Theorem eluz2nn 12553

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12280	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12112	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12520	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12550	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2850	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  1c1 10803   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  eluz4nn  12555  eluzge2nn0  12556  eluz2n0  12557  zgt1rpn0n1  12700  mulp1mod1  13560  expnngt1b  13885  relexpaddg  14692  modm1div  15903  ncoprmgcdne1b  16283  isprm3  16316  prmind2  16318  nprm  16321  exprmfct  16337  prmdvdsfz  16338  isprm5  16340  maxprmfct  16342  isprm6  16347  phibndlem  16399  phibnd  16400  dfphi2  16403  pclem  16467  pcprendvds2  16470  pcpre1  16471  dvdsprmpweqnn  16514  expnprm  16531  prmreclem1  16545  4sqlem15  16588  4sqlem16  16589  vdwlem5  16614  vdwlem6  16615  vdwlem8  16617  vdwlem9  16618  vdwlem11  16620  prmgaplem1  16678  prmgaplem2  16679  prmgaplcmlem2  16681  prmgapprmolem  16690  ovolicc1  24585  logbgcd1irr  25849  wilth  26125  wilthimp  26126  mersenne  26280  bposlem3  26339  lgsquad2lem2  26438  2sqlem6  26476  rplogsumlem1  26537  rplogsumlem2  26538  dchrisum0flblem2  26562  ostthlem2  26681  ostth2lem2  26687  axlowdimlem5  27217  clwwisshclwwslemlem  28278  dlwwlknondlwlknonf1olem1  28629  dlwwlknondlwlknonf1o  28630  signstfveq0  32456  subfacval3  33051  rtprmirr  40268  fltne  40397  rmspecsqrtnq  40644  rmxypos  40685  ltrmynn0  40686  jm2.17a  40698  jm2.17b  40699  jm2.17c  40700  jm2.27c  40745  jm3.1lem1  40755  jm3.1lem2  40756  jm3.1lem3  40757  relexpaddss  41215  wallispilem3  43498  fmtnonn  44871  fmtnorec3  44888  fmtnorec4  44889  fmtnoprmfac2lem1  44906  fmtnoprmfac2  44907  prmdvdsfmtnof1lem1  44924  prmdvdsfmtnof  44926  lighneallem4a  44948  lighneallem4b  44949  fpprel2  45081  wtgoldbnnsum4prm  45142  bgoldbnnsum3prm  45144  cznnring  45402  expnegico01  45747  fllogbd  45794  logbge0b  45797  logblt1b  45798  nnolog2flm1  45824  blennngt2o2  45826  blengt1fldiv2p1  45827  dignn0ldlem  45836  dignnld  45837  digexp  45841  dig1  45842