Theorem eluz2nn 12786

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12502	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12329	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12741	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12775	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2842	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  1c1 11007   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  2c2 12180  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12787  eluz4nn  12788  eluzge2nn0  12790  eluz2n0  12791  zgt1rpn0n1  12933  mulp1mod1  13818  expnngt1b  14149  relexpaddg  14960  modm1div  16175  ncoprmgcdne1b  16561  isprm3  16594  prmind2  16596  nprm  16599  exprmfct  16615  prmdvdsfz  16616  isprm5  16618  maxprmfct  16620  isprm6  16625  phibndlem  16681  phibnd  16682  dfphi2  16685  pclem  16750  pcprendvds2  16753  pcpre1  16754  dvdsprmpweqnn  16797  expnprm  16814  prmreclem1  16828  4sqlem15  16871  4sqlem16  16872  vdwlem5  16897  vdwlem6  16898  vdwlem8  16900  vdwlem9  16901  vdwlem11  16903  prmgaplem1  16961  prmgaplem2  16962  prmgaplcmlem2  16964  prmgapprmolem  16973  ovolicc1  25444  rtprmirr  26697  logbgcd1irr  26731  wilth  27008  wilthimp  27009  mersenne  27165  bposlem3  27224  lgsquad2lem2  27323  2sqlem6  27361  rplogsumlem1  27422  rplogsumlem2  27423  dchrisum0flblem2  27447  ostthlem2  27566  ostth2lem2  27572  axlowdimlem5  28924  clwwisshclwwslemlem  29993  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30344  dlwwlknondlwlknonf1o  30345  signstfveq0  34590  subfacval3  35233  expeqidd  42428  fltne  42747  rmspecsqrtnq  43009  rmxypos  43050  ltrmynn0  43051  jm2.17a  43063  jm2.17b  43064  jm2.17c  43065  jm2.27c  43110  jm3.1lem1  43120  jm3.1lem2  43121  jm3.1lem3  43122  relexpaddss  43821  wallispilem3  46175  zplusmodne  47453  m1modne  47458  fmtnonn  47641  fmtnorec3  47658  fmtnorec4  47659  fmtnoprmfac2lem1  47676  fmtnoprmfac2  47677  prmdvdsfmtnof1lem1  47694  prmdvdsfmtnof  47696  lighneallem4a  47718  lighneallem4b  47719  fpprel2  47851  wtgoldbnnsum4prm  47912  bgoldbnnsum3prm  47914  cznnring  48372  expnegico01  48629  fllogbd  48671  logbge0b  48674  logblt1b  48675  nnolog2flm1  48701  blennngt2o2  48703  blengt1fldiv2p1  48704  dignn0ldlem  48713  dignnld  48714  digexp  48718  dig1  48719