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Theorem aks4d1p8 40544
Description: Show that 𝑁 and 𝑅 are coprime for AKS existence theorem, with eliminated hypothesis. (Contributed by metakunt, 10-Nov-2024.) (Proof sketch by Thierry Arnoux.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p8.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p8.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p8.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p8.4 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
aks4d1p8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p8
Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑥 𝑜 𝑓 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p8.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
2 aks4d1p8.2 . 2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
3 aks4d1p8.3 . 2 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4 aks4d1p8.4 . 2 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
54a1i 11 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ))
6 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵)
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵))
8 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
109nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
1110ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
1211ssrdv 3950 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
137, 12sstrd 3954 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
18 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
1918, 7ssfid 9211 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
201, 2, 3aks4d1p3 40535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
21 rabn0 4345 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅)
23 fiminre 12102 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
2413, 19, 22, 23syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
2827adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
29 breq1 5108 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (𝑟𝐴 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
3029notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
31 1zzd 12534 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
323a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
35 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
37 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
381, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3938zred 12607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
40 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
41 3re 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
43 3pos 12258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 3)
45 eluzle 12776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
461, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
4740, 42, 39, 44, 46ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
48 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 < 2)
5148, 50ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≠ 2)
5251necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 1)
5334, 36, 39, 47, 52relogbcld 40430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
54 5nn0 12433 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
5653, 55reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
5756ceilcld 13748 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
5832, 57eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
5958ad4antr 730 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
60 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝𝑅)
61 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
6261adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
6362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
6463nnzd 12526 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℤ)
6562nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ≠ 0)
6665ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ≠ 0)
671, 2, 3, 4aks4d1p4 40536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅𝐴))
6867simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ (1...𝐵))
69 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
7170ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
7372nnzd 12526 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
74 anass 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ↔ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)))
7574anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) ↔ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
7675imbi1i 349 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ) ↔ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ))
7773, 76mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
78 dvdsval2 16139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
7964, 66, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
8060, 79mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ)
8163nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℂ)
8281mulid2d 11173 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
8375, 72sylbir 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
8464, 83jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ))
85 dvdsle 16192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝𝑅𝑝𝑅))
8685imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) ∧ 𝑝𝑅) → 𝑝𝑅)
8784, 60, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝𝑅)
8882, 87eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) ≤ 𝑅)
89 1red 11156 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
9070nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
9563nnrpd 12955 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ+)
9689, 94, 95lemuldivd 13006 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((1 · 𝑝) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
9788, 96mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ≤ (𝑅 / 𝑝))
9890ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
9958ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
10099zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10162nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
102100, 101remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 · 𝑝) ∈ ℝ)
103 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅𝐵)
10468, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅𝐵)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅𝐵)
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅𝐵)
10758zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
108 9re 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℝ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
110 9pos 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 9
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 9)
11232, 107eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
11339, 463lexlogpow5ineq4 40513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
11456ceilged 13751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
115109, 56, 112, 113, 114ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
116115, 32breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 9 < 𝐵)
11740, 109, 107, 111, 116lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < 𝐵)
11840, 107, 117ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
119118adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 0 ≤ 𝐵)
120119adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐵)
12162nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ 𝑝)
122100, 101, 120, 121lemulge11d 12092 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ≤ (𝐵 · 𝑝))
12398, 100, 102, 106, 122letrd 11312 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝))
12462nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ+)
12598, 100, 124ledivmul2d 13011 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝)))
126123, 125mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
127126adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
128127adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
12931, 59, 80, 97, 128elfzd 13432 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ (1...𝐵))
13093recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 ∈ ℂ)
13162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
132131nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
133 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
13471anasss 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 ∈ ℕ)
135133, 134pccld 16722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
136132, 135zexpcld 13993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
137136zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℂ)
138131nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℂ)
13965adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ≠ 0)
140135nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℤ)
141138, 139, 140expne0d 14057 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0)
142130, 137, 141divcan1d 11932 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 𝑅)
143142eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 = ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
144 pcdvds 16736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
145133, 134, 144syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
146134nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 ∈ ℤ)
147 dvdsval2 16139 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
148136, 141, 146, 147syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
149145, 148mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ)
15038, 47jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
151 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁)))
153150, 152mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
154153nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
15534, 36, 107, 117, 52relogbcld 40430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
156155flcld 13703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
15734recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15840, 36gtned 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 2 ≠ 0)
159 logb1 26119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
160157, 158, 52, 159syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
161160eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
162 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℤ
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
16434leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ≤ 2)
165 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < 1
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 < 1)
167 1lt9 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 9
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 9)
16948, 109, 107, 168, 116lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 1 < 𝐵)
17048, 107, 169ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
171163, 164, 48, 166, 107, 117, 170logblebd 40433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
172161, 171eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
173 0zd 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
174 flge 13710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
175155, 173, 174syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
176172, 175mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
177156, 176jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
178 elnn0z 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
179178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))))
180177, 179mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
181154, 180zexpcld 13993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
182 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
183154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
184 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
185184adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
186185nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
187183, 186zexpcld 13993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
188 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
189187, 188zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
190182, 189fprodzcl 15837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
191181, 190zmulcld 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
1922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
193192eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
194191, 193mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
195194ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
196 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝𝑅)
197134, 133, 196aks4d1p8d3 40543 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 1)
198138exp0d 14045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑0) = 1)
199 pcelnn 16742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑅))
200133, 134, 199syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑅))
201196, 200mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ)
202201nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 0 < (𝑝 pCnt 𝑅))
203101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
204173ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
205 prmgt1 16573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
206205adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
207206adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 < 𝑝)
208203, 204, 140, 207ltexp2d 14154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (0 < (𝑝 pCnt 𝑅) ↔ (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
209202, 208mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
210198, 209eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
211136zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ)
21270nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
213212adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
214213adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ+)
215214adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
216211, 215ltmulgt11d 12992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
217210, 216mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
218124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
219218, 140rpexpcld 14150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+)
22093, 93, 219ltdivmul2d 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
221217, 220mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅)
22293, 211, 141redivcld 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℝ)
223222, 93ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
224221, 223mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
2254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ))
226225breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
227226notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
228224, 227mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
229 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℕ)
230229adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℕ)
231230nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℝ)
232231ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℝ))
233232ssrdv 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
2347, 233sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
235234adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
236235adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
237236adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
23819adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
239238adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
240239adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
241 infrefilb 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
2422413expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
243242ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
244243con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
245237, 240, 244syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
246228, 245mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
247 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
24899adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
249137mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
250 dvdsle 16192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
251136, 134, 250syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
252145, 251mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
253249, 252eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
25448adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
255254ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
256255, 93, 219lemuldivd 13006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
257253, 256mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
258100adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
259121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ 𝑝)
260203, 135, 259expge1d 14070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
261 nnledivrp 13027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
262134, 219, 261syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
263260, 262mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
264106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅𝐵)
265222, 93, 258, 263, 264letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝐵)
266247, 248, 149, 257, 265elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵))
267 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (𝑟𝐴 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
268267notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
269268elrab3 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
270269con2bid 354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
271266, 270syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
272246, 271mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
273134ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
274153adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
275274adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
276275adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
277276adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
27874, 277sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
279278ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
280133ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑝 ∈ ℙ)
281 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑞 ∈ ℙ)
282196ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑝𝑅)
283 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑞𝑅)
284 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝𝑁)
285284adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → ¬ 𝑝𝑁)
286 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑞𝑁)
287273, 279, 280, 281, 282, 283, 285, 286aks4d1p8d2 40542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
288 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
289288ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
290255, 289ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≠ (𝑁 gcd 𝑅))
291290necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1)
292278, 134prmdvdsncoprmbd 16602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞𝑅) ↔ (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1))
293292bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞𝑅)))
294293biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞𝑅)))
295291, 294mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞𝑅))
296287, 295r19.29a 3159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
297211, 93ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
298296, 297mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
299225breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
300299notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
301298, 300mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
302 infrefilb 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
3033023expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
304303ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
305304con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
306237, 240, 305syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
307301, 306mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
308211, 93, 258, 252, 264letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝐵)
309247, 248, 136, 260, 308elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵))
310 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (𝑟𝐴 ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
311310notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
312311elrab3 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
313309, 312syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
314313con2bid 354 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
315307, 314mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴)
316149, 136, 195, 197, 272, 315coprmdvds2d 40459 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
317143, 316eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅𝐴)
318317adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅𝐴)
31967simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝑅𝐴)
320319ad5antr 732 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅𝐴)
32175, 320sylbir 234 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅𝐴)
322318, 321pm2.21dd 194 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴)
32330, 129, 322elrabd 3647 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
324 lbinfle 12110 . . . . . . 7 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦 ∧ (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
32517, 28, 323, 324syl3anc 1371 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
3265, 325eqbrtrd 5127 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
327207adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 < 𝑝)
328 1rp 12919 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
329328a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
330215adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ+)
331329, 95, 330ltdiv2d 12980 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 < 𝑝 ↔ (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1)))
332327, 331mpbid 231 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1))
333130adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
334333div1d 11923 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 1) = 𝑅)
335332, 334breqtrd 5131 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < 𝑅)
33698, 101, 65redivcld 11983 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
337336adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
338337adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
339338, 94ltnled 11302 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((𝑅 / 𝑝) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
340335, 339mpbid 231 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
341326, 340pm2.65da 815 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
3421, 2, 3, 4aks4d1p7 40540 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁))
343342adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁))
344341, 343r19.29a 3159 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
345344adantr 481 . 2 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
3461, 2, 3, 4, 345aks4d1p5 40537 1 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  5c5 12211  9c9 12215  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  cfl 13695  cceil 13696  cexp 13967  cprod 15788  cdvds 16136   gcd cgcd 16374  cprime 16547   pCnt cpc 16708   logb clogb 26114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-ceil 13698  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-lcm 16466  df-lcmf 16467  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-logb 26115
This theorem is referenced by:  aks4d1p9  40545  aks4d1  40546
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