MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslcmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslcmf 16664
Description: The least common multiple of a set of integers is divisible by each of its elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
dvdslcmf ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Proof of Theorem dvdslcmf
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3988 . . . . . . 7 (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑥𝑍𝑥 ∈ ℤ))
21ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → (𝑥𝑍𝑥 ∈ ℤ))
32imp 406 . . . . 5 ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥𝑍) → 𝑥 ∈ ℤ)
4 dvds0 16305 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
53, 4syl 17 . . . 4 ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥𝑍) → 𝑥 ∥ 0)
6 lcmf0val 16655 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 0 ∈ 𝑍) → (lcm𝑍) = 0)
76ad4ant13 751 . . . 4 ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥𝑍) → (lcm𝑍) = 0)
85, 7breqtrrd 5175 . . 3 ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥𝑍) → 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
98ralrimiva 3143 . 2 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
10 df-nel 3044 . . . 4 (0 ∉ 𝑍 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑍)
11 lcmfcllem 16658 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑍 𝑥𝑛})
12113expa 1117 . . . 4 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑍 𝑥𝑛})
1310, 12sylan2br 595 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑍 𝑥𝑛})
14 lcmfn0cl 16659 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
15143expa 1117 . . . . 5 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
1610, 15sylan2br 595 . . . 4 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
17 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑛 = (lcm𝑍) → (𝑥𝑛𝑥 ∥ (lcm𝑍)))
1817ralbidv 3175 . . . . 5 (𝑛 = (lcm𝑍) → (∀𝑥𝑍 𝑥𝑛 ↔ ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍)))
1918elrab3 3695 . . . 4 ((lcm𝑍) ∈ ℕ → ((lcm𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑍 𝑥𝑛} ↔ ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍)))
2016, 19syl 17 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ((lcm𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑍 𝑥𝑛} ↔ ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍)))
2113, 20mpbid 232 . 2 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
229, 21pm2.61dan 813 1 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wnel 3043  wral 3058  {crab 3432  wss 3962   class class class wbr 5147  cfv 6562  Fincfn 8983  0cc0 11152  cn 12263  cz 12610  cdvds 16286  lcmclcmf 16622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-prod 15936  df-dvds 16287  df-lcmf 16624
This theorem is referenced by:  lcmf  16666  lcmfunsnlem2lem2  16672  lcmfdvdsb  16676  prmodvdslcmf  17080  prmgaplcmlem1  17084  lcmineqlem4  42013
  Copyright terms: Public domain W3C validator