Theorem aks4d1p8 42068

Description: Show that 𝑁 and 𝑅 are coprime for AKS existence theorem, with eliminated hypothesis. (Contributed by metakunt, 10-Nov-2024.) (Proof sketch by Thierry Arnoux.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p8.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p8.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p8.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p8

Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑥 𝑜 𝑓 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		aks4d1p8.2	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
3		aks4d1p8.3	. 2 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4		aks4d1p8.4	. 2 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
6		ssrab2 4089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵)
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵))
8		elfznn 13589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
10	9	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
11	10	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
12	11	ssrdv 4000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
13	7, 12	sstrd 4005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
18		fzfid 14010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
19	18, 7	ssfid 9298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
20	1, 2, 3	aks4d1p3 42059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
21		rabn0 4394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
22	20, 21	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅)
23		fiminre 12212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
24	13, 19, 22, 23	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
29		breq1 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
30	29	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
31		1zzd 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
32	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33		2re 12337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
35		2pos 12366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
37		eluzelz 12885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	1, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
39	38	zred 12719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
40		0red 11261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
41		3re 12343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
43		3pos 12368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
45		eluzle 12888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
47	40, 42, 39, 44, 46	ltletrd 11418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
48		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49		1lt2 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
51	48, 50	ltned 11394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
52	51	necomd 2993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
53	34, 36, 39, 47, 52	relogbcld 41954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
54		5nn0 12543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
56	53, 55	reexpcld 14199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
57	56	ceilcld 13879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
58	32, 57	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
59	58	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
60		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝑅)
61		prmnn 16707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
63	62	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℤ)
65	62	nnne0d 12313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ≠ 0)
66	65	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ≠ 0)
67	1, 2, 3, 4	aks4d1p4 42060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
68	67	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
69		elfznn 13589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
71	70	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
73	72	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
74		anass 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)))
75	74	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) ↔ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
76	75	imbi1i 349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ) ↔ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ))
77	73, 76	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
78		dvdsval2 16289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
79	64, 66, 77, 78	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
80	60, 79	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ)
81	63	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℂ)
82	81	mullidd 11276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
83	75, 72	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
84	64, 83	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ))
85		dvdsle 16343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ≤ 𝑅))
86	85	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ≤ 𝑅)
87	84, 60, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ≤ 𝑅)
88	82, 87	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) ≤ 𝑅)
89		1red 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
90	70	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
95	63	nnrpd 13072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ+)
96	89, 94, 95	lemuldivd 13123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((1 · 𝑝) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
97	88, 96	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ≤ (𝑅 / 𝑝))
98	90	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
99	58	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
100	99	zred 12719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℝ)
101	62	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
102	100, 101	remulcld 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 · 𝑝) ∈ ℝ)
103		elfzle2 13564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ≤ 𝐵)
104	68, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≤ 𝐵)
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ≤ 𝐵)
107	58	zred 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
108		9re 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℝ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
110		9pos 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 9
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
112	32, 107	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
113	39, 46	3lexlogpow5ineq4 42037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
114	56	ceilged 13882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
115	109, 56, 112, 113, 114	ltletrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
116	115, 32	breqtrrd 5175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
117	40, 109, 107, 111, 116	lttrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
118	40, 107, 117	ltled 11406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 0 ≤ 𝐵)
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐵)
121	62	nnge1d 12311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ 𝑝)
122	100, 101, 120, 121	lemulge11d 12202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ≤ (𝐵 · 𝑝))
123	98, 100, 102, 106, 122	letrd 11415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝))
124	62	nnrpd 13072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ+)
125	98, 100, 124	ledivmul2d 13128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵 ↔ 𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝)))
126	123, 125	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
127	126	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
129	31, 59, 80, 97, 128	elfzd 13551	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ (1...𝐵))
130	93	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℂ)
131	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
132	131	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
133		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
134	71	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℕ)
135	133, 134	pccld 16883	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
136	132, 135	zexpcld 14124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
137	136	zcnd 12720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℂ)
138	131	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℂ)
139	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ≠ 0)
140	135	nn0zd 12636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℤ)
141	138, 139, 140	expne0d 14188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0)
142	130, 137, 141	divcan1d 12041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 𝑅)
143	142	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 = ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
144		pcdvds 16897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
145	133, 134, 144	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
146	134	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℤ)
147		dvdsval2 16289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
148	136, 141, 146, 147	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
149	145, 148	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ)
150	38, 47	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
151		elnnz 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁)))
153	150, 152	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
154	153	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
155	34, 36, 107, 117, 52	relogbcld 41954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
156	155	flcld 13834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
157	34	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
158	40, 36	gtned 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
159		logb1 26826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
160	157, 158, 52, 159	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
161	160	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
162		2z 12646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
164	34	leidd 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
165		0lt1 11782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < 1
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
167		1lt9 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 9
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 9)
169	48, 109, 107, 168, 116	lttrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
170	48, 107, 169	ltled 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
171	163, 164, 48, 166, 107, 117, 170	logblebd 41957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
172	161, 171	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
173		0zd 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
174		flge 13841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
175	155, 173, 174	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
176	172, 175	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
177	156, 176	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
178		elnn0z 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))))
180	177, 179	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
181	154, 180	zexpcld 14124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
182		fzfid 14010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
183	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
184		elfznn 13589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
185	184	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
186	185	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
187	183, 186	zexpcld 14124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
188		1zzd 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
189	187, 188	zsubcld 12724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
190	182, 189	fprodzcl 15986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
191	181, 190	zmulcld 12725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
192	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
193	192	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
194	191, 193	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
195	194	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
196		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
197	134, 133, 196	aks4d1p8d3 42067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 1)
198	138	exp0d 14176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑0) = 1)
199		pcelnn 16903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑅))
200	133, 134, 199	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑅))
201	196, 200	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ)
202	201	nngt0d 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 0 < (𝑝 pCnt 𝑅))
203	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
204	173	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
205		prmgt1 16730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
206	205	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
207	206	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < 𝑝)
208	203, 204, 140, 207	ltexp2d 14286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (0 < (𝑝 pCnt 𝑅) ↔ (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
209	202, 208	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
210	198, 209	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
211	136	zred 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ)
212	70	nnrpd 13072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
213	212	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
214	213	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ+)
215	214	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
216	211, 215	ltmulgt11d 13109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
217	210, 216	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
218	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
219	218, 140	rpexpcld 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+)
220	93, 93, 219	ltdivmul2d 13126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅 ↔ 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
221	217, 220	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅)
222	93, 211, 141	redivcld 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℝ)
223	222, 93	ltnled 11405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
224	221, 223	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
225	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
226	225	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
227	226	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
228	224, 227	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
229		elfznn 13589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℕ)
230	229	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℕ)
231	230	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℝ)
232	231	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℝ))
233	232	ssrdv 4000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
234	7, 233	sstrd 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
235	234	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
236	235	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
237	236	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
238	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
239	238	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
240	239	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
241		infrefilb 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
242	241	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
243	242	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
244	243	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
245	237, 240, 244	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
246	228, 245	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
247		1zzd 12645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
248	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
249	137	mullidd 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
250		dvdsle 16343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
251	136, 134, 250	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
252	145, 251	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
253	249, 252	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
254	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
255	254	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
256	255, 93, 219	lemuldivd 13123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
257	253, 256	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
258	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
259	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ 𝑝)
260	203, 135, 259	expge1d 14201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
261		nnledivrp 13144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
262	134, 219, 261	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
263	260, 262	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
264	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ≤ 𝐵)
265	222, 93, 258, 263, 264	letrd 11415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝐵)
266	247, 248, 149, 257, 265	elfzd 13551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵))
267		breq1 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
268	267	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
269	268	elrab3 3695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
270	269	con2bid 354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
271	266, 270	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
272	246, 271	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
273	134	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
274	153	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
275	274	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
276	275	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
277	276	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
278	74, 277	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
279	278	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
280	133	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑝 ∈ ℙ)
281		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∈ ℙ)
282	196	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
283		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∥ 𝑅)
284		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
285	284	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
286		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∥ 𝑁)
287	273, 279, 280, 281, 282, 283, 285, 286	aks4d1p8d2 42066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
288		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
289	288	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
290	255, 289	ltned 11394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≠ (𝑁 gcd 𝑅))
291	290	necomd 2993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1)
292	278, 134	prmdvdsncoprmbd 16760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅) ↔ (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1))
293	292	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)))
294	293	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)))
295	291, 294	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅))
296	287, 295	r19.29a 3159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
297	211, 93	ltnled 11405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
298	296, 297	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
299	225	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
300	299	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
301	298, 300	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
302		infrefilb 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
303	302	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
304	303	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
305	304	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
306	237, 240, 305	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
307	301, 306	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
308	211, 93, 258, 252, 264	letrd 11415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝐵)
309	247, 248, 136, 260, 308	elfzd 13551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵))
310		breq1 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
311	310	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
312	311	elrab3 3695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
313	309, 312	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
314	313	con2bid 354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
315	307, 314	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴)
316	149, 136, 195, 197, 272, 315	coprmdvds2d 41982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
317	143, 316	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∥ 𝐴)
318	317	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∥ 𝐴)
319	67	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
320	319	ad5antr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
321	75, 320	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
322	318, 321	pm2.21dd 195	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴)
323	30, 129, 322	elrabd 3696	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
324		lbinfle 12220	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
325	17, 28, 323, 324	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
326	5, 325	eqbrtrd 5169	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
327	207	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 < 𝑝)
328		1rp 13035	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
329	328	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
330	215	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ+)
331	329, 95, 330	ltdiv2d 13097	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 < 𝑝 ↔ (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1)))
332	327, 331	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1))
333	130	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
334	333	div1d 12032	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 1) = 𝑅)
335	332, 334	breqtrd 5173	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < 𝑅)
336	98, 101, 65	redivcld 12092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
337	336	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
338	337	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
339	338, 94	ltnled 11405	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((𝑅 / 𝑝) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
340	335, 339	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
341	326, 340	pm2.65da 817	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
342	1, 2, 3, 4	aks4d1p7 42064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
343	342	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
344	341, 343	r19.29a 3159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
345	344	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
346	1, 2, 3, 4, 345	aks4d1p5 42061	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  {crab 3432   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  infcinf 9478  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  3c3 12319  5c5 12321  9c9 12325  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ℝ⁺crp 13031  ...cfz 13543  ⌊cfl 13826  ⌈cceil 13827  ↑cexp 14098  ∏cprod 15935   ∥ cdvds 16286   gcd cgcd 16527  ℙcprime 16704   pCnt cpc 16869   log_b clogb 26821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-ceil 13829  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-prod 15936  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-lcm 16623  df-lcmf 16624  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613  df-logb 26822

This theorem is referenced by:  aks4d1p9  42069  aks4d1  42070