Theorem eluz2nn 12838

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12557	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12385	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12797	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12827	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2847	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  1c1 11039   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12839  eluz4nn  12840  eluzge2nn0  12842  eluz2n0  12843  zgt1rpn0n1  12985  nnge2recico01  13460  mulp1mod1  13873  expnngt1b  14204  relexpaddg  15015  modm1div  16233  ncoprmgcdne1b  16619  isprm3  16652  prmind2  16654  nprm  16657  exprmfct  16674  prmdvdsfz  16675  isprm5  16677  maxprmfct  16679  isprm6  16684  phibndlem  16740  phibnd  16741  dfphi2  16744  pclem  16809  pcprendvds2  16812  pcpre1  16813  dvdsprmpweqnn  16856  expnprm  16873  prmreclem1  16887  4sqlem15  16930  4sqlem16  16931  vdwlem5  16956  vdwlem6  16957  vdwlem8  16959  vdwlem9  16960  vdwlem11  16962  prmgaplem1  17020  prmgaplem2  17021  prmgaplcmlem2  17023  prmgapprmolem  17032  ovolicc1  25483  rtprmirr  26724  logbgcd1irr  26758  wilth  27034  wilthimp  27035  mersenne  27190  bposlem3  27249  lgsquad2lem2  27348  2sqlem6  27386  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  dchrisum0flblem2  27472  ostthlem2  27591  ostth2lem2  27597  axlowdimlem5  29015  clwwisshclwwslemlem  30083  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30434  dlwwlknondlwlknonf1o  30435  signstfveq0  34721  subfacval3  35371  expeqidd  42757  fltne  43077  rmspecsqrtnq  43334  rmxypos  43375  ltrmynn0  43376  jm2.17a  43388  jm2.17b  43389  jm2.17c  43390  jm2.27c  43435  jm3.1lem1  43445  jm3.1lem2  43446  jm3.1lem3  43447  relexpaddss  44145  wallispilem3  46495  elfzo2nn  47777  zplusmodne  47797  m1modne  47802  fmtnonn  47994  fmtnorec3  48011  fmtnorec4  48012  fmtnoprmfac2lem1  48029  fmtnoprmfac2  48030  prmdvdsfmtnof1lem1  48047  prmdvdsfmtnof  48049  lighneallem4a  48071  lighneallem4b  48072  ppivalnnprm  48088  fpprel2  48217  wtgoldbnnsum4prm  48278  bgoldbnnsum3prm  48280  cznnring  48738  expnegico01  48994  fllogbd  49036  logbge0b  49039  logblt1b  49040  nnolog2flm1  49066  blennngt2o2  49068  blengt1fldiv2p1  49069  dignn0ldlem  49078  dignnld  49079  digexp  49083  dig1  49084