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Theorem wwlksubclwwlk 30077
Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlk ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2clwwlknp 30056 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 pfxcl 14715 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
65ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
8 eluzp1m1 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
98ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
11 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1413lem1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
15 eluzuzle 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1710, 16syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1817imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
19 fzoss2 13727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
22 ssralv 4052 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26 eluz2 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2713adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
28 peano2re 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3231ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3313lep1d 12199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3727, 30, 32, 34, 36letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀𝑁)
38 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3938ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
4313adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4431adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4542, 43, 443jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4738nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑀)
4948anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑀𝑁))
50 letr 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
5146, 49, 50sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
52 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
5341, 51, 52sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5453adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
5639, 54, 553jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5737, 56mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5857expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
59583adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
6026, 59sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
6160impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
62 elfz2nn0 13658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
6361, 62sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
65 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑋) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑋)) = (0...𝑁))
6665eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑋) = 𝑁 → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6964, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
71 eluz2 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
7212, 7, 14, 71syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
73 fzoss2 13727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
7574sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7675ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7776imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
78 pfxfv 14720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑋𝑖))
7925, 70, 77, 78syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑋𝑖))
8079eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋𝑖) = ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖))
81 fzonn0p1p1 13783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)))
82 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
83 npcan1 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8584oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^((𝑀 − 1) + 1)) = (0..^𝑀))
8685eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8781, 86imbitrid 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8887ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8988imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
90 pfxfv 14720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
9125, 70, 89, 90syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
9291eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘(𝑖 + 1)) = ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)))
9380, 92preq12d 4741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → {(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} = {((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))})
9493eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ({(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9594ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9623, 95sylibd 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9796impancom 451 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9897imp 406 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
9924, 69jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))))
10099adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))))
101 pfxlen 14721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
103102oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1) = (𝑀 − 1))
104103oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)) = (0..^(𝑀 − 1)))
10598, 104raleqtrrdv 3330 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
10624, 69, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
10784eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
108107ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
109106, 108eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))
110109adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))
1116, 105, 1103jca 1129 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
112111ex 412 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
1131123adant3 1133 . . . . 5 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
1143, 113syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
115114impcom 407 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
116 nnm1nn0 12567 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
117116ad2antrr 726 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1181, 2iswwlksnx 29860 . . . 4 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
119117, 118syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
120115, 119mpbird 257 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺))
121120ex 412 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600   prefix cpfx 14708  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064   WWalksN cwwlksn 29846   ClWWalksN cclwwlkn 30043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851  df-clwwlk 30001  df-clwwlkn 30044
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f  30396
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