Theorem eluzge3nn 12932

Description: If an integer is greater than 3, then it is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzge3nn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluzge3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12647	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le3 12478	. . 3 ⊢ 1 ≤ 3
3		eluzuzle 12887	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5		elnnuz 12922	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  1c1 11156   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  3c3 12322  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-z 12614  df-uz 12879

This theorem is referenced by:  uz3m2nn  12933  m1modge3gt1  13959  prmgaplem3  17091  axlowdimlem7  28963  axlowdimlem15  28971  axlowdimlem16  28972  axlowdimlem17  28973  clwwlknonex2  30128  2clwwlk2clwwlklem  30365  numclwlk1lem2  30389  nrt2irr  30492  dffltz  42644  fltltc  42671  fltnltalem  42672  fltnlta  42673  lighneallem4a  47595  bgoldbtbndlem2  47793  bgoldbtbndlem3  47794  bgoldbtbndlem4  47795  bgoldbtbnd  47796  gpgvtxel  48005  gpgedgel  48007  gpgvtx0  48008  gpgvtx1  48009  opgpgvtx  48010  gpgusgralem  48011  gpgusgra  48012  gpgedgvtx1lem  48017  gpgedgvtx0  48019  gpgedgvtx1  48020  gpg3nbgrvtxlem  48023  gpg3nbgrvtx0  48032