MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz2nn 12276
Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluz2nn (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn
StepHypRef Expression
1 1z 12004 . . 3 1 ∈ ℤ
2 1le2 11838 . . 3 1 ≤ 2
3 eluzuzle 12244 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ‘1)))
41, 2, 3mp2an 691 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
5 nnuz 12273 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5eleqtrrdi 2904 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  1c1 10531  cle 10669  cn 11629  2c2 11684  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  eluz4nn  12278  eluzge2nn0  12279  eluz2n0  12280  zgt1rpn0n1  12422  mulp1mod1  13279  expnngt1b  13603  relexpaddg  14408  modm1div  15615  ncoprmgcdne1b  15988  isprm3  16021  prmind2  16023  nprm  16026  exprmfct  16042  prmdvdsfz  16043  isprm5  16045  maxprmfct  16047  isprm6  16052  phibndlem  16101  phibnd  16102  dfphi2  16105  pclem  16169  pcprendvds2  16172  pcpre1  16173  dvdsprmpweqnn  16215  expnprm  16232  prmreclem1  16246  4sqlem15  16289  4sqlem16  16290  vdwlem5  16315  vdwlem6  16316  vdwlem8  16318  vdwlem9  16319  vdwlem11  16321  prmgaplem1  16379  prmgaplem2  16380  prmgaplcmlem2  16382  prmgapprmolem  16391  ovolicc1  24124  logbgcd1irr  25384  wilth  25660  wilthimp  25661  mersenne  25815  bposlem3  25874  lgsquad2lem2  25973  2sqlem6  26011  rplogsumlem1  26072  rplogsumlem2  26073  dchrisum0flblem2  26097  ostthlem2  26216  ostth2lem2  26222  axlowdimlem5  26744  clwwisshclwwslemlem  27802  dlwwlknondlwlknonf1olem1  28153  dlwwlknondlwlknonf1o  28154  signstfveq0  31961  subfacval3  32550  rtprmirr  39499  rmspecsqrtnq  39844  rmxypos  39885  ltrmynn0  39886  jm2.17a  39898  jm2.17b  39899  jm2.17c  39900  jm2.27c  39945  jm3.1lem1  39955  jm3.1lem2  39956  jm3.1lem3  39957  relexpaddss  40416  wallispilem3  42706  fmtnonn  44045  fmtnorec3  44062  fmtnorec4  44063  fmtnoprmfac2lem1  44080  fmtnoprmfac2  44081  prmdvdsfmtnof1lem1  44098  prmdvdsfmtnof  44100  lighneallem4a  44123  lighneallem4b  44124  fpprel2  44256  wtgoldbnnsum4prm  44317  bgoldbnnsum3prm  44319  cznnring  44577  expnegico01  44924  fllogbd  44971  logbge0b  44974  logblt1b  44975  nnolog2flm1  45001  blennngt2o2  45003  blengt1fldiv2p1  45004  dignn0ldlem  45013  dignnld  45014  digexp  45018  dig1  45019
  Copyright terms: Public domain W3C validator