Theorem eupth2lem3lem6 28498

Description: Formerly part of proof of eupth2lem3 28501: If an edge (not a loop) is added to a trail, the degree of vertices not being end vertices of this edge remains odd if it was odd before (regarding the subgraphs induced by the involved trails). Remark: This seems to be not valid for hyperedges joining more vertices than (𝑃‘0) and (𝑃‘𝑁): if there is a third vertex in the edge, and this vertex is already contained in the trail, then the degree of this vertex could be affected by this edge! (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 25-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
eupth2lem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.iy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
2	1	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
3		trlsegvdeg.vy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
4	3	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
5		fvexd 6771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
6		trlsegvdeg.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
7	6	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
8		fvexd 6771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V)
9		eupth2lem3.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
10		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁))
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
14	11, 13	nelprd 4589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑈 ∈ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
15		df-nel 3049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∉ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ↔ ¬ 𝑈 ∈ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
16	14, 15	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∉ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
17		neleq2 3054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → (𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ 𝑈 ∉ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
18	16, 17	syl5ibr 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
19	18	expd 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))))
20	9, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))))
21	20	3imp 1109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
22	2, 4, 5, 7, 8, 21	1hevtxdg0 27775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 0)
23	22	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 0))
24		trlsegvdeg.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
25		trlsegvdeg.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
26		trlsegvdeg.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
27		trlsegvdeg.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
28		trlsegvdeg.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
29		trlsegvdeg.vx	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
30		trlsegvdeg.vz	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
31		trlsegvdeg.ix	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
32		trlsegvdeg.iz	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
33	24, 25, 26, 27, 6, 28, 29, 3, 30, 31, 1, 32	eupth2lem3lem1 28493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12225	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℂ)
35	34	addid1d 11105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 0) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
36	35	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 0) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
37	23, 36	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
38	37	breq2d 5082	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
39	38	notbid 317	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
40		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
41	40	breq2d 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
42	41	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
43	42	elrab3 3618	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
44	6, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
45		eupth2lem3.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
46	45	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
47	44, 46	bitr3d 280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
48	47	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
49	10	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁))
50	12	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
51	49, 50	2thd 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
52		neeq1 3005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘0) → (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁)))
53		neeq1 3005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘0) → (𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
54	52, 53	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘0) → ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
55	51, 54	syl5ibcom 244	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
56	55	pm5.32rd 577	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0))))
57	49	neneqd 2947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))
58		biorf 933	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑈 = (𝑃‘𝑁) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0))))
59	57, 58	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0))))
60		orcom 866	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)))
61	59, 60	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))))
62	61	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)))))
63	50	neneqd 2947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
64		biorf 933	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0))))
65	63, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0))))
66		orcom 866	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
67	65, 66	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
68	67	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
69	56, 62, 68	3bitr3d 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
70		eupth2lem1 28483	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)))))
71	7, 70	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)))))
72		eupth2lem1 28483	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
73	7, 72	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
74	69, 71, 73	3bitr4d 310	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
75	39, 48, 74	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∉ wnel 3048  {crab 3067  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ifcif 4456  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↾ cres 5582   “ cima 5583  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  2c2 11958  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972   ∥ cdvds 15891  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  VtxDegcvtxdg 27735  Trailsctrls 27960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-xadd 12778  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-vtxdg 27736  df-wlks 27869  df-trls 27962

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem7  28499