Theorem enrelmapr 43994

Description: The set of all possible relations between two sets is equinumerous to the set of all mappings from one set to the powerset of the other. (Contributed by RP, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
enrelmapr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem enrelmapr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcomeng 9038	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴))
2		pwen 9120	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐴) → 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))
4		enrelmap 43993	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵))
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵))
6		entr 8980	. 2 ⊢ ((𝒫 (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵)) → 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110   × cxp 5639  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802   ≈ cen 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922

This theorem is referenced by:  enmappw  43995