Theorem eluz2nn 12813

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12533	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12361	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12772	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12802	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2848	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  1c1 11039   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-z 12501  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12814  eluz4nn  12815  eluzge2nn0  12817  eluz2n0  12818  zgt1rpn0n1  12960  mulp1mod1  13846  expnngt1b  14177  relexpaddg  14988  modm1div  16203  ncoprmgcdne1b  16589  isprm3  16622  prmind2  16624  nprm  16627  exprmfct  16643  prmdvdsfz  16644  isprm5  16646  maxprmfct  16648  isprm6  16653  phibndlem  16709  phibnd  16710  dfphi2  16713  pclem  16778  pcprendvds2  16781  pcpre1  16782  dvdsprmpweqnn  16825  expnprm  16842  prmreclem1  16856  4sqlem15  16899  4sqlem16  16900  vdwlem5  16925  vdwlem6  16926  vdwlem8  16928  vdwlem9  16929  vdwlem11  16931  prmgaplem1  16989  prmgaplem2  16990  prmgaplcmlem2  16992  prmgapprmolem  17001  ovolicc1  25485  rtprmirr  26738  logbgcd1irr  26772  wilth  27049  wilthimp  27050  mersenne  27206  bposlem3  27265  lgsquad2lem2  27364  2sqlem6  27402  rplogsumlem1  27463  rplogsumlem2  27464  dchrisum0flblem2  27488  ostthlem2  27607  ostth2lem2  27613  axlowdimlem5  29031  clwwisshclwwslemlem  30100  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30451  dlwwlknondlwlknonf1o  30452  signstfveq0  34755  subfacval3  35405  expeqidd  42695  fltne  43002  rmspecsqrtnq  43263  rmxypos  43304  ltrmynn0  43305  jm2.17a  43317  jm2.17b  43318  jm2.17c  43319  jm2.27c  43364  jm3.1lem1  43374  jm3.1lem2  43375  jm3.1lem3  43376  relexpaddss  44074  wallispilem3  46425  zplusmodne  47703  m1modne  47708  fmtnonn  47891  fmtnorec3  47908  fmtnorec4  47909  fmtnoprmfac2lem1  47926  fmtnoprmfac2  47927  prmdvdsfmtnof1lem1  47944  prmdvdsfmtnof  47946  lighneallem4a  47968  lighneallem4b  47969  fpprel2  48101  wtgoldbnnsum4prm  48162  bgoldbnnsum3prm  48164  cznnring  48622  expnegico01  48878  fllogbd  48920  logbge0b  48923  logblt1b  48924  nnolog2flm1  48950  blennngt2o2  48952  blengt1fldiv2p1  48953  dignn0ldlem  48962  dignnld  48963  digexp  48967  dig1  48968