Theorem eluz2nn 12889

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12601	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 12429	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12848	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12878	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2873	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  1c1 11074   ≤ cle 11217  ℕcn 12210  2c2 12272  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-z 12569  df-uz 12840

This theorem is referenced by:  eluz3nn  12890  eluz4nn  12891  eluzge2nn0  12893  eluz2n0  12894  zgt1rpn0n1  13036  nnge2recico01  13511  mulp1mod1  13924  expnngt1b  14255  relexpaddg  15066  modm1div  16298  ncoprmgcdne1b  16684  isprm3  16717  prmind2  16719  nprm  16722  exprmfct  16739  prmdvdsfz  16740  isprm5  16742  maxprmfct  16744  isprm6  16749  phibndlem  16805  phibnd  16806  dfphi2  16809  pclem  16874  pcprendvds2  16877  pcpre1  16878  dvdsprmpweqnn  16921  expnprm  16938  prmreclem1  16952  4sqlem15  16995  4sqlem16  16996  vdwlem5  17021  vdwlem6  17022  vdwlem8  17024  vdwlem9  17025  vdwlem11  17027  prmgaplem1  17085  prmgaplem2  17086  prmgaplcmlem2  17088  prmgapprmolem  17097  ovolicc1  25578  rtprmirr  26825  logbgcd1irr  26859  wilth  27135  wilthimp  27136  mersenne  27291  bposlem3  27350  lgsquad2lem2  27449  2sqlem6  27487  rplogsumlem1  27548  rplogsumlem2  27549  dchrisum0flblem2  27573  ostthlem2  27692  ostth2lem2  27698  axlowdimlem5  29147  clwwisshclwwslemlem  30215  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30566  dlwwlknondlwlknonf1o  30567  signstfveq0  34871  subfacval3  35539  expeqidd  42934  fltne  43226  rmspecsqrtnq  43483  rmxypos  43524  ltrmynn0  43525  jm2.17a  43537  jm2.17b  43538  jm2.17c  43539  jm2.27c  43584  jm3.1lem1  43594  jm3.1lem2  43595  jm3.1lem3  43596  relexpaddss  44294  wallispilem3  46641  elfzo2nn  47923  zplusmodne  47943  m1modne  47948  fmtnonn  48140  fmtnorec3  48157  fmtnorec4  48158  fmtnoprmfac2lem1  48175  fmtnoprmfac2  48176  prmdvdsfmtnof1lem1  48193  prmdvdsfmtnof  48195  lighneallem4a  48217  lighneallem4b  48218  ppivalnnprm  48234  fpprel2  48363  wtgoldbnnsum4prm  48424  bgoldbnnsum3prm  48426  cznnring  48884  expnegico01  49140  fllogbd  49182  logbge0b  49185  logblt1b  49186  nnolog2flm1  49212  blennngt2o2  49214  blengt1fldiv2p1  49215  dignn0ldlem  49224  dignnld  49225  digexp  49229  dig1  49230