Theorem eluz2nn 12922

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12645	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12473	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12885	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12919	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2850	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  1c1 11154   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  2c2 12319  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  eluz4nn  12926  eluzge2nn0  12927  eluz2n0  12928  zgt1rpn0n1  13074  mulp1mod1  13949  expnngt1b  14278  relexpaddg  15089  modm1div  16299  ncoprmgcdne1b  16684  isprm3  16717  prmind2  16719  nprm  16722  exprmfct  16738  prmdvdsfz  16739  isprm5  16741  maxprmfct  16743  isprm6  16748  phibndlem  16804  phibnd  16805  dfphi2  16808  pclem  16872  pcprendvds2  16875  pcpre1  16876  dvdsprmpweqnn  16919  expnprm  16936  prmreclem1  16950  4sqlem15  16993  4sqlem16  16994  vdwlem5  17019  vdwlem6  17020  vdwlem8  17022  vdwlem9  17023  vdwlem11  17025  prmgaplem1  17083  prmgaplem2  17084  prmgaplcmlem2  17086  prmgapprmolem  17095  ovolicc1  25565  rtprmirr  26818  logbgcd1irr  26852  wilth  27129  wilthimp  27130  mersenne  27286  bposlem3  27345  lgsquad2lem2  27444  2sqlem6  27482  rplogsumlem1  27543  rplogsumlem2  27544  dchrisum0flblem2  27568  ostthlem2  27687  ostth2lem2  27693  axlowdimlem5  28976  clwwisshclwwslemlem  30042  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30393  dlwwlknondlwlknonf1o  30394  signstfveq0  34571  subfacval3  35174  expeqidd  42339  fltne  42631  rmspecsqrtnq  42894  rmxypos  42936  ltrmynn0  42937  jm2.17a  42949  jm2.17b  42950  jm2.17c  42951  jm2.27c  42996  jm3.1lem1  43006  jm3.1lem2  43007  jm3.1lem3  43008  relexpaddss  43708  wallispilem3  46023  zplusmodne  47283  m1modne  47288  fmtnonn  47456  fmtnorec3  47473  fmtnorec4  47474  fmtnoprmfac2lem1  47491  fmtnoprmfac2  47492  prmdvdsfmtnof1lem1  47509  prmdvdsfmtnof  47511  lighneallem4a  47533  lighneallem4b  47534  fpprel2  47666  wtgoldbnnsum4prm  47727  bgoldbnnsum3prm  47729  cznnring  48106  expnegico01  48364  fllogbd  48410  logbge0b  48413  logblt1b  48414  nnolog2flm1  48440  blennngt2o2  48442  blengt1fldiv2p1  48443  dignn0ldlem  48452  dignnld  48453  digexp  48457  dig1  48458