MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz2nn 11947
Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluz2nn (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn
StepHypRef Expression
1 1z 11676 . . 3 1 ∈ ℤ
2 1le2 11511 . . 3 1 ≤ 2
3 eluzuzle 11916 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ‘1)))
41, 2, 3mp2an 675 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
5 nnuz 11944 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5syl6eleqr 2903 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157   class class class wbr 4851  cfv 6104  1c1 10225  cle 10363  cn 11308  2c2 11359  cz 11646  cuz 11907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-z 11647  df-uz 11908
This theorem is referenced by:  eluzge2nn0  11948  eluz2n0  11949  zgt1rpn0n1  12088  mulp1mod1  12938  relexpaddg  14019  ncoprmgcdne1b  15585  isprm3  15617  prmind2  15619  nprm  15622  exprmfct  15636  prmdvdsfz  15637  isprm5  15639  maxprmfct  15641  isprm6  15646  phibndlem  15695  phibnd  15696  dfphi2  15699  pclem  15763  pcprendvds2  15766  pcpre1  15767  dvdsprmpweqnn  15809  expnprm  15826  prmreclem1  15840  4sqlem15  15883  4sqlem16  15884  vdwlem5  15909  vdwlem6  15910  vdwlem8  15912  vdwlem9  15913  vdwlem11  15915  prmgaplem1  15973  prmgaplem2  15974  prmgaplcmlem2  15976  prmgapprmolem  15985  ovolicc1  23503  wilth  25017  wilthimp  25018  mersenne  25172  bposlem3  25231  lgsquad2lem2  25330  2sqlem6  25368  rplogsumlem1  25393  rplogsumlem2  25394  dchrisum0flblem2  25418  ostthlem2  25537  ostth2lem2  25543  axlowdimlem5  26046  clwwisshclwwslemlem  27162  dlwwlknonclwlknonf1olem1  27550  dlwwlknondlwlknonf1o  27551  numclwwlk3lemOLD  27575  signstfveq0  30985  subfacval3  31499  rmspecsqrtnq  37973  rmxypos  38016  ltrmynn0  38017  jm2.17a  38029  jm2.17b  38030  jm2.17c  38031  jm2.27c  38076  jm3.1lem1  38086  jm3.1lem2  38087  jm3.1lem3  38088  relexpaddss  38511  wallispilem3  40764  fmtnonn  42019  fmtnorec3  42036  fmtnorec4  42037  fmtnoprmfac2lem1  42054  fmtnoprmfac2  42055  prmdvdsfmtnof1lem1  42072  prmdvdsfmtnof  42074  lighneallem4a  42101  lighneallem4b  42102  wtgoldbnnsum4prm  42266  bgoldbnnsum3prm  42268  cznnring  42525  expnegico01  42877  fllogbd  42923  logbge0b  42926  logblt1b  42927  nnolog2flm1  42953  blennngt2o2  42955  blengt1fldiv2p1  42956  dignn0ldlem  42965  dignnld  42966  digexp  42970  dig1  42971
  Copyright terms: Public domain W3C validator