Theorem eluz2nn 12949

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12673	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12502	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12912	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12946	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2855	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  1c1 11185   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  eluz4nn  12951  eluzge2nn0  12952  eluz2n0  12953  zgt1rpn0n1  13098  mulp1mod1  13963  expnngt1b  14291  relexpaddg  15102  modm1div  16314  ncoprmgcdne1b  16697  isprm3  16730  prmind2  16732  nprm  16735  exprmfct  16751  prmdvdsfz  16752  isprm5  16754  maxprmfct  16756  isprm6  16761  phibndlem  16817  phibnd  16818  dfphi2  16821  pclem  16885  pcprendvds2  16888  pcpre1  16889  dvdsprmpweqnn  16932  expnprm  16949  prmreclem1  16963  4sqlem15  17006  4sqlem16  17007  vdwlem5  17032  vdwlem6  17033  vdwlem8  17035  vdwlem9  17036  vdwlem11  17038  prmgaplem1  17096  prmgaplem2  17097  prmgaplcmlem2  17099  prmgapprmolem  17108  ovolicc1  25570  rtprmirr  26821  logbgcd1irr  26855  wilth  27132  wilthimp  27133  mersenne  27289  bposlem3  27348  lgsquad2lem2  27447  2sqlem6  27485  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  dchrisum0flblem2  27571  ostthlem2  27690  ostth2lem2  27696  axlowdimlem5  28979  clwwisshclwwslemlem  30045  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30396  dlwwlknondlwlknonf1o  30397  signstfveq0  34554  subfacval3  35157  expeqidd  42312  fltne  42599  rmspecsqrtnq  42862  rmxypos  42904  ltrmynn0  42905  jm2.17a  42917  jm2.17b  42918  jm2.17c  42919  jm2.27c  42964  jm3.1lem1  42974  jm3.1lem2  42975  jm3.1lem3  42976  relexpaddss  43680  wallispilem3  45988  fmtnonn  47405  fmtnorec3  47422  fmtnorec4  47423  fmtnoprmfac2lem1  47440  fmtnoprmfac2  47441  prmdvdsfmtnof1lem1  47458  prmdvdsfmtnof  47460  lighneallem4a  47482  lighneallem4b  47483  fpprel2  47615  wtgoldbnnsum4prm  47676  bgoldbnnsum3prm  47678  cznnring  47985  expnegico01  48247  fllogbd  48294  logbge0b  48297  logblt1b  48298  nnolog2flm1  48324  blennngt2o2  48326  blengt1fldiv2p1  48327  dignn0ldlem  48336  dignnld  48337  digexp  48341  dig1  48342