Theorem dvdslcmf 16578

Description: The least common multiple of a set of integers is divisible by each of its elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dvdslcmf	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))

Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Proof of Theorem dvdslcmf

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
2	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
3	2	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		dvds0 16218	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∥ 0)
6		lcmf0val 16569	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = 0)
7	6	ad4ant13 751	. . . 4 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = 0)
8	5, 7	breqtrrd 5130	. . 3 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
9	8	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
10		df-nel 3030	. . . 4 ⊢ (0 ∉ 𝑍 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑍)
11		lcmfcllem 16572	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
12	11	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
13	10, 12	sylan2br 595	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
14		lcmfn0cl 16573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
15	14	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
16	10, 15	sylan2br 595	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
17		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (lcm‘𝑍) → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
18	17	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (lcm‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
19	18	elrab3 3657	. . . 4 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ → ((lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
21	13, 20	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
22	9, 21	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  {crab 3402   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  Fincfn 8895  0cc0 11046  ℕcn 12164  ℤcz 12507   ∥ cdvds 16199  lcmclcmf 16536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12930  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15431  df-prod 15847  df-dvds 16200  df-lcmf 16538

This theorem is referenced by:  lcmf  16580  lcmfunsnlem2lem2  16586  lcmfdvdsb  16590  prmodvdslcmf  16995  prmgaplcmlem1  16999  lcmineqlem4  42014