Theorem eluz2nn 12278

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12006	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 11840	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12246	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12275	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2924	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  1c1 10532   ≤ cle 10670  ℕcn 11632  2c2 11686  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-z 11976  df-uz 12238

This theorem is referenced by:  eluz4nn  12280  eluzge2nn0  12281  eluz2n0  12282  zgt1rpn0n1  12424  mulp1mod1  13274  expnngt1b  13597  relexpaddg  14406  modm1div  15613  ncoprmgcdne1b  15988  isprm3  16021  prmind2  16023  nprm  16026  exprmfct  16042  prmdvdsfz  16043  isprm5  16045  maxprmfct  16047  isprm6  16052  phibndlem  16101  phibnd  16102  dfphi2  16105  pclem  16169  pcprendvds2  16172  pcpre1  16173  dvdsprmpweqnn  16215  expnprm  16232  prmreclem1  16246  4sqlem15  16289  4sqlem16  16290  vdwlem5  16315  vdwlem6  16316  vdwlem8  16318  vdwlem9  16319  vdwlem11  16321  prmgaplem1  16379  prmgaplem2  16380  prmgaplcmlem2  16382  prmgapprmolem  16391  ovolicc1  24111  logbgcd1irr  25366  wilth  25642  wilthimp  25643  mersenne  25797  bposlem3  25856  lgsquad2lem2  25955  2sqlem6  25993  rplogsumlem1  26054  rplogsumlem2  26055  dchrisum0flblem2  26079  ostthlem2  26198  ostth2lem2  26204  axlowdimlem5  26726  clwwisshclwwslemlem  27785  dlwwlknondlwlknonf1olem1  28137  dlwwlknondlwlknonf1o  28138  signstfveq0  31842  subfacval3  32431  rtprmirr  39187  rmspecsqrtnq  39496  rmxypos  39537  ltrmynn0  39538  jm2.17a  39550  jm2.17b  39551  jm2.17c  39552  jm2.27c  39597  jm3.1lem1  39607  jm3.1lem2  39608  jm3.1lem3  39609  relexpaddss  40056  wallispilem3  42346  fmtnonn  43687  fmtnorec3  43704  fmtnorec4  43705  fmtnoprmfac2lem1  43722  fmtnoprmfac2  43723  prmdvdsfmtnof1lem1  43740  prmdvdsfmtnof  43742  lighneallem4a  43767  lighneallem4b  43768  fpprel2  43900  wtgoldbnnsum4prm  43961  bgoldbnnsum3prm  43963  cznnring  44221  expnegico01  44567  fllogbd  44614  logbge0b  44617  logblt1b  44618  nnolog2flm1  44644  blennngt2o2  44646  blengt1fldiv2p1  44647  dignn0ldlem  44656  dignnld  44657  digexp  44661  dig1  44662