Theorem eluz2nn 12867

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12591	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12420	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12830	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12864	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2844	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  1c1 11110   ≤ cle 11248  ℕcn 12211  2c2 12266  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-z 12558  df-uz 12822

This theorem is referenced by:  eluz4nn  12869  eluzge2nn0  12870  eluz2n0  12871  zgt1rpn0n1  13014  mulp1mod1  13876  expnngt1b  14204  relexpaddg  14999  modm1div  16208  ncoprmgcdne1b  16586  isprm3  16619  prmind2  16621  nprm  16624  exprmfct  16640  prmdvdsfz  16641  isprm5  16643  maxprmfct  16645  isprm6  16650  phibndlem  16702  phibnd  16703  dfphi2  16706  pclem  16770  pcprendvds2  16773  pcpre1  16774  dvdsprmpweqnn  16817  expnprm  16834  prmreclem1  16848  4sqlem15  16891  4sqlem16  16892  vdwlem5  16917  vdwlem6  16918  vdwlem8  16920  vdwlem9  16921  vdwlem11  16923  prmgaplem1  16981  prmgaplem2  16982  prmgaplcmlem2  16984  prmgapprmolem  16993  ovolicc1  25032  logbgcd1irr  26296  wilth  26572  wilthimp  26573  mersenne  26727  bposlem3  26786  lgsquad2lem2  26885  2sqlem6  26923  rplogsumlem1  26984  rplogsumlem2  26985  dchrisum0flblem2  27009  ostthlem2  27128  ostth2lem2  27134  axlowdimlem5  28201  clwwisshclwwslemlem  29263  dlwwlknondlwlknonf1olem1  29614  dlwwlknondlwlknonf1o  29615  signstfveq0  33583  subfacval3  34175  rtprmirr  41238  fltne  41387  rmspecsqrtnq  41634  rmxypos  41676  ltrmynn0  41677  jm2.17a  41689  jm2.17b  41690  jm2.17c  41691  jm2.27c  41736  jm3.1lem1  41746  jm3.1lem2  41747  jm3.1lem3  41748  relexpaddss  42459  wallispilem3  44773  fmtnonn  46189  fmtnorec3  46206  fmtnorec4  46207  fmtnoprmfac2lem1  46224  fmtnoprmfac2  46225  prmdvdsfmtnof1lem1  46242  prmdvdsfmtnof  46244  lighneallem4a  46266  lighneallem4b  46267  fpprel2  46399  wtgoldbnnsum4prm  46460  bgoldbnnsum3prm  46462  cznnring  46844  expnegico01  47189  fllogbd  47236  logbge0b  47239  logblt1b  47240  nnolog2flm1  47266  blennngt2o2  47268  blengt1fldiv2p1  47269  dignn0ldlem  47278  dignnld  47279  digexp  47283  dig1  47284