Theorem cycpmco2lem1 33486

Description: Lemma for cycpmco2 33493. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼)) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐽))

Proof of Theorem cycpmco2lem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2.c	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpmco2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpmco2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
4	3	eldifad 3918	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
5		ssrab2 4035	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
6		cycpmco2.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
7		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
8		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 7, 8	tocycf 33477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
10	2, 9	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
11	10	fdmd 6720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
12	6, 11	eleqtrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
13	5, 12	sselid 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
14		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
15		dmeq 5895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
16		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
17	14, 15, 16	f1eq123d 6816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
18	17	elrab3 3653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
19	18	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
20	13, 12, 19	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
21		f1f 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
23	22	frnd 6718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
24		cycpmco2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
25	23, 24	sseldd 3939	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
26	3	eldifbd 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
27		nelne2 3058	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ran 𝑊 ∧ ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊) → 𝐽 ≠ 𝐼)
28	24, 26, 27	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐼)
29	28	necomd 3015	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
30	1, 2, 4, 25, 29, 7	cyc2fv1 33481	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)
31	30	fveq2d 6889	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼)) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {crab 3418   ∖ cdif 3903  ⟨cotp 4599  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1c1 11112   + caddc 11114  Word cword 14564  ⟨“cs1 14648   splice csplice 14804  ⟨“cs2 14898  Basecbs 17287  SymGrpcsymg 19463  toCycctocyc 33466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-hash 14381  df-word 14565  df-concat 14622  df-s1 14649  df-substr 14695  df-pfx 14727  df-csh 14846  df-s2 14905  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-tset 17347  df-efmnd 18952  df-symg 19464  df-tocyc 33467

This theorem is used by:  cycpmco2lem4  33489