Theorem eluz2nn 12799

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12519	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12347	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12758	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12788	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2845	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  1c1 11025   ≤ cle 11165  ℕcn 12143  2c2 12198  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-z 12487  df-uz 12750

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12800  eluz4nn  12801  eluzge2nn0  12803  eluz2n0  12804  zgt1rpn0n1  12946  mulp1mod1  13832  expnngt1b  14163  relexpaddg  14974  modm1div  16189  ncoprmgcdne1b  16575  isprm3  16608  prmind2  16610  nprm  16613  exprmfct  16629  prmdvdsfz  16630  isprm5  16632  maxprmfct  16634  isprm6  16639  phibndlem  16695  phibnd  16696  dfphi2  16699  pclem  16764  pcprendvds2  16767  pcpre1  16768  dvdsprmpweqnn  16811  expnprm  16828  prmreclem1  16842  4sqlem15  16885  4sqlem16  16886  vdwlem5  16911  vdwlem6  16912  vdwlem8  16914  vdwlem9  16915  vdwlem11  16917  prmgaplem1  16975  prmgaplem2  16976  prmgaplcmlem2  16978  prmgapprmolem  16987  ovolicc1  25471  rtprmirr  26724  logbgcd1irr  26758  wilth  27035  wilthimp  27036  mersenne  27192  bposlem3  27251  lgsquad2lem2  27350  2sqlem6  27388  rplogsumlem1  27449  rplogsumlem2  27450  dchrisum0flblem2  27474  ostthlem2  27593  ostth2lem2  27599  axlowdimlem5  28968  clwwisshclwwslemlem  30037  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30388  dlwwlknondlwlknonf1o  30389  signstfveq0  34683  subfacval3  35332  expeqidd  42522  fltne  42829  rmspecsqrtnq  43090  rmxypos  43131  ltrmynn0  43132  jm2.17a  43144  jm2.17b  43145  jm2.17c  43146  jm2.27c  43191  jm3.1lem1  43201  jm3.1lem2  43202  jm3.1lem3  43203  relexpaddss  43901  wallispilem3  46253  zplusmodne  47531  m1modne  47536  fmtnonn  47719  fmtnorec3  47736  fmtnorec4  47737  fmtnoprmfac2lem1  47754  fmtnoprmfac2  47755  prmdvdsfmtnof1lem1  47772  prmdvdsfmtnof  47774  lighneallem4a  47796  lighneallem4b  47797  fpprel2  47929  wtgoldbnnsum4prm  47990  bgoldbnnsum3prm  47992  cznnring  48450  expnegico01  48706  fllogbd  48748  logbge0b  48751  logblt1b  48752  nnolog2flm1  48778  blennngt2o2  48780  blengt1fldiv2p1  48781  dignn0ldlem  48790  dignnld  48791  digexp  48795  dig1  48796