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Theorem wwlksubclwwlk 29002
Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlk ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2736 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2clwwlknp 28981 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 pfxcl 14565 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
65ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
8 eluzp1m1 12789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
98ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
11 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1413lem1d 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
15 eluzuzle 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1710, 16syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1817imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
19 fzoss2 13600 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
22 ssralv 4010 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26 eluz2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2713adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
28 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3231ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3313lep1d 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3727, 30, 32, 34, 36letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀𝑁)
38 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
4313adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4431adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4542, 43, 443jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4738nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑀)
4948anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑀𝑁))
50 letr 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
5146, 49, 50sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
52 elnn0z 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
5341, 51, 52sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5453adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
5639, 54, 553jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5737, 56mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5857expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
59583adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
6026, 59sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
6160impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
62 elfz2nn0 13532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
6361, 62sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
65 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑋) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑋)) = (0...𝑁))
6665eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑋) = 𝑁 → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6964, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
71 eluz2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
7212, 7, 14, 71syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
73 fzoss2 13600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
7574sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7675ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7776imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
78 pfxfv 14570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑋𝑖))
7925, 70, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑋𝑖))
8079eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋𝑖) = ((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖))
81 fzonn0p1p1 13651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)))
82 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
83 npcan1 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8584oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^((𝑀 − 1) + 1)) = (0..^𝑀))
8685eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8781, 86imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8887ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8988imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
90 pfxfv 14570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
9125, 70, 89, 90syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
9291eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘(𝑖 + 1)) = ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1)))
9380, 92preq12d 4702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → {(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} = {((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))})
9493eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ({(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9594ralbidva 3172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9623, 95sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9796impancom 452 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9897imp 407 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
9924, 69jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))))
10099adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))))
101 pfxlen 14571 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑋))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
103102oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1) = (𝑀 − 1))
104103oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)) = (0..^(𝑀 − 1)))
105104raleqdv 3313 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10698, 105mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
10724, 69, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
10884eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
109108ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
110107, 109eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))
111110adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))
1126, 106, 1113jca 1128 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
113112ex 413 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
1141133adant3 1132 . . . . 5 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
1153, 114syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
116115impcom 408 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
117 nnm1nn0 12454 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
118117ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1191, 2iswwlksnx 28785 . . . 4 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
120118, 119syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) − 1)){((𝑋 prefix 𝑀)‘𝑖), ((𝑋 prefix 𝑀)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
121116, 120mpbird 256 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺))
122121ex 413 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 − 1) WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402  lastSclsw 14450   prefix cpfx 14558  Vtxcvtx 27947  Edgcedg 27998   WWalksN cwwlksn 28771   ClWWalksN cclwwlkn 28968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-wwlks 28775  df-wwlksn 28776  df-clwwlk 28926  df-clwwlkn 28969
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f  29321
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