Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p8 41468
Description: Show that ๐‘ and ๐‘… are coprime for AKS existence theorem, with eliminated hypothesis. (Contributed by metakunt, 10-Nov-2024.) (Proof sketch by Thierry Arnoux.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p8.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
aks4d1p8.2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
aks4d1p8.3 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
aks4d1p8.4 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
aks4d1p8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ÿ   ๐ต,๐‘Ÿ   ๐‘˜,๐‘   ๐‘,๐‘Ÿ   ๐‘…,๐‘˜   ๐‘…,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ÿ)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem aks4d1p8
Dummy variables ๐‘ ๐‘ฆ ๐‘ฅ ๐‘œ ๐‘“ ๐‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p8.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
2 aks4d1p8.2 . 2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
3 aks4d1p8.3 . 2 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
4 aks4d1p8.4 . 2 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
54a1i 11 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ))
6 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ (1...๐ต)
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ (1...๐ต))
8 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘œ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„•)
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘œ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„•)
109nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘œ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„)
1110ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘œ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„))
1211ssrdv 3983 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โІ โ„)
137, 12sstrd 3987 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„)
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„)
1716adantr 480 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„)
18 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โˆˆ Fin)
1918, 7ssfid 9269 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
201, 2, 3aks4d1p3 41459 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
21 rabn0 4380 . . . . . . . . . . . . 13 ({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ…)
23 fiminre 12165 . . . . . . . . . . . 12 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
2413, 19, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
2827adantr 480 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
29 breq1 5144 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = (๐‘… / ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘… / ๐‘) โˆฅ ๐ด))
3029notbid 318 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = (๐‘… / ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ (๐‘… / ๐‘) โˆฅ ๐ด))
31 1zzd 12597 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
323a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
33 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
35 2pos 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
37 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
381, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3938zred 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
40 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
41 3re 12296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 โˆˆ โ„
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
43 3pos 12321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 < 3)
45 eluzle 12839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
461, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
4740, 42, 39, 44, 46ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
48 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
49 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
5148, 50ltned 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  2)
5251necomd 2990 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  1)
5334, 36, 39, 47, 52relogbcld 41354 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
54 5nn0 12496 . . . . . . . . . . . . . 14 5 โˆˆ โ„•0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
5653, 55reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„)
5756ceilcld 13814 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
5832, 57eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
5958ad4antr 729 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
60 simplrl 774 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘…)
61 prmnn 16618 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6261adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6362ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6463nnzd 12589 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6562nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
6665ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
671, 2, 3, 4aks4d1p4 41460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
6867simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...๐ต))
69 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
7170ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘…) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘…) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
7372nnzd 12589 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘…) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
74 anass 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘…) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)))
7574anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘…) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†” ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
7675imbi1i 349 . . . . . . . . . . . 12 (((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘…) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†” (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค))
7773, 76mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
78 dvdsval2 16207 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0 โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†” (๐‘… / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
7964, 66, 77, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†” (๐‘… / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
8060, 79mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
8163nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8281mullidd 11236 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
8375, 72sylbir 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
8464, 83jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•))
85 dvdsle 16260 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘…))
8685imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘…) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘…)
8784, 60, 86syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘…)
8882, 87eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (1 ยท ๐‘) โ‰ค ๐‘…)
89 1red 11219 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
9070nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9563nnrpd 13020 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
9689, 94, 95lemuldivd 13071 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ((1 ยท ๐‘) โ‰ค ๐‘… โ†” 1 โ‰ค (๐‘… / ๐‘)))
9788, 96mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘… / ๐‘))
9890ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9958ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
10099zred 12670 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
10162nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
102100, 101remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ต ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
103 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
10468, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
106105adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
10758zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
108 9re 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 โˆˆ โ„
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 9 โˆˆ โ„)
110 9pos 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 9
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 0 < 9)
11232, 107eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„)
11339, 463lexlogpow5ineq4 41437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ 9 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
11456ceilged 13817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
115109, 56, 112, 113, 114ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 9 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
116115, 32breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 9 < ๐ต)
11740, 109, 107, 111, 116lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
11840, 107, 117ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
12162nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
122100, 101, 120, 121lemulge11d 12155 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต ยท ๐‘))
12398, 100, 102, 106, 122letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐ต ยท ๐‘))
12462nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
12598, 100, 124ledivmul2d 13076 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘… / ๐‘) โ‰ค ๐ต โ†” ๐‘… โ‰ค (๐ต ยท ๐‘)))
126123, 125mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘… / ๐‘) โ‰ค ๐ต)
127126adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… / ๐‘) โ‰ค ๐ต)
128127adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… / ๐‘) โ‰ค ๐ต)
12931, 59, 80, 97, 128elfzd 13498 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… / ๐‘) โˆˆ (1...๐ต))
13093recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
13162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
132131nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
133 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
13471anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
135133, 134pccld 16792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐‘…) โˆˆ โ„•0)
136132, 135zexpcld 14058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ โ„ค)
137136zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
138131nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
13965adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
140135nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
141138, 139, 140expne0d 14122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ‰  0)
142130, 137, 141divcan1d 11995 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) = ๐‘…)
143142eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… = ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
144 pcdvds 16806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐‘…)
145133, 134, 144syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐‘…)
146134nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
147 dvdsval2 16207 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ‰  0 โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐‘… โ†” (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ โ„ค))
148136, 141, 146, 147syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐‘… โ†” (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ โ„ค))
149145, 148mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ โ„ค)
15038, 47jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘))
151 elnnz 12572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘))
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘)))
153150, 152mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
154153nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15534, 36, 107, 117, 52relogbcld 41354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐ต) โˆˆ โ„)
156155flcld 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
15734recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
15840, 36gtned 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
159 logb1 26656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb 1) = 0)
160157, 158, 52, 159syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) = 0)
161160eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ 0 = (2 logb 1))
162 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 โˆˆ โ„ค
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
16434leidd 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค 2)
165 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < 1
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
167 1lt9 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 9
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ 1 < 9)
16948, 109, 107, 168, 116lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ต)
17048, 107, 169ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
171163, 164, 48, 166, 107, 117, 170logblebd 41357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) โ‰ค (2 logb ๐ต))
172161, 171eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (2 logb ๐ต))
173 0zd 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
174 flge 13776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 logb ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
175155, 173, 174syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
176172, 175mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))
177156, 176jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
178 elnn0z 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
179178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))))
180177, 179mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
181154, 180zexpcld 14058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ค)
182 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ Fin)
183154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
184 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
185184adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
186185nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
187183, 186zexpcld 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
188 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
189187, 188zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
190182, 189fprodzcl 15904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
191181, 190zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
1922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
193192eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค))
194191, 193mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
195194ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
196 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘…)
197134, 133, 196aks4d1p8d3 41467 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) gcd (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) = 1)
198138exp0d 14110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘0) = 1)
199 pcelnn 16812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐‘…) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘…))
200133, 134, 199syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐‘…) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘…))
201196, 200mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐‘…) โˆˆ โ„•)
202201nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 < (๐‘ pCnt ๐‘…))
203101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
204173ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
205 prmgt1 16641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘)
206205adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < ๐‘)
207206adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 < ๐‘)
208203, 204, 140, 207ltexp2d 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (0 < (๐‘ pCnt ๐‘…) โ†” (๐‘โ†‘0) < (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
209202, 208mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘0) < (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))
210198, 209eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 < (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))
211136zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ โ„)
21270nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
213212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
214213adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
215214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
216211, 215ltmulgt11d 13057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (1 < (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ†” ๐‘… < (๐‘… ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))))
217210, 216mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… < (๐‘… ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
218124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
219218, 140rpexpcld 14215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ โ„+)
22093, 93, 219ltdivmul2d 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) < ๐‘… โ†” ๐‘… < (๐‘… ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))))
221217, 220mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) < ๐‘…)
22293, 211, 141redivcld 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ โ„)
223222, 93ltnled 11365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) < ๐‘… โ†” ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))))
224221, 223mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
2254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ))
226225breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ†” inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))))
227226notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ†” ยฌ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))))
228224, 227mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
229 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘“ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„•)
230229adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„•)
231230nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„)
232231ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘“ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„))
233232ssrdv 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โІ โ„)
2347, 233sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„)
235234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„)
236235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„)
237236adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„)
23819adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
239238adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
240239adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
241 infrefilb 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin โˆง (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
2422413expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin) โˆง (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
243242ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin) โ†’ ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))))
244243con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin) โ†’ (ยฌ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}))
245237, 240, 244syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (ยฌ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}))
246228, 245mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
247 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
24899adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
249137mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (1 ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) = (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))
250 dvdsle 16260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐‘… โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ‰ค ๐‘…))
251136, 134, 250syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐‘… โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ‰ค ๐‘…))
252145, 251mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ‰ค ๐‘…)
253249, 252eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (1 ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ‰ค ๐‘…)
25448adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
255254ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
256255, 93, 219lemuldivd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((1 ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ‰ค ๐‘… โ†” 1 โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))))
257253, 256mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
258100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
259121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
260203, 135, 259expge1d 14135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))
261 nnledivrp 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ†” (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ‰ค ๐‘…))
262134, 219, 261syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ†” (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ‰ค ๐‘…))
263260, 262mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ‰ค ๐‘…)
264106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
265222, 93, 258, 263, 264letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ‰ค ๐ต)
266247, 248, 149, 257, 265elfzd 13498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ (1...๐ต))
267 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ÿ = (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ†’ (๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆฅ ๐ด))
268267notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ÿ = (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โ†’ (ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆฅ ๐ด))
269268elrab3 3679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ†” ยฌ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆฅ ๐ด))
270269con2bid 354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}))
271266, 270syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}))
272246, 271mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆฅ ๐ด)
273134ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
274153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
275274adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
276275adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘…) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
277276adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘…) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
27874, 277sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
279278ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
280133ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
281 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
282196ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘…)
283 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)) โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)
284 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
285284adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
286 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)) โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)
287273, 279, 280, 281, 282, 283, 285, 286aks4d1p8d2 41466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) < ๐‘…)
288 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…))
289288ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…))
290255, 289ltned 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 โ‰  (๐‘ gcd ๐‘…))
291290necomd 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โ‰  1)
292278, 134prmdvdsncoprmbd 16672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„™ (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…) โ†” (๐‘ gcd ๐‘…) โ‰  1))
293292bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ gcd ๐‘…) โ‰  1 โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„™ (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)))
294293biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ gcd ๐‘…) โ‰  1 โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„™ (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…)))
295291, 294mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„™ (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘…))
296287, 295r19.29a 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) < ๐‘…)
297211, 93ltnled 11365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) < ๐‘… โ†” ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
298296, 297mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))
299225breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ†” inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
300299notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ†” ยฌ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
301298, 300mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))
302 infrefilb 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))
3033023expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin) โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)))
304303ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))))
305304con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin) โ†’ (ยฌ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ†’ ยฌ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}))
306237, 240, 305syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (ยฌ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ†’ ยฌ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}))
307301, 306mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
308211, 93, 258, 252, 264letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ‰ค ๐ต)
309247, 248, 136, 260, 308elfzd 13498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ (1...๐ต))
310 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ÿ = (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
311310notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ÿ = (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โ†’ (ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
312311elrab3 3679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ†” ยฌ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
313309, 312syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ†” ยฌ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
314313con2bid 354 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}))
315307, 314mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
316149, 136, 195, 197, 272, 315coprmdvds2d 41383 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐‘…))) โˆฅ ๐ด)
317143, 316eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
318317adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
31967simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
320319ad5antr 731 . . . . . . . . . 10 ((((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘…) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
32175, 320sylbir 234 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
322318, 321pm2.21dd 194 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐‘… / ๐‘) โˆฅ ๐ด)
32330, 129, 322elrabd 3680 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… / ๐‘) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
324 lbinfle 12173 . . . . . . 7 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โІ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘… / ๐‘) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / ๐‘))
32517, 28, 323, 324syl3anc 1368 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / ๐‘))
3265, 325eqbrtrd 5163 . . . . 5 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / ๐‘))
327207adantr 480 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 < ๐‘)
328 1rp 12984 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„+
329328a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
330215adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
331329, 95, 330ltdiv2d 13045 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (1 < ๐‘ โ†” (๐‘… / ๐‘) < (๐‘… / 1)))
332327, 331mpbid 231 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… / ๐‘) < (๐‘… / 1))
333130adantr 480 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
334333div1d 11986 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… / 1) = ๐‘…)
335332, 334breqtrd 5167 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… / ๐‘) < ๐‘…)
33698, 101, 65redivcld 12046 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘… / ๐‘) โˆˆ โ„)
337336adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘… / ๐‘) โˆˆ โ„)
338337adantr 480 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… / ๐‘) โˆˆ โ„)
339338, 94ltnled 11365 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘… / ๐‘) < ๐‘… โ†” ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / ๐‘)))
340335, 339mpbid 231 . . . . 5 (((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / ๐‘))
341326, 340pm2.65da 814 . . . 4 ((((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
3421, 2, 3, 4aks4d1p7 41464 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
343342adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
344341, 343r19.29a 3156 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
345344adantr 480 . 2 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
3461, 2, 3, 4, 345aks4d1p5 41461 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  {crab 3426   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  infcinf 9438  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  5c5 12274  9c9 12278  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12980  ...cfz 13490  โŒŠcfl 13761  โŒˆcceil 13762  โ†‘cexp 14032  โˆcprod 15855   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442  โ„™cprime 16615   pCnt cpc 16778   logb clogb 26651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-ceil 13764  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-prod 15856  df-ef 16017  df-e 16018  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-lcm 16534  df-lcmf 16535  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-logb 26652
This theorem is referenced by:  aks4d1p9  41469  aks4d1  41470
  Copyright terms: Public domain W3C validator