Theorem eluz2nn 12801

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12521	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12349	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12760	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12790	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2847	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  1c1 11027   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  2c2 12200  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12802  eluz4nn  12803  eluzge2nn0  12805  eluz2n0  12806  zgt1rpn0n1  12948  mulp1mod1  13834  expnngt1b  14165  relexpaddg  14976  modm1div  16191  ncoprmgcdne1b  16577  isprm3  16610  prmind2  16612  nprm  16615  exprmfct  16631  prmdvdsfz  16632  isprm5  16634  maxprmfct  16636  isprm6  16641  phibndlem  16697  phibnd  16698  dfphi2  16701  pclem  16766  pcprendvds2  16769  pcpre1  16770  dvdsprmpweqnn  16813  expnprm  16830  prmreclem1  16844  4sqlem15  16887  4sqlem16  16888  vdwlem5  16913  vdwlem6  16914  vdwlem8  16916  vdwlem9  16917  vdwlem11  16919  prmgaplem1  16977  prmgaplem2  16978  prmgaplcmlem2  16980  prmgapprmolem  16989  ovolicc1  25473  rtprmirr  26726  logbgcd1irr  26760  wilth  27037  wilthimp  27038  mersenne  27194  bposlem3  27253  lgsquad2lem2  27352  2sqlem6  27390  rplogsumlem1  27451  rplogsumlem2  27452  dchrisum0flblem2  27476  ostthlem2  27595  ostth2lem2  27601  axlowdimlem5  29019  clwwisshclwwslemlem  30088  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30439  dlwwlknondlwlknonf1o  30440  signstfveq0  34734  subfacval3  35383  expeqidd  42590  fltne  42897  rmspecsqrtnq  43158  rmxypos  43199  ltrmynn0  43200  jm2.17a  43212  jm2.17b  43213  jm2.17c  43214  jm2.27c  43259  jm3.1lem1  43269  jm3.1lem2  43270  jm3.1lem3  43271  relexpaddss  43969  wallispilem3  46321  zplusmodne  47599  m1modne  47604  fmtnonn  47787  fmtnorec3  47804  fmtnorec4  47805  fmtnoprmfac2lem1  47822  fmtnoprmfac2  47823  prmdvdsfmtnof1lem1  47840  prmdvdsfmtnof  47842  lighneallem4a  47864  lighneallem4b  47865  fpprel2  47997  wtgoldbnnsum4prm  48058  bgoldbnnsum3prm  48060  cznnring  48518  expnegico01  48774  fllogbd  48816  logbge0b  48819  logblt1b  48820  nnolog2flm1  48846  blennngt2o2  48848  blengt1fldiv2p1  48849  dignn0ldlem  48858  dignnld  48859  digexp  48863  dig1  48864