Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem1 33129
Description: Lemma for cycpmco2 33136. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem1 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼)) = ((𝑀𝑊)‘𝐽))

Proof of Theorem cycpmco2lem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.c . . 3 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpmco2.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpmco2.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
43eldifad 3975 . . 3 (𝜑𝐼𝐷)
5 ssrab2 4090 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
6 cycpmco2.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
7 cycpmco2.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
8 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
91, 7, 8tocycf 33120 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
102, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
1110fdmd 6747 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
126, 11eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
135, 12sselid 3993 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
14 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
15 dmeq 5917 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
16 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
1714, 15, 16f1eq123d 6841 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1817elrab3 3696 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1918biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) → 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
2013, 12, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
21 f1f 6805 . . . . . 6 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊𝐷)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊:dom 𝑊𝐷)
2322frnd 6745 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑊𝐷)
24 cycpmco2.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
2523, 24sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝐽𝐷)
263eldifbd 3976 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
27 nelne2 3038 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ran 𝑊 ∧ ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊) → 𝐽𝐼)
2824, 26, 27syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐽𝐼)
2928necomd 2994 . . 3 (𝜑𝐼𝐽)
301, 2, 4, 25, 29, 7cyc2fv1 33124 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)
3130fveq2d 6911 1 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼)) = ((𝑀𝑊)‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  cdif 3960  cotp 4639  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  Word cword 14549  ⟨“cs1 14630   splice csplice 14784  ⟨“cs2 14877  Basecbs 17245  SymGrpcsymg 19401  toCycctocyc 33109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18895  df-symg 19402  df-tocyc 33110
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  33132
  Copyright terms: Public domain W3C validator