Theorem eluz2nn 12930

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12641	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12469	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12889	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12919	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2876	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  1c1 11118   ≤ cle 11261  ℕcn 12250  2c2 12312  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-z 12609  df-uz 12881

This theorem is used by:  eluz3nn  12931  eluz4nn  12932  eluzge2nn0  12934  eluz2n0  12935  zgt1rpn0n1  13077  nnge2recico01  13552  mulp1mod1  13967  expnngt1b  14298  relexpaddg  15116  modm1div  16346  ncoprmgcdne1b  16732  isprm3  16765  prmind2  16767  nprm  16770  exprmfct  16787  prmdvdsfz  16788  isprm5  16790  maxprmfct  16792  isprm6  16797  phibndlem  16853  phibnd  16854  dfphi2  16857  pclem  16922  pcprendvds2  16925  pcpre1  16926  dvdsprmpweqnn  16969  expnprm  16986  prmreclem1  17000  4sqlem15  17043  4sqlem16  17044  vdwlem5  17069  vdwlem6  17070  vdwlem8  17072  vdwlem9  17073  vdwlem11  17075  prmgaplem1  17133  prmgaplem2  17134  prmgaplcmlem2  17136  prmgapprmolem  17145  ovolicc1  25728  rtprmirr  26978  logbgcd1irr  27012  wilth  27288  wilthimp  27289  mersenne  27444  bposlem3  27503  lgsquad2lem2  27602  2sqlem6  27640  rplogsumlem1  27701  rplogsumlem2  27702  dchrisum0flblem2  27726  ostthlem2  27845  ostth2lem2  27851  axlowdimlem5  29353  clwwisshclwwslemlem  30433  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30788  dlwwlknondlwlknonf1o  30789  signstfveq0  35031  subfacval3  35720  expeqidd  43146  fltne  43436  rmspecsqrtnq  43693  rmxypos  43734  ltrmynn0  43735  jm2.17a  43747  jm2.17b  43748  jm2.17c  43749  jm2.27c  43794  jm3.1lem1  43804  jm3.1lem2  43805  jm3.1lem3  43806  relexpaddss  44504  wallispilem3  46841  elfzo2nn  48126  zplusmodne  48146  m1modne  48151  fmtnonn  48343  fmtnorec3  48360  fmtnorec4  48361  fmtnoprmfac2lem1  48378  fmtnoprmfac2  48379  prmdvdsfmtnof1lem1  48396  prmdvdsfmtnof  48398  lighneallem4a  48420  lighneallem4b  48421  ppivalnnprm  48437  fpprel2  48566  wtgoldbnnsum4prm  48627  bgoldbnnsum3prm  48629  cznnring  49086  expnegico01  49357  fllogbd  49399  logbge0b  49402  logblt1b  49403  nnolog2flm1  49429  blennngt2o2  49431  blengt1fldiv2p1  49432  dignn0ldlem  49441  dignnld  49442  digexp  49446  dig1  49447