Theorem wwlksubclwwlk 30077

Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksubclwwlk	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clwwlknp 30056	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		pfxcl 14715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7		nnz 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
8		eluzp1m1 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
11		peano2zm 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13		nnre 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	lem1d 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
15		eluzuzle 12887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
17	10, 16	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
18	17	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
19		fzoss2 13727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
22		ssralv 4052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26		eluz2 12884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
27	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
28		peano2re 11434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
29	13, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31		zre 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
33	13	lep1d 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
37	27, 30, 32, 34, 36	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
38		nnnn0 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
39	38	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		0red 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
43	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
44	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
45	42, 43, 44	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
47	38	nn0ge0d 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑀)
49	48	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
50		letr 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
51	46, 49, 50	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
52		elnn0z 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
53	41, 51, 52	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54	53	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
56	39, 54, 55	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
57	37, 56	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
58	57	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
59	58	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
60	26, 59	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
61	60	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
62		elfz2nn0 13658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
63	61, 62	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
65		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑋) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑋)) = (0...𝑁))
66	65	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑋) = 𝑁 → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
69	64, 68	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
71		eluz2 12884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
72	12, 7, 14, 71	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
73		fzoss2 13727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
75	74	sseld 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
76	75	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
77	76	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
78		pfxfv 14720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
79	25, 70, 77, 78	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
80	79	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘𝑖) = ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖))
81		fzonn0p1p1 13783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)))
82		nncn 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
83		npcan1 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
85	84	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0..^((𝑀 − 1) + 1)) = (0..^𝑀))
86	85	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
87	81, 86	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
88	87	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
89	88	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
90		pfxfv 14720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
91	25, 70, 89, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
92	91	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘(𝑖 + 1)) = ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)))
93	80, 92	preq12d 4741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → {(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} = {((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))})
94	93	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ({(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
95	94	ralbidva 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
96	23, 95	sylibd 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
97	96	impancom 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
98	97	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
99	24, 69	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))))
100	99	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))))
101		pfxlen 14721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
103	102	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1) = (𝑀 − 1))
104	103	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)) = (0..^(𝑀 − 1)))
105	98, 104	raleqtrrdv 3330	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
106	24, 69, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
107	84	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
108	107	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
109	106, 108	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))
110	109	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))
111	6, 105, 110	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
112	111	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
113	112	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
114	3, 113	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
115	114	impcom 407	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
116		nnm1nn0 12567	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
117	116	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
118	1, 2	iswwlksnx 29860	. . . 4 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
119	117, 118	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
120	115, 119	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺))
121	120	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600   prefix cpfx 14708  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064   WWalksN cwwlksn 29846   ClWWalksN cclwwlkn 30043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851  df-clwwlk 30001  df-clwwlkn 30044

This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f  30396