Theorem eluz2nn 12796

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12512	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12339	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12751	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12785	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2844	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  1c1 11017   ≤ cle 11157  ℕcn 12135  2c2 12190  ℤcz 12478  ℤ_≥cuz 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-z 12479  df-uz 12743

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12797  eluz4nn  12798  eluzge2nn0  12800  eluz2n0  12801  zgt1rpn0n1  12943  mulp1mod1  13828  expnngt1b  14159  relexpaddg  14970  modm1div  16185  ncoprmgcdne1b  16571  isprm3  16604  prmind2  16606  nprm  16609  exprmfct  16625  prmdvdsfz  16626  isprm5  16628  maxprmfct  16630  isprm6  16635  phibndlem  16691  phibnd  16692  dfphi2  16695  pclem  16760  pcprendvds2  16763  pcpre1  16764  dvdsprmpweqnn  16807  expnprm  16824  prmreclem1  16838  4sqlem15  16881  4sqlem16  16882  vdwlem5  16907  vdwlem6  16908  vdwlem8  16910  vdwlem9  16911  vdwlem11  16913  prmgaplem1  16971  prmgaplem2  16972  prmgaplcmlem2  16974  prmgapprmolem  16983  ovolicc1  25454  rtprmirr  26707  logbgcd1irr  26741  wilth  27018  wilthimp  27019  mersenne  27175  bposlem3  27234  lgsquad2lem2  27333  2sqlem6  27371  rplogsumlem1  27432  rplogsumlem2  27433  dchrisum0flblem2  27457  ostthlem2  27576  ostth2lem2  27582  axlowdimlem5  28935  clwwisshclwwslemlem  30004  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30355  dlwwlknondlwlknonf1o  30356  signstfveq0  34601  subfacval3  35244  expeqidd  42433  fltne  42752  rmspecsqrtnq  43013  rmxypos  43054  ltrmynn0  43055  jm2.17a  43067  jm2.17b  43068  jm2.17c  43069  jm2.27c  43114  jm3.1lem1  43124  jm3.1lem2  43125  jm3.1lem3  43126  relexpaddss  43825  wallispilem3  46179  zplusmodne  47457  m1modne  47462  fmtnonn  47645  fmtnorec3  47662  fmtnorec4  47663  fmtnoprmfac2lem1  47680  fmtnoprmfac2  47681  prmdvdsfmtnof1lem1  47698  prmdvdsfmtnof  47700  lighneallem4a  47722  lighneallem4b  47723  fpprel2  47855  wtgoldbnnsum4prm  47916  bgoldbnnsum3prm  47918  cznnring  48376  expnegico01  48633  fllogbd  48675  logbge0b  48678  logblt1b  48679  nnolog2flm1  48705  blennngt2o2  48707  blengt1fldiv2p1  48708  dignn0ldlem  48717  dignnld  48718  digexp  48722  dig1  48723