Theorem aks4d1p8 42546

Description: Show that 𝑁 and 𝑅 are coprime for AKS existence theorem, with eliminated hypothesis. (Contributed by metakunt, 10-Nov-2024.) (Proof sketch by Thierry Arnoux.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p8.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p8.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p8.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p8

Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑥 𝑜 𝑓 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		aks4d1p8.2	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
3		aks4d1p8.3	. 2 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4		aks4d1p8.4	. 2 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
6		ssrab2 4021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵)
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵))
8		elfznn 13502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
10	9	nnred 12184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
11	10	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
12	11	ssrdv 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
13	7, 12	sstrd 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
18		fzfid 13930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
19	18, 7	ssfid 9174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
20	1, 2, 3	aks4d1p3 42537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
21		rabn0 4330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
22	20, 21	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅)
23		fiminre 12098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
24	13, 19, 22, 23	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
29		breq1 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
30	29	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
31		1zzd 12553	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
32	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33		2re 12250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
35		2pos 12279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
37		eluzelz 12793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	1, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
39	38	zred 12628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
40		0red 11142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
41		3re 12256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
43		3pos 12281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
45		eluzle 12796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
47	40, 42, 39, 44, 46	ltletrd 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
48		1red 11140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49		1lt2 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
51	48, 50	ltned 11277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
52	51	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
53	34, 36, 39, 47, 52	relogbcld 42433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
54		5nn0 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
56	53, 55	reexpcld 14120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
57	56	ceilcld 13797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
58	32, 57	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
59	58	ad4antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
60		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝑅)
61		prmnn 16638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
63	62	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℤ)
65	62	nnne0d 12222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ≠ 0)
66	65	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ≠ 0)
67	1, 2, 3, 4	aks4d1p4 42538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
68	67	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
69		elfznn 13502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
71	70	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
73	72	nnzd 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
74		anass 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)))
75	74	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) ↔ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
76	75	imbi1i 349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ) ↔ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ))
77	73, 76	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
78		dvdsval2 16219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
79	64, 66, 77, 78	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
80	60, 79	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ)
81	63	nncnd 12185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℂ)
82	81	mullidd 11158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
83	75, 72	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
84	64, 83	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ))
85		dvdsle 16274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ≤ 𝑅))
86	85	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ≤ 𝑅)
87	84, 60, 86	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ≤ 𝑅)
88	82, 87	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) ≤ 𝑅)
89		1red 11140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
90	70	nnred 12184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
95	63	nnrpd 12979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ+)
96	89, 94, 95	lemuldivd 13030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((1 · 𝑝) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
97	88, 96	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ≤ (𝑅 / 𝑝))
98	90	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
99	58	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
100	99	zred 12628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℝ)
101	62	nnred 12184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
102	100, 101	remulcld 11170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 · 𝑝) ∈ ℝ)
103		elfzle2 13477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ≤ 𝐵)
104	68, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≤ 𝐵)
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ≤ 𝐵)
107	58	zred 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
108		9re 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℝ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
110		9pos 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 9
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
112	32, 107	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
113	39, 46	3lexlogpow5ineq4 42515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
114	56	ceilged 13800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
115	109, 56, 112, 113, 114	ltletrd 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
116	115, 32	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
117	40, 109, 107, 111, 116	lttrd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
118	40, 107, 117	ltled 11289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 0 ≤ 𝐵)
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐵)
121	62	nnge1d 12220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ 𝑝)
122	100, 101, 120, 121	lemulge11d 12088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ≤ (𝐵 · 𝑝))
123	98, 100, 102, 106, 122	letrd 11298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝))
124	62	nnrpd 12979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ+)
125	98, 100, 124	ledivmul2d 13035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵 ↔ 𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝)))
126	123, 125	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
127	126	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
129	31, 59, 80, 97, 128	elfzd 13464	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ (1...𝐵))
130	93	recnd 11168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℂ)
131	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
132	131	nnzd 12545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
133		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
134	71	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℕ)
135	133, 134	pccld 16816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
136	132, 135	zexpcld 14044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
137	136	zcnd 12629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℂ)
138	131	nncnd 12185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℂ)
139	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ≠ 0)
140	135	nn0zd 12544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℤ)
141	138, 139, 140	expne0d 14109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0)
142	130, 137, 141	divcan1d 11927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 𝑅)
143	142	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 = ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
144		pcdvds 16830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
145	133, 134, 144	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
146	134	nnzd 12545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℤ)
147		dvdsval2 16219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
148	136, 141, 146, 147	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
149	145, 148	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ)
150	38, 47	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
151		elnnz 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁)))
153	150, 152	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
154	153	nnzd 12545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
155	34, 36, 107, 117, 52	relogbcld 42433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
156	155	flcld 13752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
157	34	recnd 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
158	40, 36	gtned 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
159		logb1 26750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
160	157, 158, 52, 159	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
161	160	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
162		2z 12554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
164	34	leidd 11711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
165		0lt1 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < 1
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
167		1lt9 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 9
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 9)
169	48, 109, 107, 168, 116	lttrd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
170	48, 107, 169	ltled 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
171	163, 164, 48, 166, 107, 117, 170	logblebd 42436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
172	161, 171	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
173		0zd 12531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
174		flge 13759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
175	155, 173, 174	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
176	172, 175	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
177	156, 176	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
178		elnn0z 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))))
180	177, 179	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
181	154, 180	zexpcld 14044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
182		fzfid 13930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
183	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
184		elfznn 13502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
185	184	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
186	185	nnnn0d 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
187	183, 186	zexpcld 14044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
188		1zzd 12553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
189	187, 188	zsubcld 12633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
190	182, 189	fprodzcl 15914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
191	181, 190	zmulcld 12634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
192	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
193	192	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
194	191, 193	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
195	194	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
196		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
197	134, 133, 196	aks4d1p8d3 42545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 1)
198	138	exp0d 14097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑0) = 1)
199		pcelnn 16836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑅))
200	133, 134, 199	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑅))
201	196, 200	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ)
202	201	nngt0d 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 0 < (𝑝 pCnt 𝑅))
203	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
204	173	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
205		prmgt1 16662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
206	205	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
207	206	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < 𝑝)
208	203, 204, 140, 207	ltexp2d 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (0 < (𝑝 pCnt 𝑅) ↔ (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
209	202, 208	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
210	198, 209	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
211	136	zred 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ)
212	70	nnrpd 12979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
213	212	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
214	213	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ+)
215	214	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
216	211, 215	ltmulgt11d 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
217	210, 216	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
218	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
219	218, 140	rpexpcld 14204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+)
220	93, 93, 219	ltdivmul2d 13033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅 ↔ 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
221	217, 220	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅)
222	93, 211, 141	redivcld 11978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℝ)
223	222, 93	ltnled 11288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
224	221, 223	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
225	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
226	225	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
227	226	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
228	224, 227	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
229		elfznn 13502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℕ)
230	229	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℕ)
231	230	nnred 12184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℝ)
232	231	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℝ))
233	232	ssrdv 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
234	7, 233	sstrd 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
235	234	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
236	235	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
237	236	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
238	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
239	238	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
240	239	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
241		infrefilb 12137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
242	241	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
243	242	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
244	243	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
245	237, 240, 244	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
246	228, 245	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
247		1zzd 12553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
248	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
249	137	mullidd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
250		dvdsle 16274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
251	136, 134, 250	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
252	145, 251	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
253	249, 252	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
254	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
255	254	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
256	255, 93, 219	lemuldivd 13030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
257	253, 256	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
258	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
259	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ 𝑝)
260	203, 135, 259	expge1d 14122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
261		nnledivrp 13051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
262	134, 219, 261	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
263	260, 262	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
264	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ≤ 𝐵)
265	222, 93, 258, 263, 264	letrd 11298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝐵)
266	247, 248, 149, 257, 265	elfzd 13464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵))
267		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
268	267	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
269	268	elrab3 3636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
270	269	con2bid 354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
271	266, 270	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
272	246, 271	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
273	134	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
274	153	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
275	274	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
276	275	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
277	276	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
278	74, 277	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
279	278	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
280	133	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑝 ∈ ℙ)
281		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∈ ℙ)
282	196	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
283		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∥ 𝑅)
284		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
285	284	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
286		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∥ 𝑁)
287	273, 279, 280, 281, 282, 283, 285, 286	aks4d1p8d2 42544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
288		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
289	288	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
290	255, 289	ltned 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≠ (𝑁 gcd 𝑅))
291	290	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1)
292	278, 134	prmdvdsncoprmbd 16692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅) ↔ (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1))
293	292	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)))
294	293	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)))
295	291, 294	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅))
296	287, 295	r19.29a 3146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
297	211, 93	ltnled 11288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
298	296, 297	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
299	225	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
300	299	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
301	298, 300	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
302		infrefilb 12137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
303	302	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
304	303	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
305	304	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
306	237, 240, 305	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
307	301, 306	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
308	211, 93, 258, 252, 264	letrd 11298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝐵)
309	247, 248, 136, 260, 308	elfzd 13464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵))
310		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
311	310	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
312	311	elrab3 3636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
313	309, 312	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
314	313	con2bid 354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
315	307, 314	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴)
316	149, 136, 195, 197, 272, 315	coprmdvds2d 42460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
317	143, 316	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∥ 𝐴)
318	317	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∥ 𝐴)
319	67	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
320	319	ad5antr 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
321	75, 320	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
322	318, 321	pm2.21dd 195	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴)
323	30, 129, 322	elrabd 3637	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
324		lbinfle 12106	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
325	17, 28, 323, 324	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
326	5, 325	eqbrtrd 5108	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
327	207	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 < 𝑝)
328		1rp 12941	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
329	328	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
330	215	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ+)
331	329, 95, 330	ltdiv2d 13004	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 < 𝑝 ↔ (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1)))
332	327, 331	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1))
333	130	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
334	333	div1d 11918	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 1) = 𝑅)
335	332, 334	breqtrd 5112	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < 𝑅)
336	98, 101, 65	redivcld 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
337	336	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
338	337	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
339	338, 94	ltnled 11288	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((𝑅 / 𝑝) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
340	335, 339	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
341	326, 340	pm2.65da 817	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
342	1, 2, 3, 4	aks4d1p7 42542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
343	342	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
344	341, 343	r19.29a 3146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
345	344	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
346	1, 2, 3, 4, 345	aks4d1p5 42539	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  infcinf 9349  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  5c5 12234  9c9 12238  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ℝ⁺crp 12937  ...cfz 13456  ⌊cfl 13744  ⌈cceil 13745  ↑cexp 14018  ∏cprod 15863   ∥ cdvds 16216   gcd cgcd 16458  ℙcprime 16635   pCnt cpc 16802   log_b clogb 26745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-symdif 4194  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-omul 8405  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-dju 9820  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-ceil 13747  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-prod 15864  df-ef 16027  df-e 16028  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-lcm 16554  df-lcmf 16555  df-prm 16636  df-pc 16803  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-lp 23115  df-perf 23116  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-haus 23294  df-cmp 23366  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-cncf 24859  df-ovol 25445  df-vol 25446  df-mbf 25600  df-itg1 25601  df-itg2 25602  df-ibl 25603  df-itg 25604  df-0p 25651  df-limc 25847  df-dv 25848  df-log 26537  df-cxp 26538  df-logb 26746

This theorem is referenced by:  aks4d1p9  42547  aks4d1  42548