Theorem aks4d1p8 41710

Description: Show that 𝑁 and 𝑅 are coprime for AKS existence theorem, with eliminated hypothesis. (Contributed by metakunt, 10-Nov-2024.) (Proof sketch by Thierry Arnoux.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p8.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p8.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p8.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p8

Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑥 𝑜 𝑓 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		aks4d1p8.2	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
3		aks4d1p8.3	. 2 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4		aks4d1p8.4	. 2 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
6		ssrab2 4073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵)
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵))
8		elfznn 13570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
9	8	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
10	9	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
11	10	ex 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
12	11	ssrdv 3982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
13	7, 12	sstrd 3987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
14	13	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
15	14	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
16	15	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
17	16	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
18		fzfid 13979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
19	18, 7	ssfid 9295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
20	1, 2, 3	aks4d1p3 41701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
21		rabn0 4387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
22	20, 21	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅)
23		fiminre 12199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
24	13, 19, 22, 23	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
25	24	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
26	25	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
27	26	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
28	27	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
29		breq1 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
30	29	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
31		1zzd 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
32	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33		2re 12324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
35		2pos 12353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
37		eluzelz 12870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	1, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
39	38	zred 12704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
40		0red 11254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
41		3re 12330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
43		3pos 12355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
45		eluzle 12873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
47	40, 42, 39, 44, 46	ltletrd 11411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
48		1red 11252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49		1lt2 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
51	48, 50	ltned 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
52	51	necomd 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
53	34, 36, 39, 47, 52	relogbcld 41595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
54		5nn0 12530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
56	53, 55	reexpcld 14168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
57	56	ceilcld 13849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
58	32, 57	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
59	58	ad4antr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
60		simplrl 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝑅)
61		prmnn 16661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
62	61	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
63	62	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℤ)
65	62	nnne0d 12300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ≠ 0)
66	65	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ≠ 0)
67	1, 2, 3, 4	aks4d1p4 41702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
68	67	simpld 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
69		elfznn 13570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
71	70	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
72	71	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
73	72	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
74		anass 467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)))
75	74	anbi1i 622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) ↔ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
76	75	imbi1i 348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ) ↔ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ))
77	73, 76	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
78		dvdsval2 16245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
79	64, 66, 77, 78	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
80	60, 79	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ)
81	63	nncnd 12266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℂ)
82	81	mullidd 11269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
83	75, 72	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
84	64, 83	jca 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ))
85		dvdsle 16298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ≤ 𝑅))
86	85	imp 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ≤ 𝑅)
87	84, 60, 86	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ≤ 𝑅)
88	82, 87	eqbrtrd 5171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) ≤ 𝑅)
89		1red 11252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
90	70	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
91	90	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
92	91	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
93	92	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
94	93	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
95	63	nnrpd 13054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ+)
96	89, 94, 95	lemuldivd 13105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((1 · 𝑝) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
97	88, 96	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ≤ (𝑅 / 𝑝))
98	90	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
99	58	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
100	99	zred 12704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℝ)
101	62	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
102	100, 101	remulcld 11281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 · 𝑝) ∈ ℝ)
103		elfzle2 13545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ≤ 𝐵)
104	68, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
105	104	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≤ 𝐵)
106	105	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ≤ 𝐵)
107	58	zred 12704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
108		9re 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℝ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
110		9pos 12363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 9
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
112	32, 107	eqeltrrd 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
113	39, 46	3lexlogpow5ineq4 41679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
114	56	ceilged 13852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
115	109, 56, 112, 113, 114	ltletrd 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
116	115, 32	breqtrrd 5177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
117	40, 109, 107, 111, 116	lttrd 11412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
118	40, 107, 117	ltled 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
119	118	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 0 ≤ 𝐵)
120	119	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐵)
121	62	nnge1d 12298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ 𝑝)
122	100, 101, 120, 121	lemulge11d 12189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ≤ (𝐵 · 𝑝))
123	98, 100, 102, 106, 122	letrd 11408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝))
124	62	nnrpd 13054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ+)
125	98, 100, 124	ledivmul2d 13110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵 ↔ 𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝)))
126	123, 125	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
127	126	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
128	127	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
129	31, 59, 80, 97, 128	elfzd 13532	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ (1...𝐵))
130	93	recnd 11279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℂ)
131	62	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
132	131	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
133		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
134	71	anasss 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℕ)
135	133, 134	pccld 16838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
136	132, 135	zexpcld 14093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
137	136	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℂ)
138	131	nncnd 12266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℂ)
139	65	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ≠ 0)
140	135	nn0zd 12622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℤ)
141	138, 139, 140	expne0d 14157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0)
142	130, 137, 141	divcan1d 12029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 𝑅)
143	142	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 = ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
144		pcdvds 16852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
145	133, 134, 144	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
146	134	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℤ)
147		dvdsval2 16245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
148	136, 141, 146, 147	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
149	145, 148	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ)
150	38, 47	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
151		elnnz 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁)))
153	150, 152	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
154	153	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
155	34, 36, 107, 117, 52	relogbcld 41595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
156	155	flcld 13804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
157	34	recnd 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
158	40, 36	gtned 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
159		logb1 26766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
160	157, 158, 52, 159	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
161	160	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
162		2z 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
164	34	leidd 11817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
165		0lt1 11773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < 1
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
167		1lt9 12456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 9
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 9)
169	48, 109, 107, 168, 116	lttrd 11412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
170	48, 107, 169	ltled 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
171	163, 164, 48, 166, 107, 117, 170	logblebd 41598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
172	161, 171	eqbrtrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
173		0zd 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
174		flge 13811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
175	155, 173, 174	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
176	172, 175	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
177	156, 176	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
178		elnn0z 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))))
180	177, 179	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
181	154, 180	zexpcld 14093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
182		fzfid 13979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
183	154	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
184		elfznn 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
185	184	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
186	185	nnnn0d 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
187	183, 186	zexpcld 14093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
188		1zzd 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
189	187, 188	zsubcld 12709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
190	182, 189	fprodzcl 15942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
191	181, 190	zmulcld 12710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
192	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
193	192	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
194	191, 193	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
195	194	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
196		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
197	134, 133, 196	aks4d1p8d3 41709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 1)
198	138	exp0d 14145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑0) = 1)
199		pcelnn 16858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑅))
200	133, 134, 199	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑅))
201	196, 200	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ)
202	201	nngt0d 12299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 0 < (𝑝 pCnt 𝑅))
203	101	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
204	173	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
205		prmgt1 16684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
206	205	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
207	206	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < 𝑝)
208	203, 204, 140, 207	ltexp2d 14254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (0 < (𝑝 pCnt 𝑅) ↔ (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
209	202, 208	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
210	198, 209	eqbrtrrd 5173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
211	136	zred 12704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ)
212	70	nnrpd 13054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
213	212	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
214	213	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ+)
215	214	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
216	211, 215	ltmulgt11d 13091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
217	210, 216	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
218	124	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
219	218, 140	rpexpcld 14250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+)
220	93, 93, 219	ltdivmul2d 13108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅 ↔ 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
221	217, 220	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅)
222	93, 211, 141	redivcld 12080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℝ)
223	222, 93	ltnled 11398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
224	221, 223	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
225	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
226	225	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
227	226	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
228	224, 227	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
229		elfznn 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℕ)
230	229	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℕ)
231	230	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℝ)
232	231	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℝ))
233	232	ssrdv 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
234	7, 233	sstrd 3987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
235	234	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
236	235	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
237	236	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
238	19	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
239	238	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
240	239	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
241		infrefilb 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
242	241	3expa 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
243	242	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
244	243	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
245	237, 240, 244	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
246	228, 245	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
247		1zzd 12631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
248	99	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
249	137	mullidd 11269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
250		dvdsle 16298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
251	136, 134, 250	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
252	145, 251	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
253	249, 252	eqbrtrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
254	48	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
255	254	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
256	255, 93, 219	lemuldivd 13105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
257	253, 256	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
258	100	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
259	121	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ 𝑝)
260	203, 135, 259	expge1d 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
261		nnledivrp 13126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
262	134, 219, 261	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
263	260, 262	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
264	106	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ≤ 𝐵)
265	222, 93, 258, 263, 264	letrd 11408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝐵)
266	247, 248, 149, 257, 265	elfzd 13532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵))
267		breq1 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
268	267	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
269	268	elrab3 3680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
270	269	con2bid 353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
271	266, 270	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
272	246, 271	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
273	134	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
274	153	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
275	274	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
276	275	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
277	276	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
278	74, 277	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
279	278	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
280	133	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑝 ∈ ℙ)
281		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∈ ℙ)
282	196	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
283		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∥ 𝑅)
284		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
285	284	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
286		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∥ 𝑁)
287	273, 279, 280, 281, 282, 283, 285, 286	aks4d1p8d2 41708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
288		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
289	288	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
290	255, 289	ltned 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≠ (𝑁 gcd 𝑅))
291	290	necomd 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1)
292	278, 134	prmdvdsncoprmbd 16715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅) ↔ (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1))
293	292	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)))
294	293	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)))
295	291, 294	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅))
296	287, 295	r19.29a 3151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
297	211, 93	ltnled 11398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
298	296, 297	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
299	225	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
300	299	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
301	298, 300	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
302		infrefilb 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
303	302	3expa 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
304	303	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
305	304	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
306	237, 240, 305	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
307	301, 306	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
308	211, 93, 258, 252, 264	letrd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝐵)
309	247, 248, 136, 260, 308	elfzd 13532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵))
310		breq1 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
311	310	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
312	311	elrab3 3680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
313	309, 312	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
314	313	con2bid 353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
315	307, 314	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴)
316	149, 136, 195, 197, 272, 315	coprmdvds2d 41624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
317	143, 316	eqbrtrd 5171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∥ 𝐴)
318	317	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∥ 𝐴)
319	67	simprd 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
320	319	ad5antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
321	75, 320	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
322	318, 321	pm2.21dd 194	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴)
323	30, 129, 322	elrabd 3681	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
324		lbinfle 12207	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
325	17, 28, 323, 324	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
326	5, 325	eqbrtrd 5171	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
327	207	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 < 𝑝)
328		1rp 13018	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
329	328	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
330	215	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ+)
331	329, 95, 330	ltdiv2d 13079	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 < 𝑝 ↔ (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1)))
332	327, 331	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1))
333	130	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
334	333	div1d 12020	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 1) = 𝑅)
335	332, 334	breqtrd 5175	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < 𝑅)
336	98, 101, 65	redivcld 12080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
337	336	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
338	337	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
339	338, 94	ltnled 11398	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((𝑅 / 𝑝) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
340	335, 339	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
341	326, 340	pm2.65da 815	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
342	1, 2, 3, 4	aks4d1p7 41706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
343	342	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
344	341, 343	r19.29a 3151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
345	344	adantr 479	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
346	1, 2, 3, 4, 345	aks4d1p5 41703	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3418   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  infcinf 9471  ℂcc 11143  ℝcr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   · cmul 11150   < clt 11285   ≤ cle 11286   − cmin 11481   / cdiv 11908  ℕcn 12250  2c2 12305  3c3 12306  5c5 12308  9c9 12312  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ℝ⁺crp 13014  ...cfz 13524  ⌊cfl 13796  ⌈cceil 13797  ↑cexp 14067  ∏cprod 15893   ∥ cdvds 16242   gcd cgcd 16480  ℙcprime 16658   pCnt cpc 16824   log_b clogb 26761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-symdif 4241  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-dju 9931  df-card 9969  df-acn 9972  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-ceil 13799  df-mod 13876  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14277  df-bc 14306  df-hash 14334  df-shft 15058  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-limsup 15459  df-clim 15476  df-rlim 15477  df-sum 15677  df-prod 15894  df-ef 16055  df-e 16056  df-sin 16057  df-cos 16058  df-pi 16060  df-dvds 16243  df-gcd 16481  df-lcm 16577  df-lcmf 16578  df-prm 16659  df-pc 16825  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-hom 17276  df-cco 17277  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17503  df-qtop 17508  df-imas 17509  df-xps 17511  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-mulg 19048  df-cntz 19297  df-cmn 19766  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22857  df-topon 22874  df-topsp 22896  df-bases 22910  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24287  df-ms 24288  df-tms 24289  df-cncf 24859  df-ovol 25454  df-vol 25455  df-mbf 25609  df-itg1 25610  df-itg2 25611  df-ibl 25612  df-itg 25613  df-0p 25660  df-limc 25856  df-dv 25857  df-log 26552  df-cxp 26553  df-logb 26762

This theorem is referenced by:  aks4d1p9  41711  aks4d1  41712