Theorem eluz2nn 13015

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12726	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12554	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12974	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 13004	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2872	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  1c1 11201   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  2c2 12397  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  eluz3nn  13016  eluz4nn  13017  eluzge2nn0  13019  eluz2n0  13020  zgt1rpn0n1  13163  nnge2recico01  13638  mulp1mod1  14054  expnngt1b  14386  relexpaddg  15206  modm1div  16434  ncoprmgcdne1b  16825  isprm3  16858  prmind2  16860  nprm  16863  exprmfct  16880  prmdvdsfz  16881  isprm5  16883  maxprmfct  16885  isprm6  16890  phibndlem  16947  phibnd  16948  dfphi2  16951  pclem  17016  pcprendvds2  17019  pcpre1  17020  dvdsprmpweqnn  17063  expnprm  17080  prmreclem1  17094  4sqlem15  17137  4sqlem16  17138  vdwlem5  17163  vdwlem6  17164  vdwlem8  17166  vdwlem9  17167  vdwlem11  17169  prmgaplem1  17227  prmgaplem2  17228  prmgaplcmlem2  17230  prmgapprmolem  17239  ovolicc1  25837  rtprmirr  27088  logbgcd1irr  27122  wilth  27398  wilthimp  27399  mersenne  27554  bposlem3  27613  lgsquad2lem2  27712  2sqlem6  27750  rplogsumlem1  27811  rplogsumlem2  27812  dchrisum0flblem2  27836  ostthlem2  27955  ostth2lem2  27961  fltne  27975  axlowdimlem5  29524  clwwisshclwwslemlem  30604  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30965  dlwwlknondlwlknonf1o  30966  signstfveq0  35206  subfacval3  35954  expeqidd  43382  rmspecsqrtnq  43912  rmxypos  43953  ltrmynn0  43954  jm2.17a  43966  jm2.17b  43967  jm2.17c  43968  jm2.27c  44013  jm3.1lem1  44023  jm3.1lem2  44024  jm3.1lem3  44025  relexpaddss  44717  wallispilem3  47076  elfzo2nn  48398  zplusmodne  48418  m1modne  48423  fmtnonn  48615  fmtnorec3  48632  fmtnorec4  48633  fmtnoprmfac2lem1  48650  fmtnoprmfac2  48651  prmdvdsfmtnof1lem1  48668  prmdvdsfmtnof  48670  lighneallem4a  48692  lighneallem4b  48693  ppivalnnprm  48709  fpprel2  48838  wtgoldbnnsum4prm  48899  bgoldbnnsum3prm  48901  cznnring  49358  expnegico01  49629  fllogbd  49671  logbge0b  49674  logblt1b  49675  nnolog2flm1  49701  blennngt2o2  49703  blengt1fldiv2p1  49704  dignn0ldlem  49713  dignnld  49714  digexp  49718  dig1  49719