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Theorem wwlksubclwwlk 29842
Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlk ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2727 . . . . . 6 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2clwwlknp 29821 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘‹), (π‘‹β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4 pfxcl 14645 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
54adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
65ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
7 nnz 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 eluzp1m1 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
98ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
11 peano2zm 12621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
13 nnre 12235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
1413lem1d 12163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀)
15 eluzuzle 12847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))))
1612, 14, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))))
1710, 16syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))))
1817imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
19 fzoss2 13678 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
22 ssralv 4046 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
24 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
26 eluz2 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁))
2713adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
28 peano2re 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31 zre 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3313lep1d 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 1))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 1))
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)
3727, 30, 32, 34, 36letrd 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
38 nnnn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42 0red 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 0 ∈ ℝ)
4313adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4431adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4542, 43, 443jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4738nn0ge0d 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑀)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 0 ≀ 𝑀)
4948anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
50 letr 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ 𝑁))
5146, 49, 50sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ 𝑁)
52 elnn0z 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝑁))
5341, 51, 52sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5453adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
5639, 54, 553jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
5737, 56mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
5857expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁)))
59583adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁)))
6026, 59sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁)))
6160impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
62 elfz2nn0 13610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
6361, 62sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
65 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜π‘‹) = 𝑁 β†’ (0...(β™―β€˜π‘‹)) = (0...𝑁))
6665eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘‹) = 𝑁 β†’ (𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6964, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)))
71 eluz2 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) ↔ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
7212, 7, 14, 71syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
73 fzoss2 13678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑀))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑀))
7574sseld 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7675ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7776imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
78 pfxfv 14650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–) = (π‘‹β€˜π‘–))
7925, 70, 77, 78syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–) = (π‘‹β€˜π‘–))
8079eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) = ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–))
81 fzonn0p1p1 13729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 βˆ’ 1) + 1)))
82 nncn 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
83 npcan1 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
8584oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑀 βˆ’ 1) + 1)) = (0..^𝑀))
8685eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 βˆ’ 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8781, 86imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8887ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8988imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
90 pfxfv 14650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‹β€˜(𝑖 + 1)))
9125, 70, 89, 90syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‹β€˜(𝑖 + 1)))
9291eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1)))
9380, 92preq12d 4741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ {(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} = {((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))})
9493eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ({(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9594ralbidva 3170 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9623, 95sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9796impancom 451 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9897imp 406 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9924, 69jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))))
10099adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))))
101 pfxlen 14651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
103102oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1) = (𝑀 βˆ’ 1))
104103oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑀 βˆ’ 1)))
105104raleqdv 3320 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
10698, 105mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
10724, 69, 101syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
10884eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
109108ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑀 = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
110107, 109eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
111110adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
1126, 106, 1113jca 1126 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1)))
113112ex 412 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
1141133adant3 1130 . . . . 5 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘‹), (π‘‹β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
1153, 114syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
116115impcom 407 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1)))
117 nnm1nn0 12529 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
118117ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1191, 2iswwlksnx 29625 . . . 4 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
120118, 119syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
121116, 120mpbird 257 . 2 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺))
122121ex 412 1 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056   βŠ† wss 3944  {cpr 4626   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  ...cfz 13502  ..^cfzo 13645  β™―chash 14307  Word cword 14482  lastSclsw 14530   prefix cpfx 14638  Vtxcvtx 28783  Edgcedg 28834   WWalksN cwwlksn 29611   ClWWalksN cclwwlkn 29808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-substr 14609  df-pfx 14639  df-wwlks 29615  df-wwlksn 29616  df-clwwlk 29766  df-clwwlkn 29809
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f  30161
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