Theorem eluz2nn 12864

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12588	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12417	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12827	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12861	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2836	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  1c1 11106   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  2c2 12263  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-z 12555  df-uz 12819

This theorem is referenced by:  eluz4nn  12866  eluzge2nn0  12867  eluz2n0  12868  zgt1rpn0n1  13011  mulp1mod1  13873  expnngt1b  14201  relexpaddg  14996  modm1div  16205  ncoprmgcdne1b  16583  isprm3  16616  prmind2  16618  nprm  16621  exprmfct  16637  prmdvdsfz  16638  isprm5  16640  maxprmfct  16642  isprm6  16647  phibndlem  16699  phibnd  16700  dfphi2  16703  pclem  16767  pcprendvds2  16770  pcpre1  16771  dvdsprmpweqnn  16814  expnprm  16831  prmreclem1  16845  4sqlem15  16888  4sqlem16  16889  vdwlem5  16914  vdwlem6  16915  vdwlem8  16917  vdwlem9  16918  vdwlem11  16920  prmgaplem1  16978  prmgaplem2  16979  prmgaplcmlem2  16981  prmgapprmolem  16990  ovolicc1  25355  logbgcd1irr  26630  wilth  26907  wilthimp  26908  mersenne  27064  bposlem3  27123  lgsquad2lem2  27222  2sqlem6  27260  rplogsumlem1  27321  rplogsumlem2  27322  dchrisum0flblem2  27346  ostthlem2  27465  ostth2lem2  27471  axlowdimlem5  28628  clwwisshclwwslemlem  29690  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30041  dlwwlknondlwlknonf1o  30042  signstfveq0  34043  subfacval3  34635  rtprmirr  41692  fltne  41841  rmspecsqrtnq  42099  rmxypos  42141  ltrmynn0  42142  jm2.17a  42154  jm2.17b  42155  jm2.17c  42156  jm2.27c  42201  jm3.1lem1  42211  jm3.1lem2  42212  jm3.1lem3  42213  relexpaddss  42924  wallispilem3  45234  fmtnonn  46650  fmtnorec3  46667  fmtnorec4  46668  fmtnoprmfac2lem1  46685  fmtnoprmfac2  46686  prmdvdsfmtnof1lem1  46703  prmdvdsfmtnof  46705  lighneallem4a  46727  lighneallem4b  46728  fpprel2  46860  wtgoldbnnsum4prm  46921  bgoldbnnsum3prm  46923  cznnring  47091  expnegico01  47353  fllogbd  47400  logbge0b  47403  logblt1b  47404  nnolog2flm1  47430  blennngt2o2  47432  blengt1fldiv2p1  47433  dignn0ldlem  47442  dignnld  47443  digexp  47447  dig1  47448