Theorem cycpmco2lem1 33207

Description: Lemma for cycpmco2 33214. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼)) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐽))

Proof of Theorem cycpmco2lem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2.c	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpmco2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpmco2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
4	3	eldifad 3895	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
5		ssrab2 4011	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
6		cycpmco2.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
7		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
8		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 7, 8	tocycf 33198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
11	10	fdmd 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
12	6, 11	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
13	5, 12	sselid 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
14		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
15		dmeq 5845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
16		eqidd 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
17	14, 15, 16	f1eq123d 6759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
18	17	elrab3 3630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
19	18	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
20	13, 12, 19	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
21		f1f 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
23	22	frnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
24		cycpmco2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
25	23, 24	sseldd 3916	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
26	3	eldifbd 3896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
27		nelne2 3032	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ran 𝑊 ∧ ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊) → 𝐽 ≠ 𝐼)
28	24, 26, 27	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐼)
29	28	necomd 2989	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
30	1, 2, 4, 25, 29, 7	cyc2fv1 33202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)
31	30	fveq2d 6831	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼)) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391   ∖ cdif 3880  ⟨cotp 4563  ^◡ccnv 5617  dom cdm 5618  ran crn 5619  ⟶wf 6481  –1-1→wf1 6482  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030   + caddc 11032  Word cword 14466  ⟨“cs1 14549   splice csplice 14702  ⟨“cs2 14794  Basecbs 17170  SymGrpcsymg 19335  toCycctocyc 33187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14742  df-s2 14801  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-efmnd 18828  df-symg 19336  df-tocyc 33188

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  33210