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Theorem aks4d1p8 42089
Description: Show that 𝑁 and 𝑅 are coprime for AKS existence theorem, with eliminated hypothesis. (Contributed by metakunt, 10-Nov-2024.) (Proof sketch by Thierry Arnoux.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p8.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p8.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p8.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p8.4 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
aks4d1p8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p8
Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑥 𝑜 𝑓 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p8.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
2 aks4d1p8.2 . 2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
3 aks4d1p8.3 . 2 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4 aks4d1p8.4 . 2 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
54a1i 11 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ))
6 ssrab2 4079 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵)
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵))
8 elfznn 13594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
109nnred 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
1110ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
1211ssrdv 3988 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
137, 12sstrd 3993 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
18 fzfid 14015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
1918, 7ssfid 9302 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
201, 2, 3aks4d1p3 42080 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
21 rabn0 4388 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
2220, 21sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅)
23 fiminre 12216 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
2413, 19, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
2827adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
29 breq1 5145 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (𝑟𝐴 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
3029notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑅 / 𝑝) → (¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴))
31 1zzd 12650 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
323a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33 2re 12341 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
35 2pos 12370 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
37 eluzelz 12889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
381, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3938zred 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
40 0red 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
41 3re 12347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
43 3pos 12372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 3)
45 eluzle 12892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
461, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
4740, 42, 39, 44, 46ltletrd 11422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
48 1red 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49 1lt2 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 < 2)
5148, 50ltned 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≠ 2)
5251necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 1)
5334, 36, 39, 47, 52relogbcld 41975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
54 5nn0 12548 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
5653, 55reexpcld 14204 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
5756ceilcld 13884 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
5832, 57eqeltrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
5958ad4antr 732 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
60 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝𝑅)
61 prmnn 16712 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
6261adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
6362ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
6463nnzd 12642 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℤ)
6562nnne0d 12317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ≠ 0)
6665ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ≠ 0)
671, 2, 3, 4aks4d1p4 42081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅𝐴))
6867simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ (1...𝐵))
69 elfznn 13594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
7170ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
7372nnzd 12642 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
74 anass 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ↔ (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)))
7574anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) ↔ ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
7675imbi1i 349 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ) ↔ (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ))
7773, 76mpbi 230 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℤ)
78 dvdsval2 16294 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
7964, 66, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝𝑅 ↔ (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ))
8060, 79mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℤ)
8163nncnd 12283 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℂ)
8281mullidd 11280 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
8375, 72sylbir 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℕ)
8464, 83jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ))
85 dvdsle 16348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝𝑅𝑝𝑅))
8685imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) ∧ 𝑝𝑅) → 𝑝𝑅)
8784, 60, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝𝑅)
8882, 87eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 · 𝑝) ≤ 𝑅)
89 1red 11263 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
9070nnred 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
9563nnrpd 13076 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ+)
9689, 94, 95lemuldivd 13127 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((1 · 𝑝) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
9788, 96mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ≤ (𝑅 / 𝑝))
9890ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ)
9958ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
10099zred 12724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10162nnred 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
102100, 101remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 · 𝑝) ∈ ℝ)
103 elfzle2 13569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅𝐵)
10468, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅𝐵)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅𝐵)
106105adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅𝐵)
10758zred 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
108 9re 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℝ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
110 9pos 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 9
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 9)
11232, 107eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
11339, 463lexlogpow5ineq4 42058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
11456ceilged 13887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
115109, 56, 112, 113, 114ltletrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
116115, 32breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 9 < 𝐵)
11740, 109, 107, 111, 116lttrd 11423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < 𝐵)
11840, 107, 117ltled 11410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 0 ≤ 𝐵)
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐵)
12162nnge1d 12315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ 𝑝)
122100, 101, 120, 121lemulge11d 12206 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ≤ (𝐵 · 𝑝))
12398, 100, 102, 106, 122letrd 11419 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝))
12462nnrpd 13076 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ+)
12598, 100, 124ledivmul2d 13132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵𝑅 ≤ (𝐵 · 𝑝)))
126123, 125mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
127126adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
128127adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ≤ 𝐵)
12931, 59, 80, 97, 128elfzd 13556 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ (1...𝐵))
13093recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 ∈ ℂ)
13162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
132131nnzd 12642 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
133 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
13471anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 ∈ ℕ)
135133, 134pccld 16889 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
136132, 135zexpcld 14129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
137136zcnd 12725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℂ)
138131nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℂ)
13965adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ≠ 0)
140135nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℤ)
141138, 139, 140expne0d 14193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0)
142130, 137, 141divcan1d 12045 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 𝑅)
143142eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 = ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
144 pcdvds 16903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
145133, 134, 144syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
146134nnzd 12642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 ∈ ℤ)
147 dvdsval2 16294 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
148136, 141, 146, 147syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ))
149145, 148mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℤ)
15038, 47jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
151 elnnz 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁)))
153150, 152mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
154153nnzd 12642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
15534, 36, 107, 117, 52relogbcld 41975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
156155flcld 13839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
15734recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15840, 36gtned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 2 ≠ 0)
159 logb1 26813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
160157, 158, 52, 159syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
161160eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
162 2z 12651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℤ
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
16434leidd 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ≤ 2)
165 0lt1 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < 1
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 < 1)
167 1lt9 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 9
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 9)
16948, 109, 107, 168, 116lttrd 11423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 1 < 𝐵)
17048, 107, 169ltled 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
171163, 164, 48, 166, 107, 117, 170logblebd 41978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
172161, 171eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
173 0zd 12627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
174 flge 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
175155, 173, 174syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
176172, 175mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
177156, 176jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
178 elnn0z 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
179178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))))
180177, 179mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
181154, 180zexpcld 14129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
182 fzfid 14015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
183154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
184 elfznn 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
185184adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
186185nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
187183, 186zexpcld 14129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
188 1zzd 12650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
189187, 188zsubcld 12729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
190182, 189fprodzcl 15991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
191181, 190zmulcld 12730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
1922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
193192eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
194191, 193mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
195194ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
196 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝𝑅)
197134, 133, 196aks4d1p8d3 42088 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = 1)
198138exp0d 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑0) = 1)
199 pcelnn 16909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑅))
200133, 134, 199syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑅))
201196, 200mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ)
202201nngt0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 0 < (𝑝 pCnt 𝑅))
203101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
204173ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
205 prmgt1 16735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
206205adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
207206adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 < 𝑝)
208203, 204, 140, 207ltexp2d 14291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (0 < (𝑝 pCnt 𝑅) ↔ (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
209202, 208mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑0) < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
210198, 209eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
211136zred 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ)
21270nnrpd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
213212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
214213adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℝ+)
215214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
216211, 215ltmulgt11d 13113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (1 < (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
217210, 216mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
218124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
219218, 140rpexpcld 14287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+)
22093, 93, 219ltdivmul2d 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅𝑅 < (𝑅 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
221217, 220mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅)
22293, 211, 141redivcld 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ ℝ)
223222, 93ltnled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
224221, 223mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
2254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ))
226225breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
227226notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
228224, 227mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
229 elfznn 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℕ)
230229adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℕ)
231230nnred 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 ∈ (1...𝐵)) → 𝑓 ∈ ℝ)
232231ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑓 ∈ (1...𝐵) → 𝑓 ∈ ℝ))
233232ssrdv 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
2347, 233sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
235234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
236235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
237236adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
23819adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
239238adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
240239adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
241 infrefilb 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
2422413expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
243242ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
244243con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
245237, 240, 244syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
246228, 245mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
247 1zzd 12650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
24899adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
249137mullidd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
250 dvdsle 16348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
251136, 134, 250syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
252145, 251mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
253249, 252eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
25448adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
255254ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
256255, 93, 219lemuldivd 13127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((1 · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅 ↔ 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))))
257253, 256mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
258100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
259121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ 𝑝)
260203, 135, 259expge1d 14206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
261 nnledivrp 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ ℝ+) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
262134, 219, 261syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (1 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅))
263260, 262mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝑅)
264106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅𝐵)
265222, 93, 258, 263, 264letrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ≤ 𝐵)
266247, 248, 149, 257, 265elfzd 13556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵))
267 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (𝑟𝐴 ↔ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
268267notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) → (¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
269268elrab3 3692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴))
270269con2bid 354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ (1...𝐵) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
271266, 270syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
272246, 271mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
273134ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
274153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
275274adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
276275adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
277276adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
27874, 277sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
279278ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ)
280133ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑝 ∈ ℙ)
281 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑞 ∈ ℙ)
282196ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑝𝑅)
283 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑞𝑅)
284 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝𝑁)
285284adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → ¬ 𝑝𝑁)
286 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → 𝑞𝑁)
287273, 279, 280, 281, 282, 283, 285, 286aks4d1p8d2 42087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑞𝑁𝑞𝑅)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
288 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
289288ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
290255, 289ltned 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≠ (𝑁 gcd 𝑅))
291290necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1)
292278, 134prmdvdsncoprmbd 16765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞𝑅) ↔ (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1))
293292bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞𝑅)))
294293biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑁 gcd 𝑅) ≠ 1 → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞𝑅)))
295291, 294mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞𝑅))
296287, 295r19.29a 3161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅)
297211, 93ltnled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
298296, 297mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
299225breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
300299notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ↔ ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
301298, 300mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
302 infrefilb 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
3033023expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)))
304303ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))))
305304con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
306237, 240, 305syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (¬ inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
307301, 306mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
308211, 93, 258, 252, 264letrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ≤ 𝐵)
309247, 248, 136, 260, 308elfzd 13556 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵))
310 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (𝑟𝐴 ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
311310notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) → (¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
312311elrab3 3692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ (1...𝐵) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
313309, 312syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴))
314313con2bid 354 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}))
315307, 314mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅)) ∥ 𝐴)
316149, 136, 195, 197, 272, 315coprmdvds2d 42003 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑅 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑅))) ∥ 𝐴)
317143, 316eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑅𝐴)
318317adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅𝐴)
31967simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝑅𝐴)
320319ad5antr 734 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑅) ∧ ¬ 𝑝𝑁) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅𝐴)
32175, 320sylbir 235 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅𝐴)
322318, 321pm2.21dd 195 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / 𝑝) ∥ 𝐴)
32330, 129, 322elrabd 3693 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
324 lbinfle 12224 . . . . . . 7 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦 ∧ (𝑅 / 𝑝) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
32517, 28, 323, 324syl3anc 1372 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / 𝑝))
3265, 325eqbrtrd 5164 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
327207adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 < 𝑝)
328 1rp 13039 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
329328a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
330215adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ+)
331329, 95, 330ltdiv2d 13101 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (1 < 𝑝 ↔ (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1)))
332327, 331mpbid 232 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < (𝑅 / 1))
333130adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
334333div1d 12036 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 1) = 𝑅)
335332, 334breqtrd 5168 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) < 𝑅)
33698, 101, 65redivcld 12096 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
337336adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
338337adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → (𝑅 / 𝑝) ∈ ℝ)
339338, 94ltnled 11409 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ((𝑅 / 𝑝) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝)))
340335, 339mpbid 232 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / 𝑝))
341326, 340pm2.65da 816 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
3421, 2, 3, 4aks4d1p7 42085 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁))
343342adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅 ∧ ¬ 𝑝𝑁))
344341, 343r19.29a 3161 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
345344adantr 480 . 2 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
3461, 2, 3, 4, 345aks4d1p5 42082 1 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  wss 3950  c0 4332   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  infcinf 9482  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  5c5 12325  9c9 12329  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  +crp 13035  ...cfz 13548  cfl 13831  cceil 13832  cexp 14103  cprod 15940  cdvds 16291   gcd cgcd 16532  cprime 16709   pCnt cpc 16875   logb clogb 26808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-symdif 4252  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-ceil 13834  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-prod 15941  df-ef 16104  df-e 16105  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-lcm 16628  df-lcmf 16629  df-prm 16710  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657  df-ibl 25658  df-itg 25659  df-0p 25706  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-cxp 26600  df-logb 26809
This theorem is referenced by:  aks4d1p9  42090  aks4d1  42091
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