Theorem dvdslcmf 16754

Description: The least common multiple of a set of integers is divisible by each of its elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dvdslcmf	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))

Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Proof of Theorem dvdslcmf

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
2	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
3	2	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		dvds0 16394	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∥ 0)
6		lcmf0val 16745	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = 0)
7	6	ad4ant13 764	. . . 4 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = 0)
8	5, 7	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
9	8	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
10		df-nel 3062	. . . 4 ⊢ (0 ∉ 𝑍 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑍)
11		lcmfcllem 16748	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
12	11	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
13	10, 12	sylan2br 607	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
14		lcmfn0cl 16749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
15	14	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
16	10, 15	sylan2br 607	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
17		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (lcm‘𝑍) → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
18	17	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (lcm‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
19	18	elrab3 3646	. . . 4 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ → ((lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
20	16, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
21	13, 20	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
22	9, 21	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  Fincfn 8952  0cc0 11157  ℕcn 12290  ℤcz 12648   ∥ cdvds 16375  lcmclcmf 16712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-prod 16026  df-dvds 16376  df-lcmf 16714

This theorem is used by:  lcmf  16756  lcmfunsnlem2lem2  16762  lcmfdvdsb  16766  prmodvdslcmf  17172  prmgaplcmlem1  17176  lcmineqlem4  42996