Theorem wwlksubclwwlk 27843

Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksubclwwlk	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clwwlknp 27822	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		pfxcl 14030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6	5	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7		nnz 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
8		eluzp1m1 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
11		peano2zm 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13		nnre 11632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	lem1d 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
15		eluzuzle 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
16	12, 14, 15	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
17	10, 16	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
18	17	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
19		fzoss2 13060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
21	20	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
22		ssralv 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26		eluz2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
27	13	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
28		peano2re 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
29	13, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
30	29	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31		zre 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
32	31	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
33	13	lep1d 11560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
34	33	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
35		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
36	35	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
37	27, 30, 32, 34, 36	letrd 10786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
38		nnnn0 11892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		0red 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
43	13	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
44	31	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
45	42, 43, 44	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
46	45	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
47	38	nn0ge0d 11946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
48	47	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑀)
49	48	anim1i 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
50		letr 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
51	46, 49, 50	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
52		elnn0z 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
53	41, 51, 52	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54	53	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
55		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
56	39, 54, 55	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
57	37, 56	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
58	57	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
59	58	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
60	26, 59	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
61	60	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
62		elfz2nn0 12993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
63	61, 62	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
64	63	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
65		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑋) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑋)) = (0...𝑁))
66	65	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑋) = 𝑁 → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
67	66	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
68	67	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
69	64, 68	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
70	69	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
71		eluz2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
72	12, 7, 14, 71	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
73		fzoss2 13060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
75	74	sseld 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
76	75	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
77	76	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
78		pfxfv 14035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
79	25, 70, 77, 78	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
80	79	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘𝑖) = ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖))
81		fzonn0p1p1 13111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)))
82		nncn 11633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
83		npcan1 11054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
85	84	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0..^((𝑀 − 1) + 1)) = (0..^𝑀))
86	85	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
87	81, 86	syl5ib 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
88	87	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
89	88	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
90		pfxfv 14035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
91	25, 70, 89, 90	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
92	91	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘(𝑖 + 1)) = ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)))
93	80, 92	preq12d 4637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → {(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} = {((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))})
94	93	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ({(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
95	94	ralbidva 3161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
96	23, 95	sylibd 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
97	96	impancom 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
98	97	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
99	24, 69	jca 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))))
100	99	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))))
101		pfxlen 14036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
103	102	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1) = (𝑀 − 1))
104	103	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)) = (0..^(𝑀 − 1)))
105	104	raleqdv 3364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106	98, 105	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
107	24, 69, 101	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
108	84	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
109	108	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
110	107, 109	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))
111	110	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))
112	6, 106, 111	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
113	112	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
114	113	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
115	3, 114	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
116	115	impcom 411	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
117		nnm1nn0 11926	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
118	117	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
119	1, 2	iswwlksnx 27626	. . . 4 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
120	118, 119	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
121	116, 120	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺))
122	121	ex 416	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  {cpr 4527   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857  lastSclsw 13905   prefix cpfx 14023  Vtxcvtx 26789  Edgcedg 26840   WWalksN cwwlksn 27612   ClWWalksN cclwwlkn 27809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-wwlks 27616  df-wwlksn 27617  df-clwwlk 27767  df-clwwlkn 27810

This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f  28162