Theorem eluz2nn 12907

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12619	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12447	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12866	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12896	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2874	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  1c1 11096   ≤ cle 11239  ℕcn 12228  2c2 12290  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-z 12587  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12908  eluz4nn  12909  eluzge2nn0  12911  eluz2n0  12912  zgt1rpn0n1  13054  nnge2recico01  13529  mulp1mod1  13943  expnngt1b  14274  relexpaddg  15086  modm1div  16317  ncoprmgcdne1b  16703  isprm3  16736  prmind2  16738  nprm  16741  exprmfct  16758  prmdvdsfz  16759  isprm5  16761  maxprmfct  16763  isprm6  16768  phibndlem  16824  phibnd  16825  dfphi2  16828  pclem  16893  pcprendvds2  16896  pcpre1  16897  dvdsprmpweqnn  16940  expnprm  16957  prmreclem1  16971  4sqlem15  17014  4sqlem16  17015  vdwlem5  17040  vdwlem6  17041  vdwlem8  17043  vdwlem9  17044  vdwlem11  17046  prmgaplem1  17104  prmgaplem2  17105  prmgaplcmlem2  17107  prmgapprmolem  17116  ovolicc1  25675  rtprmirr  26925  logbgcd1irr  26959  wilth  27235  wilthimp  27236  mersenne  27391  bposlem3  27450  lgsquad2lem2  27549  2sqlem6  27587  rplogsumlem1  27648  rplogsumlem2  27649  dchrisum0flblem2  27673  ostthlem2  27792  ostth2lem2  27798  axlowdimlem5  29296  clwwisshclwwslemlem  30364  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30715  dlwwlknondlwlknonf1o  30716  signstfveq0  34964  subfacval3  35681  expeqidd  43086  fltne  43376  rmspecsqrtnq  43633  rmxypos  43674  ltrmynn0  43675  jm2.17a  43687  jm2.17b  43688  jm2.17c  43689  jm2.27c  43734  jm3.1lem1  43744  jm3.1lem2  43745  jm3.1lem3  43746  relexpaddss  44444  wallispilem3  46781  elfzo2nn  48066  zplusmodne  48086  m1modne  48091  fmtnonn  48283  fmtnorec3  48300  fmtnorec4  48301  fmtnoprmfac2lem1  48318  fmtnoprmfac2  48319  prmdvdsfmtnof1lem1  48336  prmdvdsfmtnof  48338  lighneallem4a  48360  lighneallem4b  48361  ppivalnnprm  48377  fpprel2  48506  wtgoldbnnsum4prm  48567  bgoldbnnsum3prm  48569  cznnring  49027  expnegico01  49298  fllogbd  49340  logbge0b  49343  logblt1b  49344  nnolog2flm1  49370  blennngt2o2  49372  blengt1fldiv2p1  49373  dignn0ldlem  49382  dignnld  49383  digexp  49387  dig1  49388