Theorem dvdslcmf 16336

Description: The least common multiple of a set of integers is divisible by each of its elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dvdslcmf	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))

Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Proof of Theorem dvdslcmf

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
2	1	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
3	2	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		dvds0 15981	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∥ 0)
6		lcmf0val 16327	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = 0)
7	6	ad4ant13 748	. . . 4 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = 0)
8	5, 7	breqtrrd 5102	. . 3 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
9	8	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
10		df-nel 3050	. . . 4 ⊢ (0 ∉ 𝑍 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑍)
11		lcmfcllem 16330	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
12	11	3expa 1117	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
13	10, 12	sylan2br 595	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
14		lcmfn0cl 16331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
15	14	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
16	10, 15	sylan2br 595	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
17		breq2 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (lcm‘𝑍) → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
18	17	ralbidv 3112	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (lcm‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
19	18	elrab3 3625	. . . 4 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ → ((lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
21	13, 20	mpbid 231	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
22	9, 21	pm2.61dan 810	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3049  ∀wral 3064  {crab 3068   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  0cc0 10871  ℕcn 11973  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963  lcmclcmf 16294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-dvds 15964  df-lcmf 16296

This theorem is referenced by:  lcmf  16338  lcmfunsnlem2lem2  16344  lcmfdvdsb  16348  prmodvdslcmf  16748  prmgaplcmlem1  16752  lcmineqlem4  40040