Theorem eluz2nn 12137

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11866	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 11700	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12106	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12134	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	syl6eleqr 2896	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  1c1 10391   ≤ cle 10529  ℕcn 11492  2c2 11546  ℤcz 11835  ℤ_≥cuz 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-z 11836  df-uz 12098

This theorem is referenced by:  eluz4nn  12139  eluzge2nn0  12140  eluz2n0  12141  zgt1rpn0n1  12284  mulp1mod1  13134  expnngt1b  13457  relexpaddg  14250  modm1div  15456  ncoprmgcdne1b  15827  isprm3  15860  prmind2  15862  nprm  15865  exprmfct  15881  prmdvdsfz  15882  isprm5  15884  maxprmfct  15886  isprm6  15891  phibndlem  15940  phibnd  15941  dfphi2  15944  pclem  16008  pcprendvds2  16011  pcpre1  16012  dvdsprmpweqnn  16054  expnprm  16071  prmreclem1  16085  4sqlem15  16128  4sqlem16  16129  vdwlem5  16154  vdwlem6  16155  vdwlem8  16157  vdwlem9  16158  vdwlem11  16160  prmgaplem1  16218  prmgaplem2  16219  prmgaplcmlem2  16221  prmgapprmolem  16230  ovolicc1  23804  logbgcd1irr  25057  wilth  25334  wilthimp  25335  mersenne  25489  bposlem3  25548  lgsquad2lem2  25647  2sqlem6  25685  rplogsumlem1  25746  rplogsumlem2  25747  dchrisum0flblem2  25771  ostthlem2  25890  ostth2lem2  25896  axlowdimlem5  26419  clwwisshclwwslemlem  27477  dlwwlknondlwlknonf1olem1  27831  dlwwlknondlwlknonf1o  27832  signstfveq0  31460  subfacval3  32046  rtprmirr  38737  rmspecsqrtnq  39009  rmxypos  39050  ltrmynn0  39051  jm2.17a  39063  jm2.17b  39064  jm2.17c  39065  jm2.27c  39110  jm3.1lem1  39120  jm3.1lem2  39121  jm3.1lem3  39122  relexpaddss  39569  wallispilem3  41916  fmtnonn  43197  fmtnorec3  43214  fmtnorec4  43215  fmtnoprmfac2lem1  43232  fmtnoprmfac2  43233  prmdvdsfmtnof1lem1  43250  prmdvdsfmtnof  43252  lighneallem4a  43277  lighneallem4b  43278  fpprel2  43410  wtgoldbnnsum4prm  43471  bgoldbnnsum3prm  43473  cznnring  43727  expnegico01  44076  fllogbd  44123  logbge0b  44126  logblt1b  44127  nnolog2flm1  44153  blennngt2o2  44155  blengt1fldiv2p1  44156  dignn0ldlem  44165  dignnld  44166  digexp  44170  dig1  44171