Theorem eupth2lem3lem6 30891

Description: Formerly part of proof of eupth2lem3 30894: If an edge (not a loop) is added to a trail, the degree of vertices not being end vertices of this edge remains odd if it was odd before (regarding the subgraphs induced by the involved trails). Remark: This seems to be not valid for hyperedges joining more vertices than (𝑃‘0) and (𝑃‘𝑁): if there is a third vertex in the edge, and this vertex is already contained in the trail, then the degree of this vertex could be affected by this edge! (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 25-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
eupth2lem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.iy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
3		trlsegvdeg.vy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
5		fvexd 6931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
6		trlsegvdeg.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
8		fvexd 6931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V)
9		eupth2lem3.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
10		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁))
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁))
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
14	11, 13	nelprd 4619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑈 ∈ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
15		df-nel 3066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∉ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ↔ ¬ 𝑈 ∈ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
16	14, 15	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∉ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
17		neleq2 3072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → (𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ 𝑈 ∉ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
18	16, 17	imbitrrid 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
19	18	expd 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))))
20	9, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))))
21	20	3imp 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
22	2, 4, 5, 7, 8, 21	1hevtxdg0 30143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 0)
23	22	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 0))
24		trlsegvdeg.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
25		trlsegvdeg.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
26		trlsegvdeg.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
27		trlsegvdeg.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
28		trlsegvdeg.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
29		trlsegvdeg.vx	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
30		trlsegvdeg.vz	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
31		trlsegvdeg.ix	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
32		trlsegvdeg.iz	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
33	24, 25, 26, 27, 6, 28, 29, 3, 30, 31, 1, 32	eupth2lem3lem1 30886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12709	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℂ)
35	34	addridd 11549	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 0) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
36	35	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 0) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
37	23, 36	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
38	37	breq2d 5120	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
39	38	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
40		fveq2 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
41	40	breq2d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
42	41	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
43	42	elrab3 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
44	6, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
45		eupth2lem3.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
46	45	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
47	44, 46	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
48	47	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
49	10	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁))
50	12	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
51	49, 50	2thd 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
52		neeq1 3021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘0) → (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁)))
53		neeq1 3021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘0) → (𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
54	52, 53	bibi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘0) → ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
55	51, 54	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
56	55	pm5.32rd 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0))))
57	49	neneqd 2964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))
58		biorf 950	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑈 = (𝑃‘𝑁) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0))))
59	57, 58	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0))))
60		orcom 884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)))
61	59, 60	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))))
62	61	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)))))
63	50	neneqd 2964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
64		biorf 950	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0))))
65	63, 64	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0))))
66		orcom 884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
67	65, 66	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
68	67	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
69	56, 62, 68	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
70		eupth2lem1 30876	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)))))
71	7, 70	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)))))
72		eupth2lem1 30876	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
73	7, 72	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
74	69, 71, 73	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
75	39, 48, 74	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3065  {crab 3416  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108   ↾ cres 5660   “ cima 5661  Fun wfun 6560  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  2c2 12437  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515   ∥ cdvds 16466  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  VtxDegcvtxdg 30103  Trailsctrls 30330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-xadd 13282  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-vtxdg 30104  df-wlks 30237  df-trls 30332

This theorem is used by:  eupth2lem3lem7  30892