Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem1 32825
Description: Lemma for cycpmco2 32832. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmco2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
cycpmco2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2.e 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
cycpmco2.1 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ)) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½))

Proof of Theorem cycpmco2lem1
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.c . . 3 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
2 cycpmco2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 cycpmco2.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
43eldifad 3956 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
5 ssrab2 4073 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} βŠ† Word 𝐷
6 cycpmco2.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
7 cycpmco2.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
8 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
91, 7, 8tocycf 32816 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
102, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
1110fdmd 6727 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
126, 11eleqtrd 2830 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
135, 12sselid 3976 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
14 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
15 dmeq 5900 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
16 eqidd 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
1714, 15, 16f1eq123d 6825 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1817elrab3 3681 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
1918biimpa 476 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
2013, 12, 19syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
21 f1f 6787 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ·)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ·)
2322frnd 6724 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran π‘Š βŠ† 𝐷)
24 cycpmco2.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
2523, 24sseldd 3979 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
263eldifbd 3957 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐼 ∈ ran π‘Š)
27 nelne2 3035 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ran π‘Š ∧ Β¬ 𝐼 ∈ ran π‘Š) β†’ 𝐽 β‰  𝐼)
2824, 26, 27syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐼)
2928necomd 2991 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
301, 2, 4, 25, 29, 7cyc2fv1 32820 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ) = 𝐽)
3130fveq2d 6895 1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ)) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  {crab 3427   βˆ– cdif 3941  βŸ¨cotp 4632  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131   + caddc 11133  Word cword 14488  βŸ¨β€œcs1 14569   splice csplice 14723  βŸ¨β€œcs2 14816  Basecbs 17171  SymGrpcsymg 19312  toCycctocyc 32805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-csh 14763  df-s2 14823  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-tset 17243  df-efmnd 18812  df-symg 19313  df-tocyc 32806
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  32828
  Copyright terms: Public domain W3C validator