Theorem uzuzle23 12788

Description: An integer greater than or equal to 3 is an integer greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzuzle23	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))

Proof of Theorem uzuzle23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12510	. 2 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		2re 12205	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		3re 12211	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
4		2lt3 12298	. . 3 ⊢ 2 < 3
5	2, 3, 4	ltleii 11242	. 2 ⊢ 2 ≤ 3
6		eluzuzle 12747	. 2 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)))
7	1, 5, 6	mp2an 692	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487   ≤ cle 11153  2c2 12186  3c3 12187  ℤcz 12474  ℤ_≥cuz 12738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-z 12475  df-uz 12739

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12793  4fvwrd4  13554  axlowdimlem17  28943  axlowdim  28946  2clwwlk2clwwlklem  30333  2clwwlk2clwwlk  30337  extwwlkfab  30339  numclwwlk1lem2f1  30344  numclwlk1lem2  30357  numclwwlk3  30372  aks5  42303  fltnltalem  42761  fltnlta  42762  fmtnonn  47636  prmdvdsfmtnof  47691  prmdvdsfmtnof1  47692  gpgprismgriedgdmss  48157  gpgusgralem  48161  gpg5nbgrvtx03starlem1  48173  gpg5nbgrvtx03starlem3  48175  gpgprismgr4cycllem3  48202  gpgprismgr4cycllem9  48208