cdvds 15606  lcmclcmf 15932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-prod 15259  df-dvds 15607  df-lcmf 15934

This theorem is referenced by:  lcmf  15976  lcmfunsnlem2lem2  15982  lcmfdvdsb  15986  prmodvdslcmf  16382  prmgaplcmlem1  16386