Theorem eluz2nn 13015

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12726	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12554	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12974	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 13004	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2871	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  1c1 11201   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  2c2 12397  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  eluz3nn  13016  eluz4nn  13017  eluzge2nn0  13019  eluz2n0  13020  zgt1rpn0n1  13163  nnge2recico01  13638  mulp1mod1  14054  expnngt1b  14386  relexpaddg  15206  modm1div  16434  ncoprmgcdne1b  16825  isprm3  16858  prmind2  16860  nprm  16863  exprmfct  16880  prmdvdsfz  16881  isprm5  16883  maxprmfct  16885  isprm6  16890  phibndlem  16947  phibnd  16948  dfphi2  16951  pclem  17016  pcprendvds2  17019  pcpre1  17020  dvdsprmpweqnn  17063  expnprm  17080  prmreclem1  17094  4sqlem15  17137  4sqlem16  17138  vdwlem5  17163  vdwlem6  17164  vdwlem8  17166  vdwlem9  17167  vdwlem11  17169  prmgaplem1  17227  prmgaplem2  17228  prmgaplcmlem2  17230  prmgapprmolem  17239  ovolicc1  25837  rtprmirr  27088  logbgcd1irr  27122  wilth  27398  wilthimp  27399  mersenne  27554  bposlem3  27613  lgsquad2lem2  27712  2sqlem6  27750  rplogsumlem1  27811  rplogsumlem2  27812  dchrisum0flblem2  27836  ostthlem2  27955  ostth2lem2  27961  fltne  27975  axlowdimlem5  29524  clwwisshclwwslemlem  30604  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30965  dlwwlknondlwlknonf1o  30966  signstfveq0  35206  subfacval3  35954  expeqidd  43383  rmspecsqrtnq  43913  rmxypos  43954  ltrmynn0  43955  jm2.17a  43967  jm2.17b  43968  jm2.17c  43969  jm2.27c  44014  jm3.1lem1  44024  jm3.1lem2  44025  jm3.1lem3  44026  relexpaddss  44718  wallispilem3  47077  elfzo2nn  48399  zplusmodne  48419  m1modne  48424  fmtnonn  48616  fmtnorec3  48633  fmtnorec4  48634  fmtnoprmfac2lem1  48651  fmtnoprmfac2  48652  prmdvdsfmtnof1lem1  48669  prmdvdsfmtnof  48671  lighneallem4a  48693  lighneallem4b  48694  ppivalnnprm  48710  fpprel2  48839  wtgoldbnnsum4prm  48900  bgoldbnnsum3prm  48902  cznnring  49359  expnegico01  49630  fllogbd  49672  logbge0b  49675  logblt1b  49676  nnolog2flm1  49702  blennngt2o2  49704  blengt1fldiv2p1  49705  dignn0ldlem  49714  dignnld  49715  digexp  49719  dig1  49720