Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem1 31112
Description: Lemma for cycpmco2 31119. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem1 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼)) = ((𝑀𝑊)‘𝐽))

Proof of Theorem cycpmco2lem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.c . . 3 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpmco2.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpmco2.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
43eldifad 3878 . . 3 (𝜑𝐼𝐷)
5 ssrab2 3993 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
6 cycpmco2.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
7 cycpmco2.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
8 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
91, 7, 8tocycf 31103 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
102, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
1110fdmd 6556 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
126, 11eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
135, 12sseldi 3899 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
14 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
15 dmeq 5772 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
16 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
1714, 15, 16f1eq123d 6653 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1817elrab3 3603 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1918biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) → 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
2013, 12, 19syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
21 f1f 6615 . . . . . 6 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊𝐷)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊:dom 𝑊𝐷)
2322frnd 6553 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑊𝐷)
24 cycpmco2.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
2523, 24sseldd 3902 . . 3 (𝜑𝐽𝐷)
263eldifbd 3879 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
27 nelne2 3039 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ran 𝑊 ∧ ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊) → 𝐽𝐼)
2824, 26, 27syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐽𝐼)
2928necomd 2996 . . 3 (𝜑𝐼𝐽)
301, 2, 4, 25, 29, 7cyc2fv1 31107 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)
3130fveq2d 6721 1 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼)) = ((𝑀𝑊)‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  {crab 3065  cdif 3863  cotp 4549  ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552  wf 6376  1-1wf1 6377  cfv 6380  (class class class)co 7213  1c1 10730   + caddc 10732  Word cword 14069  ⟨“cs1 14152   splice csplice 14314  ⟨“cs2 14406  Basecbs 16760  SymGrpcsymg 18759  toCycctocyc 31092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-csh 14354  df-s2 14413  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-tset 16821  df-efmnd 18296  df-symg 18760  df-tocyc 31093
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  31115
  Copyright terms: Public domain W3C validator