Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(VtxβπΊ) =
(VtxβπΊ) |
2 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(EdgβπΊ) =
(EdgβπΊ) |
3 | 1, 2 | clwwlknp 29030 |
. . . . 5
β’ (π β (π ClWWalksN πΊ) β ((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ) β§ {(lastSβπ), (πβ0)} β (EdgβπΊ))) |
4 | | pfxcl 14574 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β Word (VtxβπΊ) β (π prefix π) β Word (VtxβπΊ)) |
5 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β (π prefix π) β Word (VtxβπΊ)) |
6 | 5 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (π prefix π) β Word (VtxβπΊ)) |
7 | | nnz 12528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β π β
β€) |
8 | | eluzp1m1 12797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β€ β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β (π β 1) β
(β€β₯βπ)) |
9 | 8 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β€ β (π β
(β€β₯β(π + 1)) β (π β 1) β
(β€β₯βπ))) |
10 | 7, 9 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β (π β
(β€β₯β(π + 1)) β (π β 1) β
(β€β₯βπ))) |
11 | | peano2zm 12554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β€ β (π β 1) β
β€) |
12 | 7, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β (π β 1) β
β€) |
13 | | nnre 12168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β π β
β) |
14 | 13 | lem1d 12096 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β (π β 1) β€ π) |
15 | | eluzuzle 12780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β 1) β β€ β§
(π β 1) β€ π) β ((π β 1) β
(β€β₯βπ) β (π β 1) β
(β€β₯β(π β 1)))) |
16 | 12, 14, 15 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β ((π β 1) β
(β€β₯βπ) β (π β 1) β
(β€β₯β(π β 1)))) |
17 | 10, 16 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β (π β
(β€β₯β(π + 1)) β (π β 1) β
(β€β₯β(π β 1)))) |
18 | 17 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β (π β 1) β
(β€β₯β(π β 1))) |
19 | | fzoss2 13609 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β 1) β
(β€β₯β(π β 1)) β (0..^(π β 1)) β (0..^(π β 1))) |
20 | 18, 19 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β (0..^(π β 1)) β (0..^(π β 1))) |
21 | 20 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (0..^(π β 1)) β (0..^(π β 1))) |
22 | | ssralv 4014 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
((0..^(π β 1))
β (0..^(π β 1))
β (βπ β
(0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ) β βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ))) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ) β βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ))) |
24 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β π β Word (VtxβπΊ)) |
25 | 24 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β§ π β (0..^(π β 1))) β π β Word (VtxβπΊ)) |
26 | | eluz2 12777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β
(β€β₯β(π + 1)) β ((π + 1) β β€ β§ π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) |
27 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β π β β) |
28 | | peano2re 11336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π β β β (π + 1) β
β) |
29 | 13, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β β β (π + 1) β
β) |
30 | 29 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β (π + 1) β β) |
31 | | zre 12511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β β€ β π β
β) |
32 | 31 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β π β β) |
33 | 13 | lep1d 12094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β β β π β€ (π + 1)) |
34 | 33 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β π β€ (π + 1)) |
35 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β β€ β§ (π + 1) β€ π) β (π + 1) β€ π) |
36 | 35 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β (π + 1) β€ π) |
37 | 27, 30, 32, 34, 36 | letrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β π β€ π) |
38 | | nnnn0 12428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β β β π β
β0) |
39 | 38 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β§ π β€ π) β π β
β0) |
40 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β β β§ π β β€) β π β
β€) |
41 | 40 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β β β§ π β β€) β§ π β€ π) β π β β€) |
42 | | 0red 11166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β β β§ π β β€) β 0 β
β) |
43 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β β β§ π β β€) β π β
β) |
44 | 31 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β β β§ π β β€) β π β
β) |
45 | 42, 43, 44 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β β β§ π β β€) β (0
β β β§ π
β β β§ π
β β)) |
46 | 45 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β β β§ π β β€) β§ π β€ π) β (0 β β β§ π β β β§ π β
β)) |
47 | 38 | nn0ge0d 12484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π β β β 0 β€
π) |
48 | 47 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β β β§ π β β€) β 0 β€
π) |
49 | 48 | anim1i 616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β β β§ π β β€) β§ π β€ π) β (0 β€ π β§ π β€ π)) |
50 | | letr 11257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((0
β β β§ π
β β β§ π
β β) β ((0 β€ π β§ π β€ π) β 0 β€ π)) |
51 | 46, 49, 50 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β β β§ π β β€) β§ π β€ π) β 0 β€ π) |
52 | | elnn0z 12520 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π β β0
β (π β β€
β§ 0 β€ π)) |
53 | 41, 51, 52 | sylanbrc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β β β§ π β β€) β§ π β€ π) β π β
β0) |
54 | 53 | adantlrr 720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β§ π β€ π) β π β
β0) |
55 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β§ π β€ π) β π β€ π) |
56 | 39, 54, 55 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β§ π β€ π) β (π β β0 β§ π β β0
β§ π β€ π)) |
57 | 37, 56 | mpdan 686 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β β β§ (π β β€ β§ (π + 1) β€ π)) β (π β β0 β§ π β β0
β§ π β€ π)) |
58 | 57 | expcom 415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β β€ β§ (π + 1) β€ π) β (π β β β (π β β0 β§ π β β0
β§ π β€ π))) |
59 | 58 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π + 1) β β€ β§ π β β€ β§ (π + 1) β€ π) β (π β β β (π β β0 β§ π β β0
β§ π β€ π))) |
60 | 26, 59 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β
(β€β₯β(π + 1)) β (π β β β (π β β0 β§ π β β0
β§ π β€ π))) |
61 | 60 | impcom 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β (π β β0 β§ π β β0
β§ π β€ π)) |
62 | | elfz2nn0 13541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (0...π) β (π β β0 β§ π β β0
β§ π β€ π)) |
63 | 61, 62 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β π β (0...π)) |
64 | 63 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β π β (0...π)) |
65 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
((β―βπ) =
π β
(0...(β―βπ)) =
(0...π)) |
66 | 65 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
((β―βπ) =
π β (π β (0...(β―βπ)) β π β (0...π))) |
67 | 66 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β (π β (0...(β―βπ)) β π β (0...π))) |
68 | 67 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (π β
(0...(β―βπ))
β π β (0...π))) |
69 | 64, 68 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β π β
(0...(β―βπ))) |
70 | 69 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β§ π β (0..^(π β 1))) β π β (0...(β―βπ))) |
71 | | eluz2 12777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β
(β€β₯β(π β 1)) β ((π β 1) β β€ β§ π β β€ β§ (π β 1) β€ π)) |
72 | 12, 7, 14, 71 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β β π β
(β€β₯β(π β 1))) |
73 | | fzoss2 13609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β
(β€β₯β(π β 1)) β (0..^(π β 1)) β (0..^π)) |
74 | 72, 73 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β
(0..^(π β 1)) β
(0..^π)) |
75 | 74 | sseld 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β (π β (0..^(π β 1)) β π β (0..^π))) |
76 | 75 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (π β (0..^(π β 1)) β π β (0..^π))) |
77 | 76 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β§ π β (0..^(π β 1))) β π β (0..^π)) |
78 | | pfxfv 14579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β Word (VtxβπΊ) β§ π β (0...(β―βπ)) β§ π β (0..^π)) β ((π prefix π)βπ) = (πβπ)) |
79 | 25, 70, 77, 78 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β§ π β (0..^(π β 1))) β ((π prefix π)βπ) = (πβπ)) |
80 | 79 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β§ π β (0..^(π β 1))) β (πβπ) = ((π prefix π)βπ)) |
81 | | fzonn0p1p1 13660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (0..^(π β 1)) β (π + 1) β (0..^((π β 1) + 1))) |
82 | | nncn 12169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β β β π β
β) |
83 | | npcan1 11588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β β β ((π β 1) + 1) = π) |
84 | 82, 83 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β β ((π β 1) + 1) = π) |
85 | 84 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β β
(0..^((π β 1) + 1)) =
(0..^π)) |
86 | 85 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β ((π + 1) β (0..^((π β 1) + 1)) β (π + 1) β (0..^π))) |
87 | 81, 86 | imbitrid 243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β (π β (0..^(π β 1)) β (π + 1) β (0..^π))) |
88 | 87 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (π β (0..^(π β 1)) β (π + 1) β (0..^π))) |
89 | 88 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β§ π β (0..^(π β 1))) β (π + 1) β (0..^π)) |
90 | | pfxfv 14579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β Word (VtxβπΊ) β§ π β (0...(β―βπ)) β§ (π + 1) β (0..^π)) β ((π prefix π)β(π + 1)) = (πβ(π + 1))) |
91 | 25, 70, 89, 90 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β§ π β (0..^(π β 1))) β ((π prefix π)β(π + 1)) = (πβ(π + 1))) |
92 | 91 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β§ π β (0..^(π β 1))) β (πβ(π + 1)) = ((π prefix π)β(π + 1))) |
93 | 80, 92 | preq12d 4706 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β§ π β (0..^(π β 1))) β {(πβπ), (πβ(π + 1))} = {((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))}) |
94 | 93 | eleq1d 2819 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β§ π β (0..^(π β 1))) β ({(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ) β {((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ))) |
95 | 94 | ralbidva 3169 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ) β βπ β (0..^(π β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ))) |
96 | 23, 95 | sylibd 238 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ) β βπ β (0..^(π β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ))) |
97 | 96 | impancom 453 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β ((π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β βπ β (0..^(π β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ))) |
98 | 97 | imp 408 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β βπ β (0..^(π β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ)) |
99 | 24, 69 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (π β Word (VtxβπΊ) β§ π β (0...(β―βπ)))) |
100 | 99 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (π β Word (VtxβπΊ) β§ π β (0...(β―βπ)))) |
101 | | pfxlen 14580 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β Word (VtxβπΊ) β§ π β (0...(β―βπ))) β (β―β(π prefix π)) = π) |
102 | 100, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β
(β―β(π prefix
π)) = π) |
103 | 102 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β
((β―β(π prefix
π)) β 1) = (π β 1)) |
104 | 103 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β
(0..^((β―β(π
prefix π)) β 1)) =
(0..^(π β
1))) |
105 | 104 | raleqdv 3312 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β (βπ β
(0..^((β―β(π
prefix π)) β
1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ) β βπ β (0..^(π β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ))) |
106 | 98, 105 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β βπ β
(0..^((β―β(π
prefix π)) β
1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ)) |
107 | 24, 69, 101 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β
(β―β(π prefix
π)) = π) |
108 | 84 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β π = ((π β 1) + 1)) |
109 | 108 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β π = ((π β 1) + 1)) |
110 | 107, 109 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β
(β―β(π prefix
π)) = ((π β 1) + 1)) |
111 | 110 | adantlr 714 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β
(β―β(π prefix
π)) = ((π β 1) + 1)) |
112 | 6, 106, 111 | 3jca 1129 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β§ (π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1)))) β ((π prefix π) β Word (VtxβπΊ) β§ βπ β (0..^((β―β(π prefix π)) β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ) β§ (β―β(π prefix π)) = ((π β 1) + 1))) |
113 | 112 | ex 414 |
. . . . . 6
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ)) β ((π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((π prefix π) β Word (VtxβπΊ) β§ βπ β (0..^((β―β(π prefix π)) β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ) β§ (β―β(π prefix π)) = ((π β 1) + 1)))) |
114 | 113 | 3adant3 1133 |
. . . . 5
β’ (((π β Word (VtxβπΊ) β§ (β―βπ) = π) β§ βπ β (0..^(π β 1)){(πβπ), (πβ(π + 1))} β (EdgβπΊ) β§ {(lastSβπ), (πβ0)} β (EdgβπΊ)) β ((π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((π prefix π) β Word (VtxβπΊ) β§ βπ β (0..^((β―β(π prefix π)) β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ) β§ (β―β(π prefix π)) = ((π β 1) + 1)))) |
115 | 3, 114 | syl 17 |
. . . 4
β’ (π β (π ClWWalksN πΊ) β ((π β β β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((π prefix π) β Word (VtxβπΊ) β§ βπ β (0..^((β―β(π prefix π)) β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ) β§ (β―β(π prefix π)) = ((π β 1) + 1)))) |
116 | 115 | impcom 409 |
. . 3
β’ (((π β β β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β§ π β (π ClWWalksN πΊ)) β ((π prefix π) β Word (VtxβπΊ) β§ βπ β (0..^((β―β(π prefix π)) β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ) β§ (β―β(π prefix π)) = ((π β 1) + 1))) |
117 | | nnm1nn0 12462 |
. . . . 5
β’ (π β β β (π β 1) β
β0) |
118 | 117 | ad2antrr 725 |
. . . 4
β’ (((π β β β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β§ π β (π ClWWalksN πΊ)) β (π β 1) β
β0) |
119 | 1, 2 | iswwlksnx 28834 |
. . . 4
β’ ((π β 1) β
β0 β ((π prefix π) β ((π β 1) WWalksN πΊ) β ((π prefix π) β Word (VtxβπΊ) β§ βπ β (0..^((β―β(π prefix π)) β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ) β§ (β―β(π prefix π)) = ((π β 1) + 1)))) |
120 | 118, 119 | syl 17 |
. . 3
β’ (((π β β β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β§ π β (π ClWWalksN πΊ)) β ((π prefix π) β ((π β 1) WWalksN πΊ) β ((π prefix π) β Word (VtxβπΊ) β§ βπ β (0..^((β―β(π prefix π)) β 1)){((π prefix π)βπ), ((π prefix π)β(π + 1))} β (EdgβπΊ) β§ (β―β(π prefix π)) = ((π β 1) + 1)))) |
121 | 116, 120 | mpbird 257 |
. 2
β’ (((π β β β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β§ π β (π ClWWalksN πΊ)) β (π prefix π) β ((π β 1) WWalksN πΊ)) |
122 | 121 | ex 414 |
1
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β (π β (π ClWWalksN πΊ) β (π prefix π) β ((π β 1) WWalksN πΊ))) |