Theorem aks4d1p8 42376

Description: Show that 𝑁 and 𝑅 are coprime for AKS existence theorem, with eliminated hypothesis. (Contributed by metakunt, 10-Nov-2024.) (Proof sketch by Thierry Arnoux.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p8.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p8.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p8.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p8

Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑥 𝑜 𝑓 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		aks4d1p8.2	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
3		aks4d1p8.3	. 2 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4		aks4d1p8.4	. 2 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
6		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵)
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵))
8		elfznn 13471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
10	9	nnred 12162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
11	10	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
12	11	ssrdv 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
13	7, 12	sstrd 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
18		fzfid 13898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
19	18, 7	ssfid 9171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
20	1, 2, 3	aks4d1p3 42367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
21		rabn0 4340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
22	20, 21	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅)
23		fiminre 12091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
24	13, 19, 22, 23	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦)
29		breq1 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
30	29	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
31		1zzd 12524	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
32	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33		2re 12221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
35		2pos 12250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
37		eluzelz 12763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	1, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
39	38	zred 12598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
40		0red 11137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
41		3re 12227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
43		3pos 12252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
45		eluzle 12766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
47	40, 42, 39, 44, 46	ltletrd 11295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
48		1red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49		1lt2 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
51	48, 50	ltned 11271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
52	51	necomd 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
53	34, 36, 39, 47, 52	relogbcld 42262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
54		5nn0 12423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
56	53, 55	reexpcld 14088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
57	56	ceilcld 13765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
58	32, 57	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
59	58	ad4antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
60		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝑅)
61		prmnn 16603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
63	62	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℤ)
65	62	nnne0d 12197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ≠ 0)
66	65	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ≠ 0)
67	1, 2, 3, 4	aks4d1p4 42368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
68	67	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
69		elfznn 13471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
71	70	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
73	72	nnzd 12516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
74		anass 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)))
75	74	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) ↔ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
76	75	imbi1i 349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ) ↔ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ))
77	73, 76	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
78		dvdsval2 16184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
79	64, 66, 77, 78	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
80	60, 79	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ)
81	63	nncnd 12163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℂ)
82	81	mullidd 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
83	75, 72	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
84	64, 83	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ))
85		dvdsle 16239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ≤ 𝑅))
86	85	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ≤ 𝑅)
87	84, 60, 86	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ≤ 𝑅)
88	82, 87	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) ≤ 𝑅)
89		1red 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
90	70	nnred 12162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
95	63	nnrpd 12949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ+)
96	89, 94, 95	lemuldivd 13000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((1 · 𝑝) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
97	88, 96	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ≤ (𝑅 / 𝑝))
98	90	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
99	58	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
100	99	zred 12598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℝ)
101	62	nnred 12162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
102	100, 101	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 · 𝑝) ∈ ℝ)
103		elfzle2 13446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ≤ 𝐵)
104	68, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≤ 𝐵)
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ≤ 𝐵)
107	58	zred 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
108		9re 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℝ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
110		9pos 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 9
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
112	32, 107	eqeltrrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
113	39, 46	3lexlogpow5ineq4 42345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
114	56	ceilged 13768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
115	109, 56, 112, 113, 114	ltletrd 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
116	115, 32	breqtrrd 5125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
117	40, 109, 107, 111, 116	lttrd 11296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
118	40, 107, 117	ltled 11283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 0 ≤ 𝐵)
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐵)
121	62	nnge1d 12195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ 𝑝)
122	100, 101, 120, 121	lemulge11d 12081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ≤ (𝐵 · 𝑝))
123	98, 100, 102, 106, 122	letrd 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝))
124	62	nnrpd 12949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ+)
125	98, 100, 124	ledivmul2d 13005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵 ↔ 𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝)))
126	123, 125	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
127	126	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
129	31, 59, 80, 97, 128	elfzd 13433	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ (1...𝐵))
130	93	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℂ)
131	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
132	131	nnzd 12516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
133		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
134	71	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℕ)
135	133, 134	pccld 16780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
136	132, 135	zexpcld 14012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
137	136	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℂ)
138	131	nncnd 12163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℂ)
139	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ≠ 0)
140	135	nn0zd 12515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℤ)
141	138, 139, 140	expne0d 14077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0)
142	130, 137, 141	divcan1d 11920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 𝑅)
143	142	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 = ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
144		pcdvds 16794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
145	133, 134, 144	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
146	134	nnzd 12516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℤ)
147		dvdsval2 16184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
148	136, 141, 146, 147	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
149	145, 148	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ)
150	38, 47	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
151		elnnz 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁)))
153	150, 152	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
154	153	nnzd 12516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
155	34, 36, 107, 117, 52	relogbcld 42262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
156	155	flcld 13720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
157	34	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
158	40, 36	gtned 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
159		logb1 26737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
160	157, 158, 52, 159	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
161	160	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
162		2z 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
164	34	leidd 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
165		0lt1 11661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < 1
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
167		1lt9 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 9
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 9)
169	48, 109, 107, 168, 116	lttrd 11296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
170	48, 107, 169	ltled 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
171	163, 164, 48, 166, 107, 117, 170	logblebd 42265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
172	161, 171	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
173		0zd 12502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
174		flge 13727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
175	155, 173, 174	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
176	172, 175	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
177	156, 176	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
178		elnn0z 12503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))))
180	177, 179	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
181	154, 180	zexpcld 14012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
182		fzfid 13898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
183	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
184		elfznn 13471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
185	184	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
186	185	nnnn0d 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
187	183, 186	zexpcld 14012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
188		1zzd 12524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
189	187, 188	zsubcld 12603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
190	182, 189	fprodzcl 15879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
191	181, 190	zmulcld 12604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
192	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
193	192	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
194	191, 193	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
195	194	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
196		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
197	134, 133, 196	aks4d1p8d3 42375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 1)
198	138	exp0d 14065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑0) = 1)
199		pcelnn 16800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑅))
200	133, 134, 199	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑅))
201	196, 200	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ)
202	201	nngt0d 12196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 0 < (𝑝 pCnt 𝑅))
203	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
204	173	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
205		prmgt1 16626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
206	205	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
207	206	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < 𝑝)
208	203, 204, 140, 207	ltexp2d 14176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (0 < (𝑝 pCnt 𝑅) ↔ (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
209	202, 208	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
210	198, 209	eqbrtrrd 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
211	136	zred 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ)
212	70	nnrpd 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
213	212	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
214	213	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ+)
215	214	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
216	211, 215	ltmulgt11d 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
217	210, 216	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
218	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
219	218, 140	rpexpcld 14172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+)
220	93, 93, 219	ltdivmul2d 13003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅 ↔ 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
221	217, 220	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅)
222	93, 211, 141	redivcld 11971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℝ)
223	222, 93	ltnled 11282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
224	221, 223	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
225	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
226	225	breq1d 5107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
227	226	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
228	224, 227	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
229		elfznn 13471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℕ)
230	229	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℕ)
231	230	nnred 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℝ)
232	231	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℝ))
233	232	ssrdv 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
234	7, 233	sstrd 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
235	234	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
236	235	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
237	236	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
238	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
239	238	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
240	239	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
241		infrefilb 12130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
242	241	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
243	242	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
244	243	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
245	237, 240, 244	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
246	228, 245	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
247		1zzd 12524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
248	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
249	137	mullidd 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
250		dvdsle 16239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
251	136, 134, 250	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
252	145, 251	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
253	249, 252	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
254	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
255	254	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
256	255, 93, 219	lemuldivd 13000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
257	253, 256	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
258	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
259	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ 𝑝)
260	203, 135, 259	expge1d 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
261		nnledivrp 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
262	134, 219, 261	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
263	260, 262	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
264	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ≤ 𝐵)
265	222, 93, 258, 263, 264	letrd 11292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝐵)
266	247, 248, 149, 257, 265	elfzd 13433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵))
267		breq1 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
268	267	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
269	268	elrab3 3646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
270	269	con2bid 354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
271	266, 270	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
272	246, 271	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
273	134	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
274	153	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
275	274	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
276	275	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
277	276	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
278	74, 277	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
279	278	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
280	133	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑝 ∈ ℙ)
281		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∈ ℙ)
282	196	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
283		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∥ 𝑅)
284		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
285	284	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
286		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → 𝑞 ∥ 𝑁)
287	273, 279, 280, 281, 282, 283, 285, 286	aks4d1p8d2 42374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
288		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
289	288	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
290	255, 289	ltned 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 1 ≠ (𝑁 gcd 𝑅))
291	290	necomd 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1)
292	278, 134	prmdvdsncoprmbd 16656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅) ↔ (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1))
293	292	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)))
294	293	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅)))
295	291, 294	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑁 ∧ 𝑞 ∥ 𝑅))
296	287, 295	r19.29a 3143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
297	211, 93	ltnled 11282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
298	296, 297	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
299	225	breq1d 5107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
300	299	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
301	298, 300	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
302		infrefilb 12130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
303	302	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
304	303	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
305	304	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
306	237, 240, 305	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
307	301, 306	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
308	211, 93, 258, 252, 264	letrd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝐵)
309	247, 248, 136, 260, 308	elfzd 13433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵))
310		breq1 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
311	310	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
312	311	elrab3 3646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
313	309, 312	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
314	313	con2bid 354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}))
315	307, 314	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴)
316	149, 136, 195, 197, 272, 315	coprmdvds2d 42290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
317	143, 316	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∥ 𝐴)
318	317	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∥ 𝐴)
319	67	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
320	319	ad5antr 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
321	75, 320	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
322	318, 321	pm2.21dd 195	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴)
323	30, 129, 322	elrabd 3647	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
324		lbinfle 12099	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
325	17, 28, 323, 324	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
326	5, 325	eqbrtrd 5119	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
327	207	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 < 𝑝)
328		1rp 12911	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
329	328	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
330	215	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ+)
331	329, 95, 330	ltdiv2d 12974	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 < 𝑝 ↔ (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1)))
332	327, 331	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1))
333	130	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
334	333	div1d 11911	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 1) = 𝑅)
335	332, 334	breqtrd 5123	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < 𝑅)
336	98, 101, 65	redivcld 11971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
337	336	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
338	337	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
339	338, 94	ltnled 11282	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((𝑅 / 𝑝) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
340	335, 339	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
341	326, 340	pm2.65da 817	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
342	1, 2, 3, 4	aks4d1p7 42372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
343	342	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
344	341, 343	r19.29a 3143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
345	344	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
346	1, 2, 3, 4, 345	aks4d1p5 42369	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3398   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  infcinf 9346  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202  3c3 12203  5c5 12205  9c9 12209  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  ℝ⁺crp 12907  ...cfz 13425  ⌊cfl 13712  ⌈cceil 13713  ↑cexp 13986  ∏cprod 15828   ∥ cdvds 16181   gcd cgcd 16423  ℙcprime 16600   pCnt cpc 16766   log_b clogb 26732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cc 10347  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-symdif 4204  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-disj 5065  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-acn 9856  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-ceil 13715  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-prod 15829  df-ef 15992  df-e 15993  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-lcm 16519  df-lcmf 16520  df-prm 16601  df-pc 16767  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-lp 23082  df-perf 23083  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-haus 23261  df-cmp 23333  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cncf 24829  df-ovol 25423  df-vol 25424  df-mbf 25578  df-itg1 25579  df-itg2 25580  df-ibl 25581  df-itg 25582  df-0p 25629  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26523  df-cxp 26524  df-logb 26733

This theorem is referenced by:  aks4d1p9  42377  aks4d1  42378