MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eupth2lem3lem6 29754
Description: Formerly part of proof of eupth2lem3 29757: If an edge (not a loop) is added to a trail, the degree of vertices not being end vertices of this edge remains odd if it was odd before (regarding the subgraphs induced by the involved trails). Remark: This seems to be not valid for hyperedges joining more vertices than (π‘ƒβ€˜0) and (π‘ƒβ€˜π‘): if there is a third vertex in the edge, and this vertex is already contained in the trail, then the degree of this vertex could be affected by this edge! (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 25-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
trlsegvdeg.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
trlsegvdeg.vx (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
trlsegvdeg.iz (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
eupth2lem3.e (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3lem6 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem eupth2lem3lem6
StepHypRef Expression
1 trlsegvdeg.iy . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
213ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
3 trlsegvdeg.vy . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
433ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
5 fvexd 6906 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ V)
6 trlsegvdeg.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
763ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
8 fvexd 6906 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ V)
9 eupth2lem3.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
10 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘))
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘))
12 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
1411, 13nelprd 4659 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ Β¬ π‘ˆ ∈ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
15 df-nel 3046 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ βˆ‰ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} ↔ Β¬ π‘ˆ ∈ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
1614, 15sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ π‘ˆ βˆ‰ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
17 neleq2 3052 . . . . . . . . . . 11 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} β†’ (π‘ˆ βˆ‰ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ↔ π‘ˆ βˆ‰ {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))
1816, 17imbitrrid 245 . . . . . . . . . 10 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ π‘ˆ βˆ‰ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
1918expd 415 . . . . . . . . 9 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘ˆ βˆ‰ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))))
209, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘ˆ βˆ‰ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))))
21203imp 1110 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ π‘ˆ βˆ‰ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
222, 4, 5, 7, 8, 211hevtxdg0 29030 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ) = 0)
2322oveq2d 7428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) = (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 0))
24 trlsegvdeg.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
25 trlsegvdeg.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
26 trlsegvdeg.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
27 trlsegvdeg.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
28 trlsegvdeg.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
29 trlsegvdeg.vx . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
30 trlsegvdeg.vz . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
31 trlsegvdeg.ix . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
32 trlsegvdeg.iz . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
3324, 25, 26, 27, 6, 28, 29, 3, 30, 31, 1, 32eupth2lem3lem1 29749 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
3433nn0cnd 12539 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„‚)
3534addridd 11419 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 0) = ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ))
36353ad2ant1 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + 0) = ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ))
3723, 36eqtrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) = ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ))
3837breq2d 5160 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
3938notbid 318 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
40 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯) = ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ))
4140breq2d 5160 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯) ↔ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
4241notbid 318 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
4342elrab3 3684 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
446, 43syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} ↔ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ)))
45 eupth2lem3.o . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
4645eleq2d 2818 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
4744, 46bitr3d 281 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
48473ad2ant1 1132 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)})))
49103ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘))
50123ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
5149, 502thd 265 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
52 neeq1 3002 . . . . . . 7 (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘)))
53 neeq1 3002 . . . . . . 7 (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
5452, 53bibi12d 345 . . . . . 6 (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ((π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))))
5551, 54syl5ibcom 244 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))))
5655pm5.32rd 577 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0)) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0))))
5749neneqd 2944 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ Β¬ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘))
58 biorf 934 . . . . . . 7 (Β¬ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0))))
5957, 58syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0))))
60 orcom 867 . . . . . 6 ((π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0)) ↔ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘)))
6159, 60bitrdi 287 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘))))
6261anbi2d 628 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0)) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘)))))
6350neneqd 2944 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ Β¬ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
64 biorf 934 . . . . . . 7 (Β¬ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0))))
6563, 64syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0))))
66 orcom 867 . . . . . 6 ((π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0)) ↔ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
6765, 66bitrdi 287 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))))
6867anbi2d 628 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0)) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))))
6956, 62, 683bitr3d 309 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘))) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))))
70 eupth2lem1 29739 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘)))))
717, 70syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘)))))
72 eupth2lem1 29739 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))))
737, 72syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜0) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))))
7469, 71, 733bitr4d 311 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
7539, 48, 743bitrd 305 1 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ‰ wnel 3045  {crab 3431  Vcvv 3473  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  2c2 12272  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295   βˆ₯ cdvds 16202  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  VtxDegcvtxdg 28990  Trailsctrls 29215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-vtxdg 28991  df-wlks 29124  df-trls 29217
This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem7  29755
  Copyright terms: Public domain W3C validator