Theorem eluz2nn 13022

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12733	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12561	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12981	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 13011	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2871	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  1c1 11208   ≤ cle 11351  ℕcn 12342  2c2 12404  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-z 12701  df-uz 12973

This theorem is used by:  eluz3nn  13023  eluz4nn  13024  eluzge2nn0  13026  eluz2n0  13027  zgt1rpn0n1  13170  nnge2recico01  13645  mulp1mod1  14061  expnngt1b  14393  relexpaddg  15215  modm1div  16443  ncoprmgcdne1b  16834  isprm3  16867  prmind2  16869  nprm  16872  exprmfct  16889  prmdvdsfz  16890  isprm5  16892  maxprmfct  16894  isprm6  16899  phibndlem  16956  phibnd  16957  dfphi2  16960  pclem  17025  pcprendvds2  17028  pcpre1  17029  dvdsprmpweqnn  17072  expnprm  17089  prmreclem1  17103  4sqlem15  17146  4sqlem16  17147  vdwlem5  17172  vdwlem6  17173  vdwlem8  17175  vdwlem9  17176  vdwlem11  17178  prmgaplem1  17236  prmgaplem2  17237  prmgaplcmlem2  17239  prmgapprmolem  17248  ovolicc1  25846  rtprmirr  27097  logbgcd1irr  27131  wilth  27407  wilthimp  27408  mersenne  27563  bposlem3  27622  lgsquad2lem2  27721  2sqlem6  27759  rplogsumlem1  27820  rplogsumlem2  27821  dchrisum0flblem2  27845  ostthlem2  27964  ostth2lem2  27970  fltne  27984  axlowdimlem5  29533  clwwisshclwwslemlem  30613  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30974  dlwwlknondlwlknonf1o  30975  signstfveq0  35256  subfacval3  36072  expeqidd  43519  rmspecsqrtnq  44050  rmxypos  44091  ltrmynn0  44092  jm2.17a  44104  jm2.17b  44105  jm2.17c  44106  jm2.27c  44151  jm3.1lem1  44161  jm3.1lem2  44162  jm3.1lem3  44163  relexpaddss  44855  wallispilem3  47213  elfzo2nn  48535  zplusmodne  48555  m1modne  48560  fmtnonn  48752  fmtnorec3  48769  fmtnorec4  48770  fmtnoprmfac2lem1  48787  fmtnoprmfac2  48788  prmdvdsfmtnof1lem1  48805  prmdvdsfmtnof  48807  lighneallem4a  48829  lighneallem4b  48830  ppivalnnprm  48846  fpprel2  48975  wtgoldbnnsum4prm  49036  bgoldbnnsum3prm  49038  cznnring  49495  expnegico01  49766  fllogbd  49808  logbge0b  49811  logblt1b  49812  nnolog2flm1  49838  blennngt2o2  49840  blengt1fldiv2p1  49841  dignn0ldlem  49850  dignnld  49851  digexp  49855  dig1  49856