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Theorem smonoord 42387
Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. Analogous to monoord 13154 (except that the case 𝑀 = 𝑁 must be excluded). Duplicate of monoords 40434? (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smonoord.0 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smonoord.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
smonoord.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
smonoord.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
smonoord (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem smonoord
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smonoord.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
2 eluzfz2 12671 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
4 eleq1 2847 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
5 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑀 + 1)))
65breq2d 4900 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑀 + 1) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
74, 6imbi12d 336 . . . . 5 (𝑥 = (𝑀 + 1) → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1)))))
87imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = (𝑀 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))))
9 eleq1 2847 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
10 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
1110breq2d 4900 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)))
129, 11imbi12d 336 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ (𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛))))
1312imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)))))
14 eleq1 2847 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
15 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
1615breq2d 4900 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
1714, 16imbi12d 336 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
1817imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
19 eleq1 2847 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
20 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2120breq2d 4900 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))
2219, 21imbi12d 336 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))))
2322imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))))
24 smonoord.0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
25 eluzp1m1 12021 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2624, 1, 25syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
27 eluzfz1 12670 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
29 smonoord.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3029ralrimiva 3148 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
31 fveq2 6448 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
32 fvoveq1 6947 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑀 + 1)))
3331, 32breq12d 4901 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
3433rspcv 3507 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
3528, 30, 34sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1)))
3635a1d 25 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
3736a1i 11 . . . 4 ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1)))))
38 peano2fzr 12676 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
3938adantll 704 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
4039ex 403 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
4140imim1d 82 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛))))
42 peano2uzr 12054 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4342ex 403 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
4443, 24syl11 33 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
4544adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
4645impcom 398 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
47 eluzelz 12007 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
4847adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
4948adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
50 elfzuz3 12661 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
5150ad2antll 719 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
52 eluzp1m1 12021 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
5349, 51, 52syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
54 elfzuzb 12658 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛)))
5546, 53, 54sylanbrc 578 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5630adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
57 fveq2 6448 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
58 fvoveq1 6947 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5957, 58breq12d 4901 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6059rspcv 3507 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6155, 56, 60sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))
62 zre 11737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6362lep1d 11312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
6424, 63jccir 517 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)))
65 eluzuzle 12006 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
6664, 1, 65sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
67 eluzfz1 12670 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
69 smonoord.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7069ralrimiva 3148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7131eleq1d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
7271rspcv 3507 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
7368, 70, 72sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
7473adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
75 fzp1ss 12714 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7624, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7776sseld 3820 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
7877com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝜑 → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
7978adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝜑 → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
8079impcom 398 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
81 peano2fzr 12676 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
8246, 80, 81syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
8370adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8457eleq1d 2844 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
8584rspcv 3507 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
8682, 83, 85sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
87 fveq2 6448 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
8887eleq1d 2844 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
8988rspcv 3507 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
9080, 83, 89sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
91 lttr 10455 . . . . . . 7 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑀) < (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9274, 86, 90, 91syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (((𝐹𝑀) < (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9361, 92mpan2d 684 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑛) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9441, 93animpimp2impd 835 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → ((𝜑 → (𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛))) → (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
958, 13, 18, 23, 37, 94uzind4 12057 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))))
961, 95mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))
973, 96mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wss 3792   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  cr 10273  1c1 10275   + caddc 10277   < clt 10413  cle 10414  cmin 10608  cz 11733  cuz 11997  ...cfz 12648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649
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