Theorem eluz2nn 12872

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12596	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12425	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12835	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12869	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2842	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  1c1 11113   ≤ cle 11253  ℕcn 12216  2c2 12271  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-z 12563  df-uz 12827

This theorem is referenced by:  eluz4nn  12874  eluzge2nn0  12875  eluz2n0  12876  zgt1rpn0n1  13019  mulp1mod1  13881  expnngt1b  14209  relexpaddg  15004  modm1div  16213  ncoprmgcdne1b  16591  isprm3  16624  prmind2  16626  nprm  16629  exprmfct  16645  prmdvdsfz  16646  isprm5  16648  maxprmfct  16650  isprm6  16655  phibndlem  16707  phibnd  16708  dfphi2  16711  pclem  16775  pcprendvds2  16778  pcpre1  16779  dvdsprmpweqnn  16822  expnprm  16839  prmreclem1  16853  4sqlem15  16896  4sqlem16  16897  vdwlem5  16922  vdwlem6  16923  vdwlem8  16925  vdwlem9  16926  vdwlem11  16928  prmgaplem1  16986  prmgaplem2  16987  prmgaplcmlem2  16989  prmgapprmolem  16998  ovolicc1  25265  logbgcd1irr  26535  wilth  26811  wilthimp  26812  mersenne  26966  bposlem3  27025  lgsquad2lem2  27124  2sqlem6  27162  rplogsumlem1  27223  rplogsumlem2  27224  dchrisum0flblem2  27248  ostthlem2  27367  ostth2lem2  27373  axlowdimlem5  28471  clwwisshclwwslemlem  29533  dlwwlknondlwlknonf1olem1  29884  dlwwlknondlwlknonf1o  29885  signstfveq0  33886  subfacval3  34478  rtprmirr  41539  fltne  41688  rmspecsqrtnq  41946  rmxypos  41988  ltrmynn0  41989  jm2.17a  42001  jm2.17b  42002  jm2.17c  42003  jm2.27c  42048  jm3.1lem1  42058  jm3.1lem2  42059  jm3.1lem3  42060  relexpaddss  42771  wallispilem3  45081  fmtnonn  46497  fmtnorec3  46514  fmtnorec4  46515  fmtnoprmfac2lem1  46532  fmtnoprmfac2  46533  prmdvdsfmtnof1lem1  46550  prmdvdsfmtnof  46552  lighneallem4a  46574  lighneallem4b  46575  fpprel2  46707  wtgoldbnnsum4prm  46768  bgoldbnnsum3prm  46770  cznnring  46942  expnegico01  47286  fllogbd  47333  logbge0b  47336  logblt1b  47337  nnolog2flm1  47363  blennngt2o2  47365  blengt1fldiv2p1  47366  dignn0ldlem  47375  dignnld  47376  digexp  47380  dig1  47381