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Theorem wwlksubclwwlk 27764
Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlk ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2818 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2clwwlknp 27742 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 pfxcl 14027 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
65ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 nnz 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
8 eluzp1m1 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
98ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
11 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1413lem1d 11561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
15 eluzuzle 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1710, 16syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1817imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
19 fzoss2 13053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
22 ssralv 4030 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2713adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
28 peano2re 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3231ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3313lep1d 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3727, 30, 32, 34, 36letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀𝑁)
38 nnnn0 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3938ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
4313adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4431adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4542, 43, 443jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4738nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑀)
4948anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑀𝑁))
50 letr 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
5146, 49, 50sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
52 elnn0z 11982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
5341, 51, 52sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5453adantlrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
5639, 54, 553jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5737, 56mpdan 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5857expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
59583adant1 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
6026, 59sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
6160impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
62 elfz2nn0 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
6361, 62sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
65 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑋) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑋)) = (0...𝑁))
6665eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑋) = 𝑁 → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6964, 68mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
71 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
7212, 7, 14, 71syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
73 fzoss2 13053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
7574sseld 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7675ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7776imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
78 pfxfv 14032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑋𝑖))
7925, 70, 77, 78syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑋𝑖))
8079eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋𝑖) = ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖))
81 fzonn0p1p1 13104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)))
82 nncn 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
83 npcan1 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8584oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^((𝑀 − 1) + 1)) = (0..^𝑀))
8685eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8781, 86syl5ib 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8887ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8988imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
90 pfxfv 14032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
9125, 70, 89, 90syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
9291eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘(𝑖 + 1)) = ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)))
9380, 92preq12d 4669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → {(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} = {((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))})
9493eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ({(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9594ralbidva 3193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9623, 95sylibd 240 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9796impancom 452 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9897imp 407 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
9924, 69jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))))
10099adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))))
101 pfxlen 14033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
103102oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1) = (𝑀 − 1))
104103oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)) = (0..^(𝑀 − 1)))
105104raleqdv 3413 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10698, 105mpbird 258 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
10724, 69, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
10884eqcomd 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
109108ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
110107, 109eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))
111110adantlr 711 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))
1126, 106, 1113jca 1120 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
113112ex 413 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
1141133adant3 1124 . . . . 5 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
1153, 114syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
116115impcom 408 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
117 nnm1nn0 11926 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
118117ad2antrr 722 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1191, 2iswwlksnx 27545 . . . 4 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
120118, 119syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
121116, 120mpbird 258 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺))
122121ex 413 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wss 3933  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849  lastSclsw 13902   prefix cpfx 14020  Vtxcvtx 26708  Edgcedg 26759   WWalksN cwwlksn 27531   ClWWalksN cclwwlkn 27729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-substr 13991  df-pfx 14021  df-wwlks 27535  df-wwlksn 27536  df-clwwlk 27687  df-clwwlkn 27730
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f  28083
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