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Theorem wwlksubclwwlk 29907
Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlk ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2725 . . . . . 6 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2clwwlknp 29886 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘‹), (π‘‹β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4 pfxcl 14654 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
54adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
65ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
7 nnz 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 eluzp1m1 12873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
98ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
11 peano2zm 12630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
13 nnre 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
1413lem1d 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀)
15 eluzuzle 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))))
1612, 14, 15syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))))
1710, 16syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))))
1817imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
19 fzoss2 13687 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
2120adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
22 ssralv 4042 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
24 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
26 eluz2 12853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁))
2713adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
28 peano2re 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
3029adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31 zre 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3231ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3313lep1d 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 1))
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 1))
35 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)
3727, 30, 32, 34, 36letrd 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
38 nnnn0 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
40 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 0 ∈ ℝ)
4313adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4431adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4542, 43, 443jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4738nn0ge0d 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑀)
4847adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 0 ≀ 𝑀)
4948anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
50 letr 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ 𝑁))
5146, 49, 50sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ 𝑁)
52 elnn0z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝑁))
5341, 51, 52sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5453adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
55 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
5639, 54, 553jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
5737, 56mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
5857expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁)))
59583adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁)))
6026, 59sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁)))
6160impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
62 elfz2nn0 13619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
6361, 62sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
6463adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
65 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜π‘‹) = 𝑁 β†’ (0...(β™―β€˜π‘‹)) = (0...𝑁))
6665eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘‹) = 𝑁 β†’ (𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6766adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6964, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)))
7069adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)))
71 eluz2 12853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) ↔ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
7212, 7, 14, 71syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
73 fzoss2 13687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑀))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑀))
7574sseld 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7675ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7776imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
78 pfxfv 14659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–) = (π‘‹β€˜π‘–))
7925, 70, 77, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–) = (π‘‹β€˜π‘–))
8079eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) = ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–))
81 fzonn0p1p1 13738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 βˆ’ 1) + 1)))
82 nncn 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
83 npcan1 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
8584oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑀 βˆ’ 1) + 1)) = (0..^𝑀))
8685eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 βˆ’ 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8781, 86imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8887ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8988imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
90 pfxfv 14659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‹β€˜(𝑖 + 1)))
9125, 70, 89, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‹β€˜(𝑖 + 1)))
9291eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1)))
9380, 92preq12d 4742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ {(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} = {((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))})
9493eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ({(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9594ralbidva 3166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9623, 95sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9796impancom 450 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9897imp 405 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9924, 69jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))))
10099adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))))
101 pfxlen 14660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
103102oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1) = (𝑀 βˆ’ 1))
104103oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑀 βˆ’ 1)))
105104raleqdv 3315 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
10698, 105mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
10724, 69, 101syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
10884eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
109108ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑀 = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
110107, 109eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
111110adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
1126, 106, 1113jca 1125 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1)))
113112ex 411 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
1141133adant3 1129 . . . . 5 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘‹), (π‘‹β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
1153, 114syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
116115impcom 406 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1)))
117 nnm1nn0 12538 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
118117ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1191, 2iswwlksnx 29690 . . . 4 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
120118, 119syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
121116, 120mpbird 256 . 2 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺))
122121ex 411 1 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3941  {cpr 4627   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„‚cc 11131  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  β™―chash 14316  Word cword 14491  lastSclsw 14539   prefix cpfx 14647  Vtxcvtx 28848  Edgcedg 28899   WWalksN cwwlksn 29676   ClWWalksN cclwwlkn 29873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-substr 14618  df-pfx 14648  df-wwlks 29680  df-wwlksn 29681  df-clwwlk 29831  df-clwwlkn 29874
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f  30226
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