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Theorem smonoord 46029
Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. Analogous to monoord 13997 (except that the case 𝑀 = 𝑁 must be excluded). Duplicate of monoords 43997? (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smonoord.0 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smonoord.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
smonoord.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
smonoord.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
smonoord (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem smonoord
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smonoord.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
2 eluzfz2 13508 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
4 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
5 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑀 + 1)))
65breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑀 + 1) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
74, 6imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = (𝑀 + 1) → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1)))))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = (𝑀 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))))
9 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
10 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
1110breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)))
129, 11imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ (𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛))))
1312imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)))))
14 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
15 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
1615breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
1714, 16imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
1817imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
19 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
20 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2120breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))
2219, 21imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))))
2322imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))))
24 smonoord.0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
25 eluzp1m1 12847 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2624, 1, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
27 eluzfz1 13507 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
29 smonoord.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3029ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
31 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
32 fvoveq1 7431 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑀 + 1)))
3331, 32breq12d 5161 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
3433rspcv 3608 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
3528, 30, 34sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1)))
3635a1d 25 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
3736a1i 11 . . . 4 ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1)))))
38 peano2fzr 13513 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
3938adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
4039ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
4140imim1d 82 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛))))
42 peano2uzr 12886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4342ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
4443, 24syl11 33 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
4544adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
4645impcom 408 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
47 eluzelz 12831 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
4948adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
50 elfzuz3 13497 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
5150ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
52 eluzp1m1 12847 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
5349, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
54 elfzuzb 13494 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛)))
5546, 53, 54sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5630adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
57 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
58 fvoveq1 7431 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5957, 58breq12d 5161 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6059rspcv 3608 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6155, 56, 60sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))
62 zre 12561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6362lep1d 12144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
6424, 63jccir 522 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)))
65 eluzuzle 12830 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
6664, 1, 65sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
67 eluzfz1 13507 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
69 smonoord.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7069ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7131eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
7271rspcv 3608 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
7368, 70, 72sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
7473adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
75 fzp1ss 13551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7624, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7776sseld 3981 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
7877com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝜑 → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
7978adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝜑 → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
8079impcom 408 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
81 peano2fzr 13513 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
8246, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
8370adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8457eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
8584rspcv 3608 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
8682, 83, 85sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
87 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
8887eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
8988rspcv 3608 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
9080, 83, 89sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
91 lttr 11289 . . . . . . 7 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑀) < (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9274, 86, 90, 91syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (((𝐹𝑀) < (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9361, 92mpan2d 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑛) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9441, 93animpimp2impd 844 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → ((𝜑 → (𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛))) → (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
958, 13, 18, 23, 37, 94uzind4 12889 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))))
961, 95mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))
973, 96mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wss 3948   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  cle 11248  cmin 11443  cz 12557  cuz 12821  ...cfz 13483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484
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