Theorem eluz2nn 12907

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12631	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12458	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12870	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12904	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2844	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  1c1 11139   ≤ cle 11279  ℕcn 12249  2c2 12304  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-z 12598  df-uz 12862

This theorem is referenced by:  eluz4nn  12911  eluzge2nn0  12912  eluz2n0  12913  zgt1rpn0n1  13059  mulp1mod1  13935  expnngt1b  14264  relexpaddg  15075  modm1div  16285  ncoprmgcdne1b  16670  isprm3  16703  prmind2  16705  nprm  16708  exprmfct  16724  prmdvdsfz  16725  isprm5  16727  maxprmfct  16729  isprm6  16734  phibndlem  16790  phibnd  16791  dfphi2  16794  pclem  16859  pcprendvds2  16862  pcpre1  16863  dvdsprmpweqnn  16906  expnprm  16923  prmreclem1  16937  4sqlem15  16980  4sqlem16  16981  vdwlem5  17006  vdwlem6  17007  vdwlem8  17009  vdwlem9  17010  vdwlem11  17012  prmgaplem1  17070  prmgaplem2  17071  prmgaplcmlem2  17073  prmgapprmolem  17082  ovolicc1  25506  rtprmirr  26758  logbgcd1irr  26792  wilth  27069  wilthimp  27070  mersenne  27226  bposlem3  27285  lgsquad2lem2  27384  2sqlem6  27422  rplogsumlem1  27483  rplogsumlem2  27484  dchrisum0flblem2  27508  ostthlem2  27627  ostth2lem2  27633  axlowdimlem5  28910  clwwisshclwwslemlem  29979  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30330  dlwwlknondlwlknonf1o  30331  signstfveq0  34533  subfacval3  35135  expeqidd  42305  fltne  42599  rmspecsqrtnq  42862  rmxypos  42904  ltrmynn0  42905  jm2.17a  42917  jm2.17b  42918  jm2.17c  42919  jm2.27c  42964  jm3.1lem1  42974  jm3.1lem2  42975  jm3.1lem3  42976  relexpaddss  43676  wallispilem3  46027  zplusmodne  47291  m1modne  47296  fmtnonn  47464  fmtnorec3  47481  fmtnorec4  47482  fmtnoprmfac2lem1  47499  fmtnoprmfac2  47500  prmdvdsfmtnof1lem1  47517  prmdvdsfmtnof  47519  lighneallem4a  47541  lighneallem4b  47542  fpprel2  47674  wtgoldbnnsum4prm  47735  bgoldbnnsum3prm  47737  cznnring  48124  expnegico01  48381  fllogbd  48427  logbge0b  48430  logblt1b  48431  nnolog2flm1  48457  blennngt2o2  48459  blengt1fldiv2p1  48460  dignn0ldlem  48469  dignnld  48470  digexp  48474  dig1  48475