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Theorem wwlksubclwwlk 29051
Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlk ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2clwwlknp 29030 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘‹), (π‘‹β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4 pfxcl 14574 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
54adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
65ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
7 nnz 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 eluzp1m1 12797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
98ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
11 peano2zm 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
13 nnre 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
1413lem1d 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀)
15 eluzuzle 12780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))))
1612, 14, 15syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))))
1710, 16syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))))
1817imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
19 fzoss2 13609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
2120adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
22 ssralv 4014 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
24 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
26 eluz2 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁))
2713adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
28 peano2re 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31 zre 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3313lep1d 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 1))
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 1))
35 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)
3635adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)
3727, 30, 32, 34, 36letrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
38 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42 0red 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 0 ∈ ℝ)
4313adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4431adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4542, 43, 443jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4738nn0ge0d 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑀)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 0 ≀ 𝑀)
4948anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
50 letr 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ 𝑁))
5146, 49, 50sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ 𝑁)
52 elnn0z 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝑁))
5341, 51, 52sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5453adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
55 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
5639, 54, 553jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
5737, 56mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
5857expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁)))
59583adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁)))
6026, 59sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁)))
6160impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
62 elfz2nn0 13541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
6361, 62sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
65 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜π‘‹) = 𝑁 β†’ (0...(β™―β€˜π‘‹)) = (0...𝑁))
6665eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘‹) = 𝑁 β†’ (𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6964, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)))
7069adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)))
71 eluz2 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) ↔ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ≀ 𝑀))
7212, 7, 14, 71syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
73 fzoss2 13609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑀))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑀))
7574sseld 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7675ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7776imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
78 pfxfv 14579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–) = (π‘‹β€˜π‘–))
7925, 70, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–) = (π‘‹β€˜π‘–))
8079eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) = ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–))
81 fzonn0p1p1 13660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 βˆ’ 1) + 1)))
82 nncn 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
83 npcan1 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
8584oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑀 βˆ’ 1) + 1)) = (0..^𝑀))
8685eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 βˆ’ 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8781, 86imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8887ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8988imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
90 pfxfv 14579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‹β€˜(𝑖 + 1)))
9125, 70, 89, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‹β€˜(𝑖 + 1)))
9291eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1)))
9380, 92preq12d 4706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ {(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} = {((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))})
9493eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ({(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9594ralbidva 3169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9623, 95sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9796impancom 453 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9897imp 408 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9924, 69jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))))
10099adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))))
101 pfxlen 14580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
103102oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1) = (𝑀 βˆ’ 1))
104103oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑀 βˆ’ 1)))
105104raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑀 βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
10698, 105mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
10724, 69, 101syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = 𝑀)
10884eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
109108ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑀 = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
110107, 109eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
111110adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
1126, 106, 1113jca 1129 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1)))
113112ex 414 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
1141133adant3 1133 . . . . 5 (((𝑋 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‹) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‹β€˜π‘–), (π‘‹β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘‹), (π‘‹β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
1153, 114syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
116115impcom 409 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1)))
117 nnm1nn0 12462 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
118117ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1191, 2iswwlksnx 28834 . . . 4 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
120118, 119syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑋 prefix 𝑀) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) βˆ’ 1)){((𝑋 prefix 𝑀)β€˜π‘–), ((𝑋 prefix 𝑀)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑋 prefix 𝑀)) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))))
121116, 120mpbird 257 . 2 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺))
122121ex 414 1 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑋 prefix 𝑀) ∈ ((𝑀 βˆ’ 1) WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  {cpr 4592   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  β™―chash 14239  Word cword 14411  lastSclsw 14459   prefix cpfx 14567  Vtxcvtx 27996  Edgcedg 28047   WWalksN cwwlksn 28820   ClWWalksN cclwwlkn 29017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-wwlks 28824  df-wwlksn 28825  df-clwwlk 28975  df-clwwlkn 29018
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f  29370
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