Theorem eluz2nn 12829

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12548	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12376	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12788	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 698	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12818	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2850	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  1c1 11030   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  2c2 12227  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-z 12516  df-uz 12780

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12830  eluz4nn  12831  eluzge2nn0  12833  eluz2n0  12834  zgt1rpn0n1  12976  nnge2recico01  13451  mulp1mod1  13864  expnngt1b  14195  relexpaddg  15006  modm1div  16224  ncoprmgcdne1b  16610  isprm3  16643  prmind2  16645  nprm  16648  exprmfct  16665  prmdvdsfz  16666  isprm5  16668  maxprmfct  16670  isprm6  16675  phibndlem  16731  phibnd  16732  dfphi2  16735  pclem  16800  pcprendvds2  16803  pcpre1  16804  dvdsprmpweqnn  16847  expnprm  16864  prmreclem1  16878  4sqlem15  16921  4sqlem16  16922  vdwlem5  16947  vdwlem6  16948  vdwlem8  16950  vdwlem9  16951  vdwlem11  16953  prmgaplem1  17011  prmgaplem2  17012  prmgaplcmlem2  17014  prmgapprmolem  17023  ovolicc1  25501  rtprmirr  26742  logbgcd1irr  26776  wilth  27052  wilthimp  27053  mersenne  27208  bposlem3  27267  lgsquad2lem2  27366  2sqlem6  27404  rplogsumlem1  27465  rplogsumlem2  27466  dchrisum0flblem2  27490  ostthlem2  27609  ostth2lem2  27615  axlowdimlem5  29033  clwwisshclwwslemlem  30101  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30452  dlwwlknondlwlknonf1o  30453  signstfveq0  34761  subfacval3  35417  expeqidd  42802  fltne  43094  rmspecsqrtnq  43351  rmxypos  43392  ltrmynn0  43393  jm2.17a  43405  jm2.17b  43406  jm2.17c  43407  jm2.27c  43452  jm3.1lem1  43462  jm3.1lem2  43463  jm3.1lem3  43464  relexpaddss  44162  wallispilem3  46510  elfzo2nn  47792  zplusmodne  47812  m1modne  47817  fmtnonn  48009  fmtnorec3  48026  fmtnorec4  48027  fmtnoprmfac2lem1  48044  fmtnoprmfac2  48045  prmdvdsfmtnof1lem1  48062  prmdvdsfmtnof  48064  lighneallem4a  48086  lighneallem4b  48087  ppivalnnprm  48103  fpprel2  48232  wtgoldbnnsum4prm  48293  bgoldbnnsum3prm  48295  cznnring  48753  expnegico01  49009  fllogbd  49051  logbge0b  49054  logblt1b  49055  nnolog2flm1  49081  blennngt2o2  49083  blengt1fldiv2p1  49084  dignn0ldlem  49093  dignnld  49094  digexp  49098  dig1  49099