Theorem eluz2nn 13055

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12766	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12594	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 13014	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 13044	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2875	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  1c1 11240   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  2c2 12437  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  eluz3nn  13056  eluz4nn  13057  eluzge2nn0  13059  eluz2n0  13060  zgt1rpn0n1  13203  nnge2recico01  13678  mulp1mod1  14094  expnngt1b  14427  relexpaddg  15249  modm1div  16478  ncoprmgcdne1b  16869  isprm3  16902  prmind2  16904  nprm  16907  exprmfct  16924  prmdvdsfz  16925  isprm5  16927  maxprmfct  16929  isprm6  16934  phibndlem  16991  phibnd  16992  dfphi2  16995  pclem  17060  pcprendvds2  17063  pcpre1  17064  dvdsprmpweqnn  17107  expnprm  17124  prmreclem1  17138  4sqlem15  17181  4sqlem16  17182  vdwlem5  17207  vdwlem6  17208  vdwlem8  17210  vdwlem9  17211  vdwlem11  17213  prmgaplem1  17271  prmgaplem2  17272  prmgaplcmlem2  17274  prmgapprmolem  17283  ovolicc1  25892  rtprmirr  27145  logbgcd1irr  27179  wilth  27455  wilthimp  27456  mersenne  27611  bposlem3  27670  lgsquad2lem2  27769  2sqlem6  27807  rplogsumlem1  27868  rplogsumlem2  27869  dchrisum0flblem2  27893  ostthlem2  28012  ostth2lem2  28018  fltne  28032  axlowdimlem5  29581  clwwisshclwwslemlem  30661  dlwwlknondlwlknonf1olem1  31022  dlwwlknondlwlknonf1o  31023  signstfveq0  35317  subfacval3  36162  expeqidd  43648  rmspecsqrtnq  44179  rmxypos  44220  ltrmynn0  44221  jm2.17a  44233  jm2.17b  44234  jm2.17c  44235  jm2.27c  44280  jm3.1lem1  44290  jm3.1lem2  44291  jm3.1lem3  44292  relexpaddss  44979  wallispilem3  47350  elfzo2nn  48672  zplusmodne  48692  m1modne  48697  fmtnonn  48889  fmtnorec3  48906  fmtnorec4  48907  fmtnoprmfac2lem1  48924  fmtnoprmfac2  48925  prmdvdsfmtnof1lem1  48942  prmdvdsfmtnof  48944  lighneallem4a  48966  lighneallem4b  48967  ppivalnnprm  48983  fpprel2  49112  wtgoldbnnsum4prm  49173  bgoldbnnsum3prm  49175  cznnring  49632  expnegico01  49961  fllogbd  50003  logbge0b  50006  logblt1b  50007  nnolog2flm1  50033  blennngt2o2  50035  blengt1fldiv2p1  50036  dignn0ldlem  50045  dignnld  50046  digexp  50050  dig1  50051