Theorem eluz2nn 12847

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12563	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12390	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12802	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12836	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  1c1 11069   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  2c2 12241  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12848  eluz4nn  12849  eluzge2nn0  12851  eluz2n0  12852  zgt1rpn0n1  12994  mulp1mod1  13876  expnngt1b  14207  relexpaddg  15019  modm1div  16234  ncoprmgcdne1b  16620  isprm3  16653  prmind2  16655  nprm  16658  exprmfct  16674  prmdvdsfz  16675  isprm5  16677  maxprmfct  16679  isprm6  16684  phibndlem  16740  phibnd  16741  dfphi2  16744  pclem  16809  pcprendvds2  16812  pcpre1  16813  dvdsprmpweqnn  16856  expnprm  16873  prmreclem1  16887  4sqlem15  16930  4sqlem16  16931  vdwlem5  16956  vdwlem6  16957  vdwlem8  16959  vdwlem9  16960  vdwlem11  16962  prmgaplem1  17020  prmgaplem2  17021  prmgaplcmlem2  17023  prmgapprmolem  17032  ovolicc1  25417  rtprmirr  26670  logbgcd1irr  26704  wilth  26981  wilthimp  26982  mersenne  27138  bposlem3  27197  lgsquad2lem2  27296  2sqlem6  27334  rplogsumlem1  27395  rplogsumlem2  27396  dchrisum0flblem2  27420  ostthlem2  27539  ostth2lem2  27545  axlowdimlem5  28873  clwwisshclwwslemlem  29942  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30293  dlwwlknondlwlknonf1o  30294  signstfveq0  34568  subfacval3  35176  expeqidd  42313  fltne  42632  rmspecsqrtnq  42894  rmxypos  42936  ltrmynn0  42937  jm2.17a  42949  jm2.17b  42950  jm2.17c  42951  jm2.27c  42996  jm3.1lem1  43006  jm3.1lem2  43007  jm3.1lem3  43008  relexpaddss  43707  wallispilem3  46065  zplusmodne  47344  m1modne  47349  fmtnonn  47532  fmtnorec3  47549  fmtnorec4  47550  fmtnoprmfac2lem1  47567  fmtnoprmfac2  47568  prmdvdsfmtnof1lem1  47585  prmdvdsfmtnof  47587  lighneallem4a  47609  lighneallem4b  47610  fpprel2  47742  wtgoldbnnsum4prm  47803  bgoldbnnsum3prm  47805  cznnring  48250  expnegico01  48507  fllogbd  48549  logbge0b  48552  logblt1b  48553  nnolog2flm1  48579  blennngt2o2  48581  blengt1fldiv2p1  48582  dignn0ldlem  48591  dignnld  48592  digexp  48596  dig1  48597