Proof of Theorem eupth2lem3lem6
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | trlsegvdeg.iy |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {〈(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))〉}) |
2 | 1 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (iEdg‘𝑌) = {〈(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))〉}) |
3 | | trlsegvdeg.vy |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉) |
4 | 3 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉) |
5 | | fvexd 6786 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝐹‘𝑁) ∈ V) |
6 | | trlsegvdeg.u |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉) |
7 | 6 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∈ 𝑉) |
8 | | fvexd 6786 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V) |
9 | | eupth2lem3.e |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) |
10 | | simpl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) |
11 | 10 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) |
12 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) |
13 | 12 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) |
14 | 11, 13 | nelprd 4598 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑈 ∈ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) |
15 | | df-nel 3052 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑈 ∉ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ↔ ¬ 𝑈 ∈ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) |
16 | 14, 15 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∉ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) |
17 | | neleq2 3057 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → (𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ 𝑈 ∉ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})) |
18 | 16, 17 | syl5ibr 245 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → (((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))) |
19 | 18 | expd 416 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))) |
20 | 9, 19 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))) |
21 | 20 | 3imp 1110 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ∉ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) |
22 | 2, 4, 5, 7, 8, 21 | 1hevtxdg0 27870 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 0) |
23 | 22 | oveq2d 7287 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 0)) |
24 | | trlsegvdeg.v |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺) |
25 | | trlsegvdeg.i |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺) |
26 | | trlsegvdeg.f |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → Fun 𝐼) |
27 | | trlsegvdeg.n |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) |
28 | | trlsegvdeg.w |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) |
29 | | trlsegvdeg.vx |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉) |
30 | | trlsegvdeg.vz |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉) |
31 | | trlsegvdeg.ix |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))) |
32 | | trlsegvdeg.iz |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁)))) |
33 | 24, 25, 26, 27, 6, 28, 29, 3, 30, 31, 1, 32 | eupth2lem3lem1 28588 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈
ℕ0) |
34 | 33 | nn0cnd 12295 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℂ) |
35 | 34 | addid1d 11175 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 0) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) |
36 | 35 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 0) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) |
37 | 23, 36 | eqtrd 2780 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) |
38 | 37 | breq2d 5091 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
39 | 38 | notbid 318 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
40 | | fveq2 6771 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) |
41 | 40 | breq2d 5091 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
42 | 41 | notbid 318 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
43 | 42 | elrab3 3627 |
. . . . 5
⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
44 | 6, 43 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))) |
45 | | eupth2lem3.o |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})) |
46 | 45 | eleq2d 2826 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))) |
47 | 44, 46 | bitr3d 280 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))) |
48 | 47 | 3ad2ant1 1132 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥
((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))) |
49 | 10 | 3ad2ant3 1134 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) |
50 | 12 | 3ad2ant3 1134 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) |
51 | 49, 50 | 2thd 264 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) |
52 | | neeq1 3008 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑈 = (𝑃‘0) → (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁))) |
53 | | neeq1 3008 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑈 = (𝑃‘0) → (𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) |
54 | 52, 53 | bibi12d 346 |
. . . . . 6
⊢ (𝑈 = (𝑃‘0) → ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))) |
55 | 51, 54 | syl5ibcom 244 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))) |
56 | 55 | pm5.32rd 578 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0)))) |
57 | 49 | neneqd 2950 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) |
58 | | biorf 934 |
. . . . . . 7
⊢ (¬
𝑈 = (𝑃‘𝑁) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0)))) |
59 | 57, 58 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0)))) |
60 | | orcom 867 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))) |
61 | 59, 60 | bitrdi 287 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)))) |
62 | 61 | anbi2d 629 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))))) |
63 | 50 | neneqd 2950 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) |
64 | | biorf 934 |
. . . . . . 7
⊢ (¬
𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0)))) |
65 | 63, 64 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0)))) |
66 | | orcom 867 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) |
67 | 65, 66 | bitrdi 287 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 = (𝑃‘0) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))) |
68 | 67 | anbi2d 629 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))) |
69 | 56, 62, 68 | 3bitr3d 309 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))) |
70 | | eupth2lem1 28578 |
. . . 4
⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))))) |
71 | 7, 70 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘𝑁))))) |
72 | | eupth2lem1 28578 |
. . . 4
⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))) |
73 | 7, 72 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))) |
74 | 69, 71, 73 | 3bitr4d 311 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))) |
75 | 39, 48, 74 | 3bitrd 305 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥
(((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))) |